3.4函数的应用（一）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦一次、二次、分段、幂函数模型的应用，通过生活情境表格（如打车计费对应一次函数）导入，搭建从实际问题到函数模型的学习支架，衔接函数概念与性质，引导学生识别变量变化规律。 其亮点是以“问题情境—模型构建—应用解决”为主线，结合典例（如成本利润计算、个税分段计费）培养数学眼光与思维，用函数解析式等数学语言表达实际问题，小结“五步法”助力系统建模，帮助学生提升应用素养，为教师提供结构化教学资源。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用（一） 学 习 目 标 1 2 （1）理解一次函数、二次函数、分段函数、幂函数四类基本函数模型的实际意义，掌握各类模型的适用场景； （2）能够根据实际问题的变化规律，识别、选择合适的函数模型； （3）会利用函数模型列式、求解、检验，解决生活、生产中的简单实际问题。 体会函数与现实生活的紧密联系，感受数学的实用性与工具性，培养用数学思维解决实际问题的意识，提升数学应用素养。 新课引入 生活中处处存在变量变化关系，不同的变化规律对应不同的函数模型： 情境编号 实际应用场景 变量变化特征 对应函数类型 情境1 打车计费、匀速行驶路程问题 变量均匀变化，增减速率恒定 一次函数 情境2 矩形面积、商品利润问题 非线性变化，图像先增后减，存在最值 二次函数 情境3 阶梯电费、各类分段收费问题 自变量不同区间，对应不同运算规则 分段函数 情境4 管道流量、压强与面积、几何缩放问题 变量满足乘方、开方比例关系 幂函数 不同的变化规律该用哪种函数描述？如何用函数解决实际问题？ 目标一：四种常见模型 互动探究 四类常用函数模型的特征与适用场景 函数的应用 1. 一次函数模型 y=kx+b(k≠0) 特征：均匀变化，变量变化率恒定，图像为直线。 适用场景：匀速运动、单一标准收费、恒定增长率/减少率问题。 2. 二次函数模型y=a+bx+c(a≠0) 特征：抛物线变化，存在最大值或最小值，变化率不均匀。 适用场景：面积最值、利润最值、抛射运动、二次增长变化问题。 互动探究 四类常用函数模型的特征与适用场景 函数的应用 3. 分段函数模型 特征：分区间变化，不同自变量区间对应不同解析式，变化规则不统一。 适用场景：阶梯收费、分段计费、分段优惠、不同阶段变化规律不同的问题。 4. 幂函数模型 (α∈R) 特征：变量呈幂次非线性变化，第一象限单调递增或递减。 适用场景：几何尺寸与面积、体积关系，物理比例变化、缩放类实际问题。 目标二：一次函数模型 核心特点： 自变量与因变量之间保持均匀变化（斜率恒定），函数图象是一条直线。 常见应用场景： 销售与利润：例如销量与售价成一次函数关系（如 m = 100 - 2x），再结合其他条件求利润。 成本与收入：如固定成本加可变成本的总成本函数（y = 150 + 0.25x），以及总收入函数。 速度与密度：在大桥通行问题中，当车流密度不超过某一阈值时，车流速度为固定值；超过后与密度成一次函数关系。 解题关键： 熟练运用待定系数法（设 y = kx + b，代入两个已知点求出 k 和 b）。注意根据一次项系数 k 的正负判断函数的增减性。 典例分析 题型1一次函数模型 解析式 例1 图象 应用 某公司生产某种产品的固定成本为 150 万元，而每件产品的可变成本为 2500 元，每件产品的售价为 3500 元。若该公司所生产的产品全部销售出去。 (1) 设总成本为 （单位：万元），单位成本为 （单位：万元），销售总收入为 （单位：万元），总利润（单位：万元），分别求出它们关于总产量 x（单位：件）的函数解析式； (2) 根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析。 利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点： (1) 待定系数法是求一次函数解析式的常用方法。 (2) 当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数。 解： (1) 由题意，得 =0.35x-(150+0.25x)=0.1x-150。 (2) 画出 =0.1x-150 的图象如图。 由图象可知，当 x<1500 时，该公司亏损； 当 x=1500 时，公司不赔不赚；当 x>1500 时，公司赢利。 典例分析 题型1一次函数模型 解析式 例2 应用 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位:分)与通话费用y(单位:元)的关系如图所示： 问题: (1) 分别求出通话费用与通话时间之间的函数解析式； (2) 请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜。 目标三：二次函数模型 核心特点： 函数图象是一条抛物线，存在最高点（最大利润/最大高度）或最低点（最小成本）。 常见应用场景： 利润最大化：典型题型为总利润 y = (售价 - 进价) × 销量，将销量的一次函数代入后，往往会得到一个开口向下的二次函数（如 y = -2(x-40)² + 200）。 抛射运动轨迹：如烟花爆炸高度、弓箭射出的最大高度（h = -3.6t² + 28.8t），其顶点坐标即代表运动轨迹的最高点。 资源投入与产出：如研发经费与月利润的关系，利用二次函数的顶点求出最佳投入量。 解题关键： 1. 将实际等量关系转化为标准二次函数 y = a(x-h)² + k 的形式。 2. 重点关注自变量的取值范围（定义域）。如果顶点 x = h 不在定义域内，最值就必须在定义域端点处取得。 典例分析 题型2 二次函数模型 解析式 例1 最值 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”。在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t （单位：分钟）满足函数关系 p=a+bt+c （a，b，c是常数），如图，记录了三次实验的数据。根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 由已知得 p=-0.2+1.5t-2=- , 当 t==3.75 时， p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟。 典例分析 题型2 二次函数模型 P(x) 例2 y （多选） 几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润 p(x) (单位: 万元) 与每月投入的研发经费 x (单位: 万元) 有关。已知每月投入的研发经费不高于 16 万元，且 p(x)=-+6x-20 ，利润率 。现在已投入研发经费 9 万元，则下列判断正确的是（ ） A.此时利润率最大 B.再投入6万元研发经费才能获得最大利润 C.再投入1万元研发经费时利润率最大 D.再投入1万元研发经费才能获得最大利润 当 x≤16 时， ，故当 x=15 时，获得最大利润，为 p(15)=25 ，故 B 正确，D 错误。 即 x=10 时取等号，此时研发利润率取得最大值 2，故 C 正确，A 错误。 目标四：幂函数模型 核心特点： 函数形式一般为 y = k·xⁿ，其中 n 是常数（常取 1,,-1,2,3,4 等），反映的是变量间非线性增长的变化规律。 常见应用场景： 物理与工程领域：如气体在圆形管道中的流量 ν 与管道半径 r 的四次方成正比（ν = 4）。 工人工作效率：组装第 x 件产品所用时间与 x 的算术平方根成反比（t = ）。 投资理财模型：风险型产品（如股票）的收益与投资额的算术平方根成正比（y 。 解题关键： 幂函数的解决定于确定指数 n 和系数 k。通常利用题目给定的一个具体点（如“当 x=1 时 y=0.5”）代入，用待定系数法解出参数即可。 典例分析 题型3 幂函数模型 解析式 例1 解不等式 答案： D 解析： 根据题意，设 ν= 当 r=x 时， ∈(3000,4000) ，解得 ∜750<x<∜1000 。故选：D。 典例分析 题型3 幂函数模型 解析式 例2 最值 某家庭进行理财投资，根据长期受益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。（如图）如图是一条过原点的直线，在x=1处y=0.125；右图是根号函数的图像，在x=1处y=0.5） 问题： (1) 分别写出两类产品的收益y(万元)与投资额x(万元)的函数关系； (2) 若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益， 其最大收益是多少万元？ 解： (1) 设两类产品的收益与投资的函数分别为 f(x)=。由已知得 f(1)=， 目标五：分段函数模型 核心特点： 自变量在不同范围内，遵循不同的函数变化规律，需要分情况讨论。 常见应用场景： 阶梯计价：个人所得税、天然气水费计费（如 400m³ 以内和 400m³ 以上单价不同）、出租车分段计费。 动态变化过程：如学生上课时注意力集中度随时间呈现“先激增→保持稳定→后分散”三段式变化。 限速与路况：大桥上不同车流密度区间对应不同的车流速度。 解题关键： 1. 找准“断点”：一定要仔细找出自变量不同区间的分界点（例如 x=400, x=16 等）。 2. 每段各做各的：将分段函数拆解成几个普通的“基本模型”，各自求解析式、求最值后，再进行汇总比较。 3. 检验定义域端点：拐点处的取值归属非常关键，直接决定最终计算结果。 典例分析 题型4 分段函数模型 分析 例1 （1） 假定小王缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 8% ， 2% ， 1% ， 9% ，专项附加扣除是9600元，依法确定其他扣除是560元，全年综合所得收入额为 x （单位：元），应缴纳综合所得个税税额为 y （单位：元）。 （1）求y关于x的函数解析式； （2）如果小王全年的综合所得由117600元增加到153600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 分析： 根据公式 ② ，可得应纳税所得额 t 关于综合所得收入额 x 的解析式 t=g(x) ，再结合 y=f(t) 的解析式即可得出 y 关于 x 的函数解析式。 （1）由个人应纳税所得额计算公式，可得 t=x-60000-x(8%+2%+1%+9%)-9600-560=0.8x-70160. 令 t=0 ，得 x=87700 。根据个人应纳税所得额的规定可知，当 0≤x≤87700 时， t=0 。 所以，个人应纳税所得额t关于综合所得收入额x的函数解析式为 结合 y= 以t为自变量的分段函数 可得： 当 0≤x≤87700 时， t=0 ，所以 y=0 ； 当 87700<x≤132700 时， 0<t≤36000 ，所以 y=t×3%=0.024x-2104.8 ； 当 132700<x≤267700 时， 36000<t≤144000 ，所以 y=t×10%-2520=0.08x-9536 ； 当 267700<x≤462700 时， 144000<t≤300000 ，所以 y=t×20%-16920=0.16x-30952 ； 当 462700<x≤612700 时， 300000<t≤420000 ，所以 y=t×25%-31920=0.2x-49460 ； 当 612700<x≤912700 时， 420000<t≤660000 ，所以 y=t×30%-52920=0.24x-73968 ； 当 912700<x≤1287700 时， 660000<t≤960000 ，所以 y=t×35%-85920=0.28x-110476 ； 当 x>1287700 时， t>960000 ，所以 y=t×45%-181920=0.36x-213492 。 以x为自变量的分段函数 典例分析 题型4 分段函数模型 例1 （2） 假定小王缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 8% ， 2% ， 1% ， 9% ，专项附加扣除是9600元，依法确定其他扣除是560元，全年综合所得收入额为 x （单位：元），应缴纳综合所得个税税额为 y （单位：元）。 （1）求y关于x的函数解析式； （2）如果小王全年的综合所得由117600元增加到153600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ (2）根据上式，当 x=153600 时， y=0.08×153600-9536=2752 所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为2752元。根据个人收入情况，利用上面获得的个税和综合所得收入关系的函数解析式，就可以直接求得应缴纳的个税。 典例分析 题型4 分段函数模型 例2 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验表明：讲课开始 x min 时，学生注意力集中度的值 f(x) （ f(x) 的值越大，表示学生的注意力越集中）与 x 的关系如下： f(x)= (1)讲课开始5min时和讲课开始20min时比较，何时学生的注意力更集中？ (2)讲课开始多少分钟时，学生的注意力最集中，能持续多久？ (3)一道数学难题，需要讲解13min，并且要求学生的注意力集中度至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由。 解析： (1)由题意得 13 总结 (1) 现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型。 (2) 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值。 目标六：针对训练 举一反三 1.在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶分别是𝒙+的部分图象，为保证采光，竖直窗户的高度设计为 1m， A.2 B.4 C.6 D.8 解析： 设点A的横坐标为a，则 ，解得 a=6，故选C。 举一反三 2.某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，根据销售经验，这种商品每天的销量 m（件）与售价 x（元）满足一次函数 m=100-2x，若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为______元。 解析： 设某商场每天获得销售利润为 y（元），则 y=(x-30)m=(x-30)(100-2x)=-，因为 x>30，所以当 x=40（元）时，y 取得最大值为 200（元）。所以若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为 40 元。 举一反三 3.某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量 m（件）与售价 x（元）满足一次函数 m=162-3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为（） A.30元 B.42元 C.54元 D.越高越好 设当每件商品的售价为 x 元时，每天获得的销售利润为 y 元。 由题意得 y=m(x-30)=(x-30)(162-3x所以当 x=42 时，利润最大。故选 B。 举一反三 4.你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树干光照，花焰七枝开”。烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩。已知某种烟花距地面的高度 h (单位: 米) 与时间 t (单位: 秒) 之间的关系式为 h=-+28.8t ，则烟花爆裂的高度是（ ） A.56.6米 B.57.6米 C.58.6米 D.59.6米 答案： B 解析： 依题意， h=-≤57.6 ，当且仅当 t=4 时取等号，所以烟花爆竹的高度是57.6米。故选B。 举一反三 5.弓箭手以 a m/s 的速度从地面垂直向上射箭， t s 后箭距离地面的高度为 x m ，已知 x=at-5 ，若射出 2 s 后箭距离地面的高度为 100 m ，则箭能达到的最大高度为（ ） A.160m B.170m C.180m D.190m 答案： C 解析： 由题意知 100=2a-20 ，解得 a=60 ，所以 ，故当 t=6 时， x 取得最大值，为180，即箭能达到的最大高度为 180 m 。故选C。 举一反三 6.根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为（函数关系式部分内容被截断，但由解析可知应为 f(x)=c/√x 的形式）。已知组装第 A 件产品用时15分钟，那么 c 和 A 的值分别是（ ） A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 答案： D 解析： 由题意可得 f(A)==15 ，所以 ，而 f(4)==30 ，所以 。故选D。 举一反三 7.在一次为期15天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐40人，已知第 t 日参加比赛的运动员人数 M 与 t 的关系是 M(t)= 为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴车的数量是( ) A.7 B.8 C.9 D.10 答案： D 解析： 当 1≤t≤6 时函数为一次函数，单调递增，当 t=6 时取到最大值即 ，当 7≤t≤15 时，函数为开口向下的二次函数，对称轴 t= 由于 t 为整数，故当 t=10 时取到最大值为 ≈10 ，综上应至少准备大巴车的数量是10辆，故选：D。 目标七：小结 学海拾贝 综合建模与解题“五步法” 遇到应用题时，可以按以下步骤破题： 审题与建模：分清已知量和未知量，通过文字描述判断属于哪种函数类型。 2. 设未知量：恰当地设出自变量 x 和因变量 y，并明确自变量实际意义下的定义域。 3. 列解析式：利用待定系数法或等量关系，求出函数解析式。 4. 求解验算：根据函数的性质（增减性、对称轴、顶点、端点）求最值或特定值。切记，求出结果后要回代验证实际意义是否符合（例如“人数必须是整数”、“速度不能为负”）。 5. 下结论：用完整的文字回答题目提出的实际问题，明确“此时应投入多少钱”或“能达到多少高度”。 学海拾贝 学习函数应用，本质上就是培养用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界的核心素养。这四种模型覆盖了日常生活中绝大部分的变量关系，掌握好它们，就能轻松应对各类应用大题。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $