第三章 创新培优(二) 函数奇偶性的拓展-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数奇偶性拓展，涵盖对称轴与对称中心的抽象表达式识别、平移关系及解析式求解等核心知识点。通过可任意编辑的PPT（双击进入Word文档编辑），衔接奇偶性定义与拓展对称关系，以题型分类和逻辑等价关系（如箭头连接）为学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于支持个性化教学的可编辑PPT设计，结构化题型呈现与逻辑推理链（如偶函数“f(x)=f(-x)⇔图像关于y轴对称”的等价关系），结合数学思维（推理对称性逻辑）与数学语言（抽象表达式），助力学生发展逻辑推理能力，教师可灵活调整内容提升教学效率。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 创新培优（二） 函数奇偶性的拓展 3 题型一　对称轴、对称中心的抽象表达式的识别 题型二　由平移前后关系得出原函数对称性 题型三　由对称性求解析式 一、轴对称 1．定义：如果函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，那么对于任意x，都有f(a＋x)＝f(a－x). 2．性质： (1)轴对称图形关于对称轴对称，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等，且对应点连线与对称轴垂直． (2)在作图时，只需要作出一侧的图象，另外一侧利用对称性即可画出． (3)最值点(如最大值、最小值)关于对称轴对称． (4)在轴对称的函数中，关于对称轴对称的两个单调区间的单调性是相反的． 二、中心对称 1．定义：如果函数f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称，那么对于任意x，都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.这意味着，函数图象可以绕着这个点旋转180度，旋转后的图象能够与原图象重合． 2．性质： (1)中心对称图形关于对称中心对称，旋转180度后能够重合． (2)连接两个对称点的线段都经过对称中心，且被对称中心平分． (3)在中心对称的函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同． 三、区别与联系 1．区别：轴对称是关于一条直线(对称轴)的对称，而中心对称是关于一个点(对称中心)的对称． 2．联系：在某些情况下，一个函数可能同时具有轴对称和中心对称性，如反比例函数的图象既是中心对称图形，也是轴对称图形． 设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(1＋x)＋f(－x)＝0.若f(－ eq \f(1,3))＝ eq \f(1,3)，则f( eq \f(5,3))＝(　　 ) A．－ eq \f(5,3) B．－ eq \f(1,3) C． eq \f(1,3) D． eq \f(5,3) 解析：选C．由题意可得：f( eq \f(5,3))＝f(1＋ eq \f(2,3))＝－f(－ eq \f(2,3))＝－f( eq \f(2,3))， 而f( eq \f(2,3))＝f(1－ eq \f(1,3))＝－f( eq \f(1,3))＝－f(－ eq \f(1,3))＝－ eq \f(1,3)， 故f( eq \f(5,3))＝ eq \f(1,3). eq \x(,轴对称与中心对称的常见结论,(1)轴对称,,结论的一般形式：,f(x＋A)＝f(B－x)⇔f(x)的图象关于x＝\f(A＋B,2)对称，特殊的A＝B＝0时，f(x)为偶函数．,(2)中心对称,,结论的一般形式：,f(x＋A)＝－f(B－x)⇔f(x)的图象关于(\f(A＋B,2)，0)中心对称，特殊的A＝B＝0时，f(x)为奇函数．,,结论的一般形式：,f(x＋A)＝－f(B－x)＋C⇔f(x)的图象关于(\f(A＋B,2)，\f(C,2))中心对称．) 类题通法 轴对称与中心对称的常见结论 (1)轴对称 结论的一般形式： f(x+A)=f(B-x)⇔f(x)的图象关于x=对称，特殊的A=B=0时，f(x)为偶函数. (2)中心对称 结论的一般形式： f(x+A)=-f(B-x)⇔f(x)的图象关于(,0)中心对称，特殊的A=B=0时，f(x)为奇函数. 结论的一般形式： f(x+A)=-f(B-x)+C⇔f(x)的图象关于(,)中心对称. (2025·河北保定高一期中)(多选)已知y＝f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f(x－1)＋1是偶函数 B．y＝f(－x＋1)－1是奇函数 C．y＝f(x＋1)＋1是偶函数 D．y＝f(x＋1)－1是奇函数 解析：选BD．∵f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2， ∴f(x)的图象关于点(1，1)对称， ∴y＝f(x－1)＋1的图象关于点(2，2)对称；y＝f(－x＋1)－1的图象关于点(0，0)对称，y＝f(－x＋1)－1是奇函数；y＝(x＋1)＋1的图象关于点(0，2)对称；y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)对称，y＝f(x＋1)－1是奇函数． 类题通法 若f(mx+a)+b是偶函数，则f(x)关于x=a对称； 若f(mx+a)+b是奇函数，则f(x)关于(a,b)对称。 设函数f(x)＝x＋ eq \f(1,x)的图象为C1，C1关于点A(2，－1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)，则g(x)的解析式是________． 解析：设P(x，y)为C2上任意一点，则P(x，y)关于点A(2，－1)的对称点为(4－x，－2－y)， 因为点A(4－x，－2－y)在f(x)＝x＋ eq \f(1,x)的图象上， 所以－2－y＝4－x＋ eq \f(1,4－x)，解得y＝x－6＋ eq \f(1,x－4)(x≠4)， 所以g(x)＝x－6＋ eq \f(1,x－4)(x≠4). 答案：g(x)＝x－6＋ eq \f(1,x－4)(x≠4) 类题通法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)把f(x)的图象关于x=a对称，对称后的函数为g(x)，则g(x)=f(2a-x)； (2)把f(x)的图象关于(a，b)对称，对称后的函数为g(x)，则g(x)=f(2a-x). $