第3章 ☆ 问题解决活动：利用相似三角形测高（课件）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“利用相似三角形测高”，通过“测量旗杆高度”问题导入，衔接相似三角形判定与性质，以问题解决活动为支架，引导学生从直接测量过渡到间接测量的实际应用。 其亮点在于以真实问题驱动，设计影子法、标杆法、镜子反射法三种方案，培养数学建模意识与推理能力。结合小组实地测量、方案对比反思，学生用数学语言表达模型（如影子法CD=AB×BD/BE），提升分析解决问题能力，教师可直接使用完整教学流程与练习资源。

第三章 图形的相似 问题解决活动： 利用相似三角形测高 九上数学北师 1.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量的物体的高度(如测量旗杆高度问题)等的实际问题。 2.能综合应用三角形相似的判定条件和性质解决问题，加深对相似三角形的理解和认识。 3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力。 学习目标 2 你能利用相似三角形的相关知识，使用标杆、皮尺或你认为合适的工具，测量出学校旗杆的高度吗? 课堂导入 3 理解问题 (1)你学过哪些测量距离或高度的方法? 直接测量。 知识点1 利用相似三角形测高 (2)本节课的测量活动对测量工具和方法有哪些要求? 测量工具要常见，安全及易操作，测量方法要简洁、直观及误差小。 拟订计划 (1)小组合作，讨论各种测量方案及其可行性。 新知讲解 拟订计划 (2)每种测量方案分别需要用到哪些工具?需要测量哪些量?画出测量示意图，写出旗杆高度的表达式。 方案一 利用阳光下的影子测量旗杆的高度(影子法) 知识点1 利用相似三角形测高 测量示意图 测量工具 测量原理 测量数据 注意事项         如图所示，∵AE∥BC， ∴∠AEB = ∠CBD。 又∵∠ABE=∠CDB =90°， ∴△ABE∽△CDB ∴ = ， 即CD = 。 人的身高AB，人的影长BE，旗杆的影长BD。 人的影长和旗杆的影长必须是同一时刻测量得到的，“同一时刻”是利用影子测量 物 体高度的前提条件。 皮尺 新知讲解 方案二 利用标杆测量旗杆的高度(标杆法) 知识点1 利用相似三角形测高 测量示意图 测量工具 测量原理 测量数据 注意事项                       观测者的眼睛与地面的距离AB，标杆的高度EF，观测者与标杆之间的距离BF，观测者与旗杆之间的距离BD。 观测者的眼睛 (点A)、标杆的顶端(点E)和旗杆的顶端(点C)必须要“三点共线”，注意标杆与地面要垂直，同时旗杆底部必须可到达。 如图所示，∵EF∥CD， ∴∠1 = ∠2 = 90°。 ∵∠3 = ∠3， △AEM∽△ACN， ∴ = ， 易知AM = BF，AN = BD， EM = EF-MF = EF-AB。∵BF，BD，EF，AB可测， ∴可求得CN的长度， ∴CD=CN+ND = CN+AB。 标杆、 皮尺 新知讲解 方案三 利用镜子的反射测量旗杆的高度(镜子反射法) 知识点1 利用相似三角形测高 测量示意图 测量工具 测量原理 测量数据 注意事项 法线 入射角 反射角 入射光线 反射光线 反射角 = 入射角→ ∠1 = ∠2                   提前在镜子上做标记，测量时使旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，被测物体与观测者之间不能有障碍物，且镜子必须水平放置。 观测者的眼睛与地面的距离AB，观测者与镜子上的标记之间的距离BE，镜子上的标记与旗杆底部之间的距离ED。 如图所示， ∵∠1 = ∠2， ∠ABE=∠CDE= 90°， ∴△ABE∽△CDE， ∴ = ， 即CD = 。 镜子、 皮尺 1 2 新知讲解 实施计划 (1)各小组到操场进行实地测量，做好数据记录。 (2)梳理测量过程并撰写活动报告。 知识点1 利用相似三角形测高 回顾反思 (1)你们在活动过程中遇到了哪些困难?是如何克服的? 用影子法测量时遇到阴天，无法进行影长的测量。 克服方法为等阳光条件好的时候测量或使用其他方法进行测量。 新知讲解 回顾反思 (2)各小组汇报展示活动成果，共同讨论各种测量方案的异同及优缺点。 各种测量方案的异同 知识点1 利用相似三角形测高   相同 不同 影子法        标杆法 镜子反射法 其核心原理都是通过构造相似三角形模型来进行测量。 是由太阳光可以近似看成平行线的特点，构造直角相似三角形。 是由光沿直线传播的特点(“三点一线”)，构造“A型”相似三角形。 是由光的反射的特点，构造直角相似三角形。 新知讲解   优点 缺点 影子法  标杆法 镜子反射法   回顾反思 (2)各小组汇报展示活动成果，共同讨论各种测量方案的异同及优缺点。 各种测量方案的优缺点 知识点1 利用相似三角形测高 测量简单易行，计算快捷。 不受太阳光的影响，场地适配性强。 不受太阳光的影响。 需要阳光，阴天不行，被测物体底部必须可到达，否则无法求物体的高。 计算量大，肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到的数据准确。 操作过程稍显复杂，不如直接测量、仪器操作得到的数据准确。 新知讲解 请你解决下列问题。 1.某单位的摄像系统记录了一犯罪嫌疑人作案的全过程。请你设计一个方案，估计该犯罪嫌疑人的身高。 在拍摄的图片中选择一个参照物(如门框等)，测量图片中犯罪嫌疑人的高度、参照物的高度，以及参照物的实际高度，通过计算图片中参照物的高度与参照物的实际高度之比，便可估计犯罪嫌疑人的身高。 知识点1 利用相似三角形测高 新知讲解 请你解决下列问题。 2.选择一幢高楼或一棵大树，测量其高度，并撰写活动报告。 可参照本节测量旗杆的高度的方案，在本题所给的活动报告表中撰写活动报告，答案略。 知识点1 利用相似三角形测高 新知讲解 1.小明在测量楼高时，测出楼房落在地面上的影长BA为15米，同时在A处竖立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(　　) A.10米 B.12米 C.15米 D.22.5米 A 随堂练习 2.如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是(　　) A．6.4米 B．7.0米 C．8.0米 D．9.0米 C 随堂练习 3.如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源S到平面镜的距离SA的长为 。 12 cm 随堂练习 4.如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m，又测得地面的影长为2.6 m，请你帮她算一下，树高是(　　) A．3.25 m B．4.25 m C．4.45 m D．4.75 m C 随堂练习 5.如图所示，王刚同学所在的学习小组欲测量校园里一棵大树的高度，他们选王刚作为观测者，并在王刚与大树之间的地面上直立一根高为2 m的标杆CD，然后，王刚开始调整自己的位置，当他看到标杆的顶端C与树的顶端E重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发现王刚离标杆的距离为1 m，离大树底部的距离为9 m，王刚的眼睛离地面的高度AB为1.5 m，那么大树EF的高度为多少？ 随堂练习 解：如图所示，过点A作AH⊥EF，垂足为H，交CD于点G。 由题意得AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，故四边形ABDG、四边形ABFH、四边形DGHF都是矩形， 所以AB＝GD＝HF，BF＝AH，BD＝AG，CD∥EF， 所以∠AGC＝∠AHE＝90°。 又因为∠CAG＝∠EAH，所以△ACG∽△AEH， 所以＝，即＝， 所以EH＝4.5 (m)， 所以EF＝EH＋HF＝4.5＋1.5＝6(m)。 答：大树EF的高度为6 m。 G H 随堂练习 利用阳光下的影子 (物高与影长成正比) 利用相似三角形测高 利用标杆 利用镜子的反射 (反射角=入射角) 课堂小结 $