3.1相似多边形课时作业（5课时）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦成比例线段基础概念与应用，分层设计从概念辨析到综合应用，梯度合理，适配新授课知识巩固需求，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|比例定义、成比例线段判断、简单比例式计算|选择题1-5（矩形长宽比、成比例线段识别）、判断题8-11（比例线段辨析），夯实概念理解| |进阶层|几何图形中的比例关系|选择题6-7（三角形边长比、线段比例）、填空题15（矩形裁旗比例），强化几何直观与空间观念| |提高层|比例线段综合应用|解答题16-20（成比例线段计算、《九章算术》实际问题、三角形三边比例），发展推理意识与模型意识|

第4课时相似多边形的性质与判定 一、选择题 1.两个相似多边形的一组对应边分别为2cm和6cm，那么它们的相似比是(    ) A. B. 3 C. 2 D. 2.下列四组图形中，是相似多边形的是(    ) A. B. C. D. 3.如图所示的三个矩形中，相似的是(    ) A. 甲与乙 B. 乙与丙 C. 甲与丙 D. 甲、乙、丙都相似 4.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是 A. B. C. D. 5.如图2中的矩形边长分别是由图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似不全等，则x的值是(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题 6.如图是两个相似的平行四边形，根据条件可知，          ，          . 7.以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为          . 三、解答题 8.如图，四边形ABCD与四边形相似.           ，相似比为          ; 求边x，y的长度. 9.矩形的两边长分别为x和 ，把它按如图所示方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，求x的值. 10.如图， 求，，的值； 证明与相似． 11.如图，在矩形ABCD中，，，在BC上取一点E，沿AE将向上折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形EFDC与原矩形相似，求AD的长. 12.如图，在，的矩形花坛四周修筑小路. 如果四周的小路的宽均为x m，如图1所示.小路四周所围成的矩形和矩形ABCD相似吗?请说明理由. 如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x m，y m，如图2所示.请问：x与y的比值为多少时，矩形和矩形ABCD相似?请说明理由. 答案和解析 1.【答案】A  2.【答案】B  3.【答案】B  4.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了相似多边形的性质、相似比，解答本题的关键是掌握利用相似多边形的性质求相似比的思路与方法；根据相似比的概念进行解答，即可求解. 【解答】 解：四边形四边形EFGH， 相似比为 故选： 5.【答案】A  6.【答案】 12   7.【答案】  8.【答案】【小题1】 【小题2】 四边形四边形， ，解得，   9.【答案】解：原矩形的长为6，宽为x，小矩形的长为x，宽为 . 小矩形与原矩形相似， ， 解得 ， 不符合题意，舍去 的值为 .   10.【答案】【小题1】 解：由题意得，， 【小题2】 证明：，，，，，，，  又，与相似．   11.【答案】解：依题意，得四边形ABEF是正方形. 设，则， 四边形EFDC与矩形ABCD相似， ，解得，不符合题意，舍去 经检验，是分式方程的解，且符合题意   12.【答案】【小题1】 解：不相似，理由如下： ，， 小路四周所围成的矩形和矩形ABCD不相似. 【小题2】 x与y的比值为时，矩形和矩形ABCD相似.理由如下： 当时，矩形和矩形ABCD相似，解得 与y的比值为时，矩形和矩形ABCD相似.   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1课时成比例线段（ 1） 一、选择题 1.一个矩形长10m，宽3m，则这个矩形的长和宽的比为      A. B. C. D. 2.下列各组线段的长度成比例的是(    ) A. 1，2，3，4 B. 2，3，4，6 C. 3，4，5，6 D. 5，10，15，20 3.若，则下列比例式正确的是    A. B. C. D. 4.若，则的值为    A. B. C. D. 5.《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”.问题：有3斗的粟斗升，若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为(    ) A. 升 B. 升 C. 18升 D. 24升 6.如图，在中，，，，则BC与AC的比为(    ) A. B. C. D. 7.如图，线段，则      A. B. C. D. 二、判断题 判断下列各组线段是不是比例线段是的选A，不是的选 8.2，4，8(    ) A. 正确 B. 错误 9.1，3，3，8(    ) A. 正确 B. 错误 10.1，6，2(    ) A. 正确 B. 错误 11.1，，，2(    ) A. 正确 B. 错误 三、填空题 12.已知线段，，a与b的比为          . 13.如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，则          ，          . 14.已知a，b，c，d是成比例线段，若，，，则线段a的长是          . 15.如图，在中，，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，若点E为AC的中点，则          . 四、解答题 16.a，b，c，d是成比例线段，其中，，，求线段d的长. 17.如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，，，且，求线段AB的长. 18.已知三角形的三边满足，且，求a，b，c的值. 19.如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少? 20.如图，在中，D，E分别是AB和AC上的点，，，，且，求AD的长. 答案和解析 1.【答案】C  2.【答案】B  3.【答案】B  4.【答案】D  5.【答案】C  6.【答案】C  7.【答案】D  8~11.【答案】A 、B 、A 、A  12.【答案】  13.【答案】     14.【答案】3  15.【答案】  16.【答案】解：、b、c、d是成比例线段， ：：d， ， ，，，   【解析】本题考查了比例线段的定义：若四条线段a，b，c，d有a：：d，那么就说这四条线段成比例．写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 根据a、b、c、d是成比例线段，得a：：d，再根据比例的基本性质，求出d的值即可． 17.【答案】解：，，， ，解得   18.【答案】解：设，，， ，解得 ，，   19.【答案】解：， ， 解得或负值舍去   20.【答案】解：设，则 由，得解得的长为   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $第2课时成比例线段（2) 一、选择题 Q-3 1.已知：=亏；且b+2≠0，那么6+2=(】 83 C 2 3 2已知之-b=3(x+a≠0)，则义t也=(）】 x a 4 x+a 4 83 1 4 4 3.若四条不相等的线段a,b,c,d满足9=-S b d' 则下列等式中成立的是() A.a+c=b+d Bb=d c.atb_c D.a-b b d a c “b+dd b 二、填空题 4若义=2，则Xy的值为 X X 5.已知0-b=3 b一方，则的值为一 68号6-69*4 6+6的值为一 7设实数a,b,c满足1a-2bl+3b-c=0' 则a:b:c=一 8已知9=9=￡=3，且3a-c+4e=15,则3b-d+4f的值为一 "b d f 9若号分号助+3d0,则93 b+3d 10卫知8-台月手动+df=0.0+ce 三、解答题：本大题共11小题，共72分。 1.已知x:y=2:3,求X+2y的值 y 第1页，共1页 d-c 12.已知g=9=￡=3，且a+c+e=12,求b+d+f的值 "b d f 15已知埃段a,6c满足号-号- ,且a+2b+c=26. (1)求a,b,c的值 (2若号合求：的位 14在△ABC和AABC中AB+gC=C=子若△ABC的周长等于2，求△ABC的 周长 15.如图，已知每个小方格的边长均为1，求AB,DE,BC,DC,AC,EC的长，并计算△ABC与△EDC 的周长比 第2页，共1页 ABBCCA_3 16在△ABC和△AB,C中，ABBC,CA亏，且△AB,C的月长是50，求△ABC的周长 17.设a,6,c是△ABC的三条边，且-b=b二S=C二0，判断△ABC的形状，并说明理由. b c a 18已知a,b,C是△ABC的边长，且满足94-b3-牛，Q+6+c=2,判断△ABC的形状 1如图，AB=BC=AC=2,求A AB+BC+AC BC AC AB+BC+AC的值 (2)结论：如果两个图形的边长的比相等，那么它们的周长的比一 第3页，共1页 答案和解析 1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】B 【解打】A号台可神片告改本德项不常合起要：B由号导可名县故本选碳花合 a c 题意：C号台用8行-分放木选项不待合题遮，0号后可得)：-。拉木选明 不符合题意. 4.【答案】3 5.【答案】 10 6【答1号 7.【答案】2：1：3 8.【答案】5 【谷1 10.【答案】12 1.【答案】解：x:y=2:3,.设x=2k,y=3k.原式=2k+6k-8 3k3 12.【答案】解：依题意，得gtc+e=3.:a+c+e=12,b+d+f=4. b+d+f 13.【答案】【小题1】 解：号-9-合k则a=3k,b-2k,6-6k .3k+2×2k+6k=26,解得k=2.∴.a=6,b=4,c=12. 【小题2】 依题意，得x2=ab=6×4=24.∴.x=±2V6. ·AB+BC+AC-2 4【答案】解：.A'B+B'C=A'C=3,…AB'+B'C+A'C=气 第4页，共1页 :△ABC的周长等于12，△A'B'C的周长为12÷2=18. 15.【答案】解：由图可知，AB=2+4=25'DE=+2=5 BC=V2+62=2V10'DC=V12+32=V101 AC=V42+6=2V13'EC=V22+3=V13 :.△ABC的月210+25+2E-2 ·△EDC的周√径+V5+√10 16【答案】解：：AB=BC=CA3 AB BC CA5' AB+BC+AC_AB+BC+AC_3 A B+B C+C A 50 .∴.AB+BC+AC=30. △ABC的周长为30. 17.【答案】解：△ABC为等边三角形，理由如下： .a,b,c是△ABC的三条边，.a+b+c≠0. a-b_b-c_c-a.a-b_b-c_c-a_a-b+b-ctc-a-0. b c a bc a a+b+c ∴.a-b=0,b-c=0,c-a=0.∴.a=b=c..∴△ABC为等边三角形. 18.【答案】解：设9+4=b牛3=+8=k(k≠0)，则a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8, 324 .a+b+c=12 ∴.3k-4+2k-3+4k-8=12 第5页，共1页 .k=3’ ∴.a=5’b=3’c=4. c2+b2=42+32=25=a2 ·△ABC是直角三角形 19.【答案】【小题1】 解：依题意，得AB=2AB, 【小题2】 等于边长的比 BC=2BC,AC=2AC.∴. AB+BC+AC AB+BC+A C =2. 第6页，共1页第5课时相似三角形的性质（选用) 一、选择题 1.如图，△ABO∽△CDO,若B0O=8,DO=4,CD=3,则AB的长是() A B A.2 B.3 C.4 D.6 2△A8c-么兰2号若C=2,则EF() A.4 B.6 C.8 D.16 3.如图，△ADE一△ABC,若AD=1,BD=2,则△ADE与△ABC的相似比是() A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.3:2 二、填空题 4.若△ABC一△就，∠A=30°，∠B=60°，则∠D= 第1页，共1页 5.如图，AB与CD交于点O,△OAC一△ODB,∠C=∠B,则∠A=∠一，OC的对应边是 AC的对应边是一 6.如图，在边长为1的方格纸中，点A,B,C,D都在方格纸的交点处，线段AB与CD相交于点E, AE △ADE∽△BCE,则BE的值为一 7.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC和△EDF的顶点都在网格的格点上， △ABC一△EDF,则△ABC和△EDF的相似比为一，∠BAC的度数为一 第2页，共1页 8.如图，△ABC一△ABC,∠B=90°. A B 4 6 B C (1)AB的对应边为—'BC的对应边为一'∠ABC一口； (2)△ABC与△ABC的相似比k= 9.填空 通过边的长短找对应边 通过角找对应边 通过对应字母找对应边 A 3 cm 2 9 6 3 B131° B G 2 cm 4 12 D231 D 1.已知△ABC一△NMG. 2.己知△ABC一△ADE. 3.已知△ABC一△AED. (1)AB的对应边是一， (1)AB的对应边是 BC的对应边是； 1AB =； BC的对应边是一； AE 2)相似比为一 2)相似比为 2)相似比为一 三、解答题 10.如图，△ABP一△CDP,AB=6,CD=15,BP=8,求PD的长 第3页，共1页 11.如图，△ACE△BDE,AC=6,BD=3,AB=12,求AE的长， C 12.如图，在△ABC中，点D,E分别是AC,AB上的一点，△ADE一△ABC,AD=4,AE=3, EB=5,求CD的长， E D C 13.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90,AD是斜边BC上的高，△ABD一△CAD,若BD=4, CD=9,求AD的长 B D 14.如图，△ABC一△CAD,∠ACB=∠D=90°.若AC=5,AD=3,求AB的长. 第4页，共1页 15.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边AD,DC上，△ABE一△乙，AB=6,AE=8,DE=2. 求EF的长 D 第5页，共1页 答案和解析 1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】30 5.【答案】D OB DB 6【答案】 7.【答案】y 10 2 135 8.【答案】【小题1】 AB BC 90 【小题2】 32 【解析】1.略 2.略 9.【答案】☑M MG 1-3 AD 第6页，共1页 DE AC AD BC ED 1-2 0.【答案解：△ABP-△CDP,·识B, .68 即元DP解得DP=20.PD的长为20. 1.【答案】解：：△ACE-△BDE,.AS=CE=AC ·BE DE BD AC6,BDE3.AE能2AE=2x2 2+78 12.【答案】解：.AE=3,EB=5,∴.AB=AE+EB=3+5=8. :△ADE-△ABc,光岩即名合 AC 8 解得AC=6.∴.CD=AC-AD=6-4=2. “ADCD,即AAD 13.【答案】解：：△ABD-△CAD,.B=AD AD 9 解得AD=6(负值已舍去).∴.AD的长为6. 14【答案】解：：∠D=90”AC=5'AD=3'∴CD=VAC2-AD=4. :△ABC-△CAD,S2识导世解得AB=空AB=空 第7页，共1页 15.【答案】解：四边形ABCD是矩形，∴.∠BAE=90°. .AB=6'AE=8'.BE=VAB2+AE2=V6+8=10. 7△AE-a.0瞟吗识 解得EF-号EF的长为号 第8页，共1页第3课时平行线分线段成比例 一、选择题 1.如图，已知AB/ICD/IEF,若AC=6,CE=3,DF=2,则BD的长为() A.4 B.4.5 C.5.5 D.6 2如图，直线a/Ib/1c,分别交直线m,n于点A,C,E和B,D,F,下列结论不正确的是() m B E A.AC-BD B.AC-AB C.CE_DF D.AEBF CE DF AE EF AE BF AC BD 3.如图，在△ABC中，DE/AB, CD_3 CE BD2:则AC的值为） 35 房 c D 3-2 第1页，共1页 BE 4如图，直线AD,BC相交于点O,AB1/EF11CD.若A0=2,OF=1,FD=2,则C的值为(） B E F B C.2 5.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上， 若线段BC=4cm,则线段AC的长是() B A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm 二、填空题 6如图，直线DP,AC被三条平行直线l1,l2,l3所截，若DE=6,EF=7,AB=5,则AC的长为一 D B 第2页，共1页 7.如图1、2，小方格的边长均为1，直线1/112/13，分别交直线m,n于格点A1,A2,A3和B1,B2, B3 B 1 (1)根据图1填空： A1A2= B:B2 A2A3 B2B3 A1A2 B B2 AA3 B B3 AA=—, B2B3 AA3 BB3 (2)根据图2填空： AA2= BB2 A2A3 B2B3 A1A2=- B1B2- AA3 BB3 A2A3=-, B2B3= AA3 BB3 第3页，共1页 8.如图，点D,E分别在△ABC的边AB,AC上，DE/BC,AD=4,BD=2,AC=4.5,则CE的长 为一 D E B 三、解答题 9.如图，在△ABC中，点D,E分别是AB和AC上的点，且DE //BC. B （1)如果AD=3.2cm,DB=1.2cm,AE=2.4cm,那么EC的长是多少？ (2)如果AB=5cm,AD=3cm,AC=4cm,那么EC的长是多少？ 10.如图，AC与BD相交于点O,且AB/CD, OA_2 OC 3 B (1若0B=4,则0D= 第4页，共1页 (2)若BD=15,求OB的长， 11.如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB,AC,BC上的点，且DE/BC,EF/IAB, AD:DB=2:3,BC=20cm,求BF的长， 12如图，在△ABC中，D,B分别是AB和BC上的点，且DE1/AC,BEEC,AC号求BD ABAC AB5AB 13.如图，在△ABC中，点E,F分别是AB和AC上的点，且EF/BC. E B (1)若AE=6,BE=3,CF=2,则AF= 第5页，共1页 (2)若AB=10,AE=6,AF=5,求FC的长. .AE_2 14.如图，在ABCD中，点E是AD边上的点，连接CB并延长，交AB的反向延长线于点F.若BC3 AB 求AF的值： 15.如图，EG/BC,GF//DC,AE=3,EB=2,AF=6,求AD的长. 16.如图，在△ABC中，D,E,F分别是AC,BC,AB上的点，且DE/AB,DF/1BC. B (1求证：BFEC1 AF BE (2)若AD=3,CD=4,BC=10,求BE和EC的长 第6页，共1页 (3)若点F是边AB上靠近点A的三等分点，AB=9,BC=12,求四边形DFBE的周长. 第7页，共1页 答案和解析 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】A 5.【答案】C 【解析】【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D,交点C所在的平行横线于E, 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可. 【详解】 解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D,交点C所在的平行横线于E, D 则ABAD BC DE' 即AB、1 42' 解得：AB=2, .∴.AC=2+4=6(cm). 故选：C. 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键 6【路案1碧 7.【答案】【小题1】 14 14 1-5 第8页，共1页 1-5 4 5 45 【 2】1 32 32 35 3-5 25 2-5 8.【答案】1.5 9.【答案】【小题1】 解：DE1IBC, AD_AE DB EC' 32=24.EC=0.9cm. 1.2EC 【小题2】 :D/x小R光间34是：c=16m 10.【答案】【小题1】 6 【小题2】 第9页，共1页 .AB//CD, OA2 0C31 .OB_OA_2 ·0D0C3 OB 15-0B3 解得OB=6. 11.【答案】解：DE/1BC,EF/1AB :.四边形BDEF是平行四边形， .∴.BF=DE. :ADDB=2:3, ∴.ADAB=25. DE//BC' .'.DE:BC=AD:AB=2:5,E DE:20=2:5, .DE=8' BF=8. 故BF的长为Bcm. 【解析】此题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，比例的性质，难度不大，得出 BF=DE,从而利用转化思想是解题的关键. 先由DE/1BC,EF/1AB得出四边形BDEF是平行四边形，那么BF=DE.再由AD:DB=2:3,得出 AD:AB=2:5.由DE/IBC,根据平行线分线段成比例定理得出DE:BC=AD:AB=2:5,将 BC=20cm代入求出DE的长，即为BF的长。 第10页，共1页 12【答案】解：“把AS BE EC ABBE5 ·AC=EC3 DE//AC' .AD=EC_3 ·BDBE5 :A=AD+BD=A0+1=3+1=8 ·BD BD BD 5 【解析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，解题的关键是把所求比例转化成己知比例.根据已知 的比例进行变形，然后根据平行线分线段成比例定理得出比例关系，从而可得结论 13.【答案】【小题1】 【小题2】 .AB=10,AE=6, .∴.BE=4. EF//BC AE=AF 即5=5 4 FC .FC=10 14.【答案】解：.四边形ABCD是平行四边形 AD//BC,AB//CD,AD=BC..AF=EE-AE AB EC DE E能=3AD=BC.A=24AE2·A-DE1 ,AD3DEi·AFAE2 第11页，共1页 15【答】解：：EGII BC,5-2C:GF/UDC.4G=AEA延=AF GC ED EB D,即 3_6 2 FD ..FD=4.∴AD=10. 16.【答案】【小题1】 解：证明：：DF1/BC,∴AS=AD BF CD DE1IAB,∴ AD_BE.AF BE CD-EC·BFEC 【小题2】 (1,得ADB熙 CD BC AD=3,CD=4,BC=10.09Bg Bk=9C=6C-=10-9-9 77 【小题3】 DE//AB,DF//BC, 四边形DFBE为平行四边形.∴.DE=FB,DF=BE. .AB=9,BC=12,点F是靠近点A的三等分点， AF=AD=BE-1,BF=6.'.BE=4. AB AC BC 3' ∴.四边形DFBE的周长为2×BF+BE=2×6+4=20. 第12页，共1页