2.2一元二次方程的解法知识梳理与题型突破（七大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以七大题型分层覆盖一元二次方程六种解法，从基础步骤训练到综合应用迁移，梯度清晰，适配新授课知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|直接开平方法、配方法基础步骤|选择填空为主，如直接开平方法解方程，强化符号意识与运算能力| |方法应用层|公式法、因式分解法、根的判别式|解答题为主，如用公式法解方程及判别式判断根的情况，培养推理意识| |综合迁移层|配方法应用、换元法|情境题与阅读材料题，如配方法解决几何面积问题、换元法降次，发展模型意识与创新意识|

2.2一元二次方程的解法知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版九年级上册（七大题型） 知识梳理： 考点 1 解一元二次方程-直接开方 ： 注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2） 降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3） 方法是根据平方根的意义开平方 考点2 解一元二次方程-配方法： 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 考点3 解一元二次方程-公式法： 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 考点4 一元二次方程的判别式： 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 考点 5 解一元二次方程-因式分解 ： 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 考点6 换元法解一元二次方程： （1）换元法就是把某一个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。 （2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。 题型突破： 题型一：解一元二次方程（直接开平方法） 1.二次方程（x﹣22）2＝0的根为（　　） A．x1＝x2＝22 B．x1＝x2＝﹣22 C．x1＝0，x2＝22 D．x1＝﹣22，x2＝22 2.若方程（x﹣1）2＝m有解，则m的取值范围是（　　） A．m≤0 B．m≥0 C．m＜0 D．m＞0 3.解方程： （1）（2x﹣1）2＝﹣8； （2）64（x+1）2＝81． 4.解方程：2（x﹣1）2﹣＝0． 5.解方程：（x﹣1）2﹣25＝0． 题型二：解一元二次方程（配方法） 1.用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9 2.一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后可化为（　　） A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝2 D．（x﹣6）2＝35 3.将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4.用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0． 5.用配方法解方程：3x2+4x﹣7＝0 题型三：配方法的应用 1.若a，b，c满足a2+b2+8＝4a+4b﹣|c﹣2|，试判断△ABC的形状，并说明理由． 2.阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0， ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 （m﹣n）2+（n﹣4）2＝0， ∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0， ∴m＝n＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）a2﹣2a+1+b2＝0，则a＝　　 ，b＝　 　； （2）已知x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值； （3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，求△ABC的周长． 3.阅读下列材料． 利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1． （1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系． ∵x2﹣2x+3＝（x﹣　　）2+　　． ∴x2﹣2x+3 　 　0（填“＞”“＜”“＝”）； （2）如图1所示的长方形的长、宽分别是3a+2、2a+5，求长方形的面积S1（用含a的式子表示）；如图2所示的长方形的长、宽分别是5a、a+5，求长方形的面积S2（用含a的式子表示）； （3）比较（2）中S1与S2的大小，并说明理由． 题型四：解一元二次方程（公式法） 1．关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（　　） A． B． C． D． 2．用公式法解一元二次方程3x2+3＝2x时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（　　） A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝﹣3，b＝2，c＝3 C．a＝3，b＝2，c＝﹣3 D．a＝3，b＝﹣2，c＝3 3．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0 4.用公式法解下列方程： （1）2x2+5x﹣1＝0 （2）6x（x+1）＝5x﹣1 5. 用公式法解方程：5x2＝7﹣2x． 6. 题型五：一元二次方程的根判别式 1.一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（   ） A．17 B．1 C．－1 D．－17 2. 知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________ ． 5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________. 题型六：解一元二次方程（因式分解法） 1．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式ax2+bx+c等于（　　） A．（x﹣2）（x+3） B．（ax﹣2）（x+3） C．a（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3） 2.方程x2＝2x的解是（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝，x2＝0 3.一元二次方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣5 C．x1＝1，x2＝5 D．x1＝0，x2＝5 4.用因分解法解下列一元二次方程： （1）2x2﹣x﹣1＝0； （2）（2x+1）2＝（x﹣1）2． 5.用因式分解法的方法解下列方程： （1）x2﹣2x﹣15＝0； （2）（x+3）2＝2x+6． 题型七：换元法解一元二次方程 1.若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，则x2+2x的值为（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2 2.已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 3.若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　） A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4 4．若，则____． 5.为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，所以； 当y＝4时，x2﹣1＝4，所以． 所以原方程的根为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程： （1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4； （2）x4+x2﹣12＝0． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2一元二次方程的解法知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版九年级上册（七大题型） 知识梳理： 考点 1 解一元二次方程-直接开方 ： 注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2） 降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3） 方法是根据平方根的意义开平方 考点2 解一元二次方程-配方法： 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 考点3 解一元二次方程-公式法： 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 考点4 一元二次方程的判别式： 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 考点 5 解一元二次方程-因式分解 ： 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 考点6 换元法解一元二次方程： （1）换元法就是把某一个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。 （2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。 题型突破： 题型一：解一元二次方程（直接开平方法） 1.二次方程（x﹣22）2＝0的根为（　　） A．x1＝x2＝22 B．x1＝x2＝﹣22 C．x1＝0，x2＝22 D．x1＝﹣22，x2＝22 【答案】A 2.若方程（x﹣1）2＝m有解，则m的取值范围是（　　） A．m≤0 B．m≥0 C．m＜0 D．m＞0 【答案】B 3.解方程： （1）（2x﹣1）2＝﹣8； （2）64（x+1）2＝81． 【答案】（1） 无解（2）x1＝，x2＝﹣ 【解答】解：（1）∵（2x﹣1）2＝﹣8＜0， ∴方程无实数根； （2）∵64（x+1）2＝81， ∴（x+1）2＝， ∴x+1＝±， ∴x1＝，x2＝﹣． 4.解方程：2（x﹣1）2﹣＝0． 【答案】x1＝，x2＝﹣ 【解答】解：2（x﹣1）2﹣＝0， 移项，得2（x﹣1）2＝， （x﹣1）2＝， 开方，得x﹣1＝， 解得：x1＝，x2＝﹣． 5.解方程：（x﹣1）2﹣25＝0． 【答案】x1＝6，x2＝﹣4． 【解答】解：∵（x﹣1）2﹣25＝0， ∴（x﹣1）2＝25， ∴x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5， 则x1＝6，x2＝﹣4． 题型二：解一元二次方程（配方法） 1.用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9 【答案】C 2.一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后可化为（　　） A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝2 D．（x﹣6）2＝35 【答案】B 3.将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 4.用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0． 【答案】x1＝2+，x2＝2﹣． 【解答】解：移项得x2﹣4x＝3， 配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7， 开方得x﹣2＝±， 所以x1＝2+，x2＝2﹣． 5.用配方法解方程：3x2+4x﹣7＝0 【答案】x1＝1，x2＝﹣． 【解答】解：3x2+4x﹣7＝0， 3x2+4x＝7， x2+x＝， x2+x+（）2＝+（）2， （x+）2＝， x+＝±， x1＝1，x2＝﹣． 题型三：配方法的应用 1.若a，b，c满足a2+b2+8＝4a+4b﹣|c﹣2|，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】△ABC是等边三角形 【解答】解：∵a2+b2+8＝4a+4b﹣|c﹣2|， ∴a2﹣4a+4+b2﹣4b+4+a2+b2+8+|c﹣2|＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+|c﹣2|＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣2＝0，c﹣2＝0． ∴a＝b＝c＝2， ∴△ABC是等边三角形． 2.阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0， ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 （m﹣n）2+（n﹣4）2＝0， ∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0， ∴m＝n＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）a2﹣2a+1+b2＝0，则a＝　　 ，b＝　 　； （2）已知x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值； （3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，求△ABC的周长． 【答案】（1）1，0； （2） （3）11． 【解答】解：（1）∵a2﹣2a+1+b2＝0， ∴（a﹣1）2+b2＝0， ∴a﹣1＝0，b＝0， ∴a＝1，b＝0， 故答案为：1，0； （2）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0， ∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4＝0， 即：（x﹣y）2+（y+2）2＝0， 则：x﹣y＝0，y+2＝0， 解得：x＝y＝﹣2， ∴xy＝（﹣2）﹣2 ＝； （3）∵2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0， ∴2a2﹣4a+2+b2﹣10b+25＝0， ∴2（a﹣1）2+（b﹣5）2＝0， 则a﹣1＝0，b﹣5＝0， 解得：a＝1，b＝5， ∵5﹣1＜c＜5+1， 即4＜c＜6，且c是正整数， ∴c＝5， 即三角形三边分别为1，5，5， ∴△ABC的周长为1+5+5＝11． 3.阅读下列材料． 利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1． （1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系． ∵x2﹣2x+3＝（x﹣　　）2+　　． ∴x2﹣2x+3 　 　0（填“＞”“＜”“＝”）； （2）如图1所示的长方形的长、宽分别是3a+2、2a+5，求长方形的面积S1（用含a的式子表示）；如图2所示的长方形的长、宽分别是5a、a+5，求长方形的面积S2（用含a的式子表示）； （3）比较（2）中S1与S2的大小，并说明理由． 【答案】（1）1，2，＞； （2）S1＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+19a+10，S2＝5a（a+5）＝5a2+25a； （3）S1＞S2． 【解答】解：（1）∵（x﹣1）2≥0， ∴x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＞2， ∴x2﹣2x+3＞0； 故答案为：1，2，＞； （2）根据题意得：S1＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+19a+10， S2＝5a（a+5）＝5a2+25a； （3）S1＞S2，理由为： S1﹣S2＝（6a2+19a+10）﹣（5a2+25a） ＝6a2+19a+10﹣5a2﹣25a ＝a2﹣6a+10 ＝（a2﹣6a+9）+1 ＝（a﹣3）2+1， ∵（a﹣3）2≥0， ∴（a﹣3）2+1≥1＞0， 即S1﹣S2＞0， 则S1＞S2． 题型四：解一元二次方程（公式法） 1．关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 2．用公式法解一元二次方程3x2+3＝2x时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（　　） A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝﹣3，b＝2，c＝3 C．a＝3，b＝2，c＝﹣3 D．a＝3，b＝﹣2，c＝3 【答案】D． 3．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0 【答案】A． 4.用公式法解下列方程： （1）2x2+5x﹣1＝0 （2）6x（x+1）＝5x﹣1 【答案】（1）x1＝，x2＝（2）没有实数解 【解答】解：（1）2x2+5x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝5，c＝﹣1， ∴Δ＝52﹣4×2×（﹣1）＝33＞0， ∴x＝＝， 所以x1＝，x2＝； （2）6x（x+1）＝5x﹣1， 整理得6x2+x+1＝0， ∵a＝6，b＝1，c＝1， ∴Δ＝12﹣4×6×1＝﹣23＜0， 方程没有实数解． 5.用公式法解方程：5x2＝7﹣2x． 【答案】x1＝1，x2＝﹣． 【解答】解：5x2+2x﹣7＝0， ∵a＝5，b＝2，c＝﹣7， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×5×（﹣7）＝144＞0， ∴x＝＝＝， ∴x1＝1，x2＝﹣． 题型五：一元二次方程的根判别式 1.一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（   ） A．17 B．1 C．－1 D．－17 【答案】A 2. 知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 【答案】B 3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 4．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________ ． 【答案】且##k≠1且k≤5 5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________. 【答案】且 题型六：解一元二次方程（因式分解法） 1．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式ax2+bx+c等于（　　） A．（x﹣2）（x+3） B．（ax﹣2）（x+3） C．a（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3） 【答案】C． 2.方程x2＝2x的解是（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝，x2＝0 【答案】C 3.一元二次方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣5 C．x1＝1，x2＝5 D．x1＝0，x2＝5 【答案】C． 4.用因分解法解下列一元二次方程： （1）2x2﹣x﹣1＝0； （2）（2x+1）2＝（x﹣1）2． 【答案】（1）x1＝1， （2）x1＝﹣2，x2＝0 【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1＝0 （2x+1）（x﹣1）＝0， 故2x+1＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝1，； （2）（2x+1）2＝（x﹣1）2， （2x+1+x﹣1）（2x+1﹣x+1）＝0， 则3x（x+2）＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝0． 5.用因式分解法的方法解下列方程： （1）x2﹣2x﹣15＝0； （2）（x+3）2＝2x+6． 【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣3 （2）x1＝﹣3，x2＝﹣1． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝0， （x﹣5）（x+3）＝0， 则x﹣5＝0或x+3＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣3； （2）（x+3）2＝2x+6， （x+3）2＝2（x+3）， 移项，得（x+3）2﹣2（x+3）＝0， 则（x+3）（x+1）＝0， ∴x+3＝0或x+1＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣1． 题型七：换元法解一元二次方程 1.若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，则x2+2x的值为（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2 【答案】B 2.已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 【答案】A 3.若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　） A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4 【答案】B 4．若，则____． 【答案】 5.为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，所以； 当y＝4时，x2﹣1＝4，所以． 所以原方程的根为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程： （1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4； （2）x4+x2﹣12＝0． 【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣1 （2）x1＝，x2＝﹣ 【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4， 设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0， 解此方程得：a1＝a2＝2， 当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0， 因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣1， 所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1； （2）x4+x2﹣12＝0， 设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0， 因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0， 解得：y1＝3，y2＝﹣4， 当y＝3时，x2＝3，解得：x＝； 当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根， 所以原方程的解是x1＝，x2＝﹣． 学科网（北京）股份有限公司 $