1.4正方形的性质与判定知识梳理与题型突破（九大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习以九大题型分层设计，覆盖正方形性质与判定全知识点，从基础应用到综合探究，梯度递进培养抽象能力、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|性质（求角度、线段、面积）|题型一至三，单考点直接应用，如求正方形中角度、线段长度| |提升层|判定与性质综合|题型四至六，判定条件选择与证明，如矩形添加条件变正方形及综合证明| |拓展层|探究与跨情境应用|题型七至九，最值问题、坐标系运用及多结论辨析，如动点最值、坐标计算|

1.3正方形的性质与判定知识梳理与题型突破2026-2027学年北师大版九年级上册（九大题型） 知识梳理： 考点 1 正方形的概念与性质 ： 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 考点3 正方形的判定： ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 题型突破： 题型一：正方形的性质（求角的度数） 1.如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为 ． 4.如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则 ． 5．如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 题型二：正方形的性质（求线段的长度） 1.如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，点在边上，是边上的中点，平分．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 3.如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 4．如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交，于点，．已知，，则的长为 ． 5.如图，P为边长为2的正方形的对角线上任一点，过点P作于点E，于点F，连接．当点P运动到中点时，长度为 ． 题型三：正方形的性质（求面积） 1．如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 2．我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形教具边长为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 3.如图，在菱形中，以为对角线作正方形，若，，则正方形的面积为（    ） A．12 B．18 C．24 D．48 4.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别交正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 题型四：判定正方形成立的条件 1．同学们探究四边形纸板是否为正方形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量四条边是否相等 B．测量四个内角是否相等且一组邻边是否相等 C．测量四个内角是否是直角 D．测量两条对角线是否相等且是否互相垂直 2.下列条件不能判定平行四边形是正方形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（　　）    A． B． C． D． 4．如图，已知四边形是平行四边形，对角线，且相交于点，请你添加一个条件，使其成为正方形： ．    5．如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 题型五：正方形判定的证明 1.如图，在中，于点，于点，，求证：四边形是正方形． 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F． （1）求证：DE＝EF； （2）当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论． 3.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点． （1）求证：BM＝CM． （2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由． 题型六：正方形的判定与性质综合 1.如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE． （1）求证：四边形EFGH是正方形； （2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长． 2.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM． （1）求证：矩形DEFM是正方形； （2）求CE+CM的值． 3.如图，在矩形中，平分交边于点E，过点E作交边于点F，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 题型七：探究正方形中的最值问题 1．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（    ） A． B． C． D．＋1 2．如图，在边长为6的正方形中，若E，F分别是边上的动点，，与交于点P，连接．则的最小值为 ． 3．如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则的最小值为 ． 4．如图，在正方形中，对角线，交于点，为边上一动点（不与点，重合），过点作于点于点，连接，若，则的最小值为 ． 题型八：正方形在坐标系中的运用 1.如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点C的坐标为（　　） A．（3，1） B．（3，2） C．（2，1） D．（1，3） 2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 3.如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则C点的坐标是（　　） A．（1，3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，1） 4.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　） A．（） B．（2，﹣1） C．（1，） D．（﹣1，） 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 题型九：正方形中的多结论问题 1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④正方形对角线AC＝1+，其中正确的序号是（　　） A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④ 3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（    ）    A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 5．如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤；⑥若，，则．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3正方形的性质与判定知识梳理与题型突破2026-2027学年北师大版九年级上册（九大题型） 知识梳理： 考点 1 正方形的概念与性质 ： 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 考点3 正方形的判定： ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 题型突破： 题型一：正方形的性质（求角的度数） 1.如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 3．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为 ． 【答案】/45度 4.如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则 ． 【答案】 5．如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 【答案】/75度 题型二：正方形的性质（求线段的长度） 1.如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2．如图，在正方形中，点在边上，是边上的中点，平分．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 【答案】4 4．如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交，于点，．已知，，则的长为 ． 【答案】 5.如图，P为边长为2的正方形的对角线上任一点，过点P作于点E，于点F，连接．当点P运动到中点时，长度为 ． 【答案】 题型三：正方形的性质（求面积） 1．如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形教具边长为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，在菱形中，以为对角线作正方形，若，，则正方形的面积为（    ） A．12 B．18 C．24 D．48 【答案】C 4.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别交正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【答案】 题型四：判定正方形成立的条件 1．同学们探究四边形纸板是否为正方形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量四条边是否相等 B．测量四个内角是否相等且一组邻边是否相等 C．测量四个内角是否是直角 D．测量两条对角线是否相等且是否互相垂直 【答案】B 2.下列条件不能判定平行四边形是正方形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 3．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 4．如图，已知四边形是平行四边形，对角线，且相交于点，请你添加一个条件，使其成为正方形： ．    【答案】（答案不唯一） 5．如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 【答案】（答案不唯一） 题型五：正方形判定的证明 1.如图，在中，于点，于点，，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F． （1）求证：DE＝EF； （2）当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论． 【答案】（1）略 （2） 【解答】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB， ∴四边形DBCF为平行四边形， ∴DF＝BC， ∵D为边AB的中点，DE∥BC， ∴DE＝BC， ∴EF＝DF﹣DE＝BC﹣CB＝CB， ∴DE＝EF； （2）解：当△ABC满足∠BAC＝45°，四边形ADCF是正方形， 证明：∵四边形DBCF为平行四边形， ∴BD＝CF， ∵∠ACB＝90°，D为边AB的中点， ∴AD＝BD＝CD， ∴AD＝CF， ∵AD∥CF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BAC＝∠DCA＝45°， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF是正方形． 3.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点． （1）求证：BM＝CM． （2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由． 【答案】（1）略 （2）当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°， ∵M为AD中点， ∴AM＝DM， 在△ABM和△DCM中， ， ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴BM＝CM； （2）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，理由如下： ∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点， ∴NE∥CM，NE＝CM， ∵MF＝CM， ∴NE＝FM， ∵NE∥FM， ∴四边形MENF是平行四边形， 由（1）知△ABM≌△DCM， ∴BM＝CM， ∵E、F分别是BM、CM的中点， ∴ME＝MF， ∴平行四边形MENF是菱形； ∵M为AD中点， ∴AD＝2AM， ∵AB：AD＝1：2， ∴AD＝2AB， ∴AM＝AB， ∵∠A＝90°， ∴∠ABM＝∠AMB＝45°， 同理∠DMC＝45°， ∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∵四边形MENF是菱形， ∴菱形MENF是正方形． 题型六：正方形的判定与性质综合 1.如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE． （1）求证：四边形EFGH是正方形； （2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长． 【答案】（1）略 （2）20 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴AB﹣AE＝BC﹣BF＝CD﹣CG＝AD﹣DH， ∴BE＝CF＝DG＝AH， 在△AEH，△BFE，△CGF，△DHG中， ， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）， ∴EH＝EF＝FG＝GH，∠AEH＝∠BFE，∠AHE＝∠BEF， ∴四边形EFGH是菱形，∠AEH+∠BEF＝∠AHE+∠BFE， ∵∠AEH+∠AHE＝90°， ∴∠AEH+∠BEF＝90°， ∴∠FEH＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形EFGH是正方形； （2）解：∵AB＝7，AE＝3， ∴BE＝AH＝AB﹣AE＝7﹣3＝4， ∴EH＝＝＝5， ∵四边形EFGH是正方形， ∴四边形EFGH的周长＝5×4＝20． 2.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM． （1）求证：矩形DEFM是正方形； （2）求CE+CM的值． 【答案】（1） 略（2）6 【解答】解：（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠ACD． ∵EG⊥CD，EH⊥BC， ∴EG＝EH， ∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°， ∴四边形EGCH是矩形， ∴∠GEH＝90°． ∵四边形DEFM是矩形， ∴∠DEF＝90°． ∴∠DEG＝∠FEH． ∵∠EGD＝∠EHF＝90°， ∴△EGD≌△EHF（ASA）， ∴ED＝EF． ∴矩形DEFM是正方形； （2）∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°． ∴∠ADE＝∠CDM． ∴△ADE≌△CDM（SAS）， ∴AE＝CM． ∴CE+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6． 3.如图，在矩形中，平分交边于点E，过点E作交边于点F，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵    ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵平分， ∴，   ∵， ∴， ∴，    ∴， ∴矩形是正方形． （2）在中，，， ∴， ∴， ∴在中，． 题型七：探究正方形中的最值问题 1．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（    ） A． B． C． D．＋1 【答案】A 2．如图，在边长为6的正方形中，若E，F分别是边上的动点，，与交于点P，连接．则的最小值为 ． 【答案】/ 3．如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 4．如图，在正方形中，对角线，交于点，为边上一动点（不与点，重合），过点作于点于点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】5 题型八：正方形在坐标系中的运用 1.如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点C的坐标为（　　） A．（3，1） B．（3，2） C．（2，1） D．（1，3） 【答案】A 2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 3.如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则C点的坐标是（　　） A．（1，3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，1） 【答案】A 4.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　） A．（） B．（2，﹣1） C．（1，） D．（﹣1，） 【答案】A 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 题型九：正方形中的多结论问题 1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 2.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④正方形对角线AC＝1+，其中正确的序号是（　　） A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④ 【答案】A 3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 4．如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（    ）    A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 5．如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤；⑥若，，则．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 $