第二章 一元二次函数、方程与不等式（单元自测·强化卷）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次函数、方程与不等式单元核心，通过集合运算、不等式解法、基本不等式及实际应用问题，分层考查数学抽象、运算推理与建模能力，适配单元复习强化需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合运算、充分必要条件|第2题通过错解分析考查不等式解集逻辑推理| |多选题|3/18|基本不等式、命题否定|第10题结合正实数条件多维度考查最值求法| |填空题|3/18|不等式解集、参数范围|第13题通过解集反求参数，强化逆向思维| |解答题|5/74|实际应用建模、恒成立问题|第17题矩形场地费用问题，体现用数学语言表达现实世界；第19题含参不等式求解，培养数学思维的严谨性|

第二章 一元二次函数、方程与不等式（单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式 【分析】先根据分式不等式的解法求出集合，根据绝对值不等式的解法求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】由得，解得，则， 由，解得，则， 所以. 故选：B. 2．小张、小胡两人解关于x的不等式，小张写错了常数b，得到的解集为；小胡写错了常数c，得到的解集为，则原不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，结合韦达定理即可得解. 【详解】因为小张写错了常数，得到的解集为，所以， 小胡写错了常数，得到的解集为，所以，解得， 所以原不等式为，解得， 即原不等式的解集为. 故选：B. 3．已知正数a，b，满足，则的最小值为（　　） A．4 B．6 C．16 D．25 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将分式化简，根据“1”的妙用可求出最值. 【详解】因为，， 所以， 因为a，b均为正数，所以，也为正数， 则， 当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为16. 故选：C. 4．已知，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：B. 5．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的解集为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由一元二次不等式的解集得到，，再依次判断A、B、C，再由一元二次不等式的解法求解集判断D. 【详解】由题设是的两个根，且，A错， 所以，故，B、C错， 由，D对. 故选：D 6．“方程有实根”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】由得到有实数根满足的条件，根据真包含关系得到答案. 【详解】有实数根，故， 解得或， 由于是的真子集， 故“方程有实根”是“”的必要不充分条件. 故选：B 7．设集合A＝，若，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、分式不等式 【分析】根据得出，得出或，解不等式即可. 【详解】因，则，即，得或； 因，则或，即或，得， 综上，实数的取值范围是. 故选：B. 8．某工厂计划搭建一个由矩形和等腰直角三角形组成的联合储物棚，其中等腰直角三角形的一条直角边与矩形的一条长边重合（记矩形长边长度为，短边长度为，单位：）.已知搭建整个储物棚的材料总长度（即所有边的长度之和，重合边不计入）为（矩形贡献3条边：1条长边､2条短边；等腰直角三角形贡献2条边：1条直角边､1条斜边），则该储物棚的最大占地面积（矩形面积与等腰直角三角形面积之和）约为（    ）. A．105 B．120 C．125 D．128 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】根据题意，可得x，y的关系，整理得，进而可得x的范围，由题意得占地面积S的表达式，化简可得关于x的二次函数，根据函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意，，则， 因为，所以， 因为，所以， 则占地面积， 为开口向下，对称轴的抛物线， 所以当时，S有最大值， 且为. 所以该储物棚的最大占地面积约为120. 故选：B 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．（多选）以下四个命题中，是真命题的有（    ） A．∀x∈R，x2－x＋1>0 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若命题：，，则的否定为：， D．若，则 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、特称命题的否定及其真假判断、判断命题的真假、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】A配方即可；B根据集合的包含关系判断；C根据特称命题的否定的定义判断；D作差法判断. 【详解】对于选项A：，故A选项为真命题； 对于选项B：因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为假命题； 对于C：由特称命题的否定可知，C选项为真命题； 对于选项D：若，则，即，故D选项为假命题. 故选：AC 10．已知正实数满足，则（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为20 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】利用基本不等式将原式转化，再令，通过解不等式求出的范围即可判断A；利用基本不等式将原式转化，设，通过解不等式求出的范围，进而求出的范围即可判断B；将变形为，将选项B中求出的代入求出其最小值，即可判断C；从原式中求出，将变形为，再利用基本不等式求出其最小值，即可判断D. 【详解】因为正实数满足， 所以由（当且仅当时等号成立），可得. 设，则有，整理可得，即. 因为，所以解得，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为6，故A正确； 因为正实数满足， 所以由（当且仅当时等号成立），可得. 设，则有，即， 因为，所以解得，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9，故B错误； 因为正实数满足，又由选项B可知， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 因为正实数满足，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 11．已知，，，下列结论正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对于A，由基本不等式“1的妙用”求解即可；对于B，根据题意，再代入配方即可确定最值；对于C，根据即可判断；对于D，由基本不等式解得，再根据对数的运算即可求解． 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A正确； 对于B，， 根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，故C正确； 对于D，因为，即， 当且仅当，即时取等号， 所以， 即最大值，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．已知正实数，，满足，则的最小值为_____. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】先根据基本不等式求出.然后即可根据不等式的性质得出，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，，， 因为， 当且仅当，即时等号成立， ∴， 当且仅当，即时，两个等号同时成立， ∴. 故答案为：. 13．已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据的解集为或得到，进而根据解一元二次不等式即可. 【详解】由题意得的两个根为，， ，则， 则，即， 即，解得， 则不等式的解集为. 故答案为：. 14．已知和，其中，若对任意的成立，则所有的的值为______． 【答案】、、 【难度】0.94 【知识点】判断一般幂函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】根据幂函数的性质判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且幂函数恒过点， 当时在上单调递减， 当时在上单调递增，且越大在上增长趋势越快， 所以要使对任意的成立，则，故符合题意的有、、. 故答案为：、、 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、分式不等式 【分析】（1）由不等式的解法，求得，根据，得到，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，转化为是的真子集，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式，可得， 解得，所以， 又由且，可得， 则满足，解得，所以的取值范围是. （2）解：由是的必要不充分条件，可得是的真子集， 所以时，，解得，此时满足是的真子集； 当时，则满足，且等号不能同时成立，此时无解. 综上所述，实数的取值范围是. 16．已知函数. (1)若，求不等式的解集 (2)若关于x的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)R； (2) 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）直接由一元二次不等式求解即可； （2）分和讨论，进行不等式恒成立求解． 【详解】（1）， ∴， ， ∴不等式的解集为R （2）当时，恒成立，满足题意； 当时，由题意得， 解得 综上所述，实数m的取值范围是. 17．如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的出入口，已知旧墙的维修费用为56 元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求总费用； (3)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 【答案】(1) (2) (3)，最小总费用是12200元 【难度】0.65 【知识点】函数关系的判断、求函数值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）总费用包括维修费用和新墙费用，旧墙长度为，新墙长度为，乘单价后相加得到总费用； （2）将代入，得到的值； （3）由基本不等式求得最值. 【详解】（1）设利用旧墙的长度为，则另一边长为， 所以新墙总长度为， 则 ， 故. （2）由（1）知，， 所以当时，. （3）因为，所以，由基本不等式有， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元. 18．设命题：对任意，不等式恒成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)记真时的所有取值构成集合，（），若，求正数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据交集结果求集合或参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）由函数在上单调递增求得，结合不等式恒成立可得，即可求得答案； （2）由，可得，分类讨论a的取值范围，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】（1）由于函数在上单调递增，故， 由对任意，不等式恒成立，可得， 解得，故实数的取值范围为； （2）由（1）知， 而， 由于，故， 当时，，则，解得； 当时，即为，此时，不满足； 当时，，则，解得； 综合以上可知正数的取值范围为. 19．设函数 (1)若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值； (2)若不等式对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围； (3)解关于x的不等式：f（x）＜a-1． 【答案】(1)， (2){1} (3) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）由题意可得0和是方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）转化问题为对于实数时恒成立，进而结合一次函数的性质求解即可； （3）根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由题意知，0和b是方程的根，且， 所以，解得， （2）由，即， 即对于实数时恒成立， 则，解得，则x的取值范围为{1} （3）由，则， 当时，不等式可化为，即，解集为， 当时，不等式可化为，不等式的解集为； 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程与不等式（单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．小张、小胡两人解关于x的不等式，小张写错了常数b，得到的解集为；小胡写错了常数c，得到的解集为，则原不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知正数a，b，满足，则的最小值为（　　） A．4 B．6 C．16 D．25 4．已知，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 5．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的解集为 6．“方程有实根”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设集合A＝，若，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．，或 D． 8．某工厂计划搭建一个由矩形和等腰直角三角形组成的联合储物棚，其中等腰直角三角形的一条直角边与矩形的一条长边重合（记矩形长边长度为，短边长度为，单位：）.已知搭建整个储物棚的材料总长度（即所有边的长度之和，重合边不计入）为（矩形贡献3条边：1条长边､2条短边；等腰直角三角形贡献2条边：1条直角边､1条斜边），则该储物棚的最大占地面积（矩形面积与等腰直角三角形面积之和）约为（    ）. A．105 B．120 C．125 D．128 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．（多选）以下四个命题中，是真命题的有（    ） A．∀x∈R，x2－x＋1>0 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若命题：，，则的否定为：， D．若，则 10．已知正实数满足，则（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为20 C．的最小值为 D．的最小值为 11．已知，，，下列结论正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．已知正实数，，满足，则的最小值为_____. 13．已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为______． 14．已知和，其中，若对任意的成立，则所有的的值为______． 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．已知函数. (1)若，求不等式的解集 (2)若关于x的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 17．如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的出入口，已知旧墙的维修费用为56 元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求总费用； (3)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 18．设命题：对任意，不等式恒成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)记真时的所有取值构成集合，（），若，求正数的取值范围. 19．设函数 (1)若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值； (2)若不等式对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围； (3)解关于x的不等式：f（x）＜a-1． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $