第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次函数、方程和不等式核心内容，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，适配高中数学第二章单元复习，有效检测数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|不等式解法、方程实根、比较大小|基础题（如解不等式）与能力题（如含参方程根的范围）结合，检测推理能力| |填空题|3题/15分|代数式比较、最值问题|简洁考查基本运算与转化思想| |解答题|5题/77分|不等式证明、实际应用（利润问题）、权方和不等式创新应用|综合题（如利润模型）与创新题（权方和不等式）体现模型意识与创新意识，适配单元复习提升需求|

第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知，关于x的不等式的解集为，则（ ） A．3 B．2 C． D． 4．若，则（ ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 5．若，则的（ ） A．最小值为4 B．最小值为6 C．最大值为4 D．最大值为6 6．某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（ ） A． B． C． D． 7．若正数满足，则的最小值是（ ） A．7 B．12 C．15 D．16 8．若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 10．已知，且，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 13．已知，则的最大值为______. 14．若存在，，则实数的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）对任意实数，.求证： 16．（15分）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 17．（15分）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． (3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； 18．（17分）某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 19．（17分）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，所以不等式的解集为 2．关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到不等式，解得即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有实根， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：B 3．已知，关于x的不等式的解集为，则（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】把一元二次不等式的解集转化为一元二次方程的根，再利用韦达定理构造方程求出，进而求解． 【详解】已知关于x的不等式的解集为，则或是方程的两个根， 由韦达定理得，解得， ，故B正确． 故选：B． 4．若，则（ ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】B 【分析】用作差法计算比较的大小关系． 【详解】 ，故B正确． 故选：B． 5．若，则的（ ） A．最小值为4 B．最小值为6 C．最大值为4 D．最大值为6 【答案】B 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号成立， 所以的最小值为6，无最大值. 6．某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 7．若正数满足，则的最小值是（ ） A．7 B．12 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据题意可得：，代入中化简，结合基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 则， 当且仅当时，即时等号成立， 故选：A． 8．若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由韦达定理求出两根之和与两根之积，根据判别式大于零，结合列不等式组求解即可. 【详解】因为关于的方程的两个不相等实数根满足， 所以，由根与系数的关系得：， 结合题意得： 即， 解得或， 即实数的取值范围是， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质及特值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A：，，则，故，A正确. 对于B：当，，，时，，故B错误. 对于C：因为，所以，所以，C正确. 对于D：当，，，时，，，故，D错误. 10．已知，且，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据基本不等式判断A、B、C，根据，利用二次函数性质判断D． 【详解】对于A，由，则， 当且仅当且，即时，等式成立， 所以的最小值为，故A错误； 对于B，由，则， 当且仅当且，即时，等式成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，由， 当且仅当且，即时，等式成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，因为，所以 所以， 当时，取得最小值，最小值为，故D错误． 11．已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可. 【详解】对于A，时，不等式为， 化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为， 所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 13．已知，则的最大值为______. 【答案】 【分析】直接由基本不等式即可求解 【详解】， 当且仅当时，等号成立． 即的最大值为， 故答案为： 14．若存在，，则实数的最大值为___________． 【答案】 【分析】分离参数，根据存在得到，再利用换元法求出的最大值即可. 【详解】原不等式化为 存在 只需， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， ，则实数的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）对任意实数，.求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用换元法及基本不等式证明即可. 【详解】证明：因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立. 16．（15分）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1）， 所以. （2）由，得，，， 因此， 所以. 17．（15分）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． (3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）代入得到二次函数，解一元二次不等式（分析开口方向、判别式）； （2）整理不等式为，分、、讨论（结合因式分解、根的大小比较）； （3）分离参数，再通过化简，利用基本不等式求取值范围. 【详解】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （3）由对一切实数恒成立， 即对恒成立， 当时，，所以， ∵，∴， 当且仅当时，即时等号成立，∴． 18．（17分）某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【答案】(1)万元； (2)台； (3)台. 【分析】（1）根据分段函数求值即可； （2）解一元二次不等式，即可得解； （3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断. 【详解】（1）当年产量为20台时，（万元）， 所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即， 解得，又因为，所以， 即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台； （3）当时，， 此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元， 当时，， 当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元， 综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元. 19．（17分）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 【答案】(1)证明见解析； (2)60； (3)解法不正确，理由见解析. 【分析】（1）将证明转化为证明，可以通过利用基本不等式来证明； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用.权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. 【详解】（1）证明： ，当且仅当时，等号成立. 因为，所以. （2） ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为.. （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以本方程无实数解， 所以，的最大值不是5. 学科网（北京）股份有限公司 $