第15讲 抛物线及其标准方程讲义-2026年暑假预习新高二数学人教A版选择性必修第一册

第15讲 抛物线及其标准方程 目录 知识点一 抛物线的定义 2 知识点2 抛物线的标准方程 2 题型一 抛物线的定义 3 题型二 求抛物线的焦点或准线 5 题型三 抛物线的标准方程 6 题型三 根据抛物线的方程求参数 7 题型四 轨迹方程 9 题型五 距离的最值问题 10 题型六 实际应用 12 01 学习新知 知识点一 抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点2 抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 2、对标准方程的理解 （1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． （2）抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离（焦准距），所以p的值恒大于0． （3）焦点的非零坐标是一次项系数的． （4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称． （5）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小． （6）抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线． 02 经典题型 题型一 抛物线的定义 1. 已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【详解】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离， 即.故选：B. 2. 已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】因为抛物线的焦点准线方程为， 点M在C上，所以M到准线的距离为. 又M到直线的距离为4，故.故选：D. 3. 已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】由题意可知，抛物线的准线为，而与P到准线的距离相等， 所以.故选：C 4. 已知抛物线：，若上一点到焦点的距离为6，则的值为 . 【答案】6 【详解】抛物线：的焦点为，准线为， 过作于，则，解得 故答案为：6 5. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线C上，点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线，得， 因为，所以P在线段的中垂线上， 所以，由抛物线的定义，得．故选：C 6. 已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 【答案】 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得， 解得，代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为．故答案为：． 题型二 求抛物线的焦点或准线 7. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： ①y2=x；　②x2=-y；　③x2+12y=0. 解　①对于y2=x，焦点在x轴正半轴上， 焦点坐标为，准线方程为x=-. ②对于x2=-y，焦点在y轴负半轴上， 焦点坐标为，准线方程为y=. ③对于x2+12y=0，即x2=-12y， 焦点在y轴负半轴上，焦点坐标为(0，-3)，准线方程为y=3. 8. 抛物线过点，则其准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由抛物线过点，得，即， 于是的准线方程为.故选：D. 9. 抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线即，它的的准线方程为.故选：A. 题型三 抛物线的标准方程 10. 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. (1)已知抛物线的焦点是F(0，-2)，求它的标准方程. (2)经过点(-3，-1)； (3)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点. 解　(1)因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且=2，p=4，所以抛物线的标准方程是x2=-8y. (2)因为点(-3，-1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0). 若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)，则由(-1)2=-2p×(-3)，解得p=； 若抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)，则由(-3)2=-2p×(-1)，解得p=. 故所求抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-9y. （3）对于直线方程3x-4y-12=0，令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4， 所以抛物线的焦点为(0，-3)或(4，0). 当焦点为(0，-3)时，=3，所以p=6，此时抛物线的标准方程为x2=-12y； 当焦点为(4，0)时，=4，所以p=8，此时抛物线的标准方程为y2=16x. 故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x. 11. 焦点在y轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是(　　) A.x2=4y B.y2=8x C.x2=8y D.y2=4x 答案　A 解析　由题意可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)，且p=2，则抛物线的标准方程为x2=4y. 12. 已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点在抛物线 上，且， 可得，解得，即抛物线， 所以抛物线C的准线方程是. 故选：D. 13. （多选）以x轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题意，若，则焦点为，故，所以，即； 若，则焦点为，故，所以，即； 综上，，则. 故选：AB 题型三 根据抛物线的方程求参数 14. 设抛物线的焦点为，准线为是上一点，是与轴的交点，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】如图所示，作， 由抛物线定义可知，， 在中，， 则在抛物线上， 所以，即，则. 故选：D 15. 已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由抛物线C：可得，则准线方程为，于是，解得． 故选：B． 16. 抛物线C：的焦点为F，P，R为C上位于F右侧的两点，若存在点Q使四边形PFRQ为正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，设，不妨设，则，由抛物线的对称性及正方形的性质可得，解得（正数舍去），所以． 故选：A． 17. 已知点F为抛物线：的焦点，点在上，且，则 ． 【答案】 【详解】依题意可得抛物线的焦点为，准线为， 又点在上，则，解得， 则抛物线的方程为， 所以，解得 故答案为：． 题型四 轨迹方程 18. 在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】由题意， 由得， 化简得． 故答案为：． 19. 若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆心坐标为，依题意可得，化简得， 即圆的圆心的轨迹方程为. 故选：C 20. 在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 【答案】 【详解】设，可得以线段为直径的圆的圆心为， 半径为， 由以线段为直径的圆与轴相切， 可得，整理得． 故答案为：． 题型五 距离的最值问题 21. 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值. 解　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时，距离之和最小， 所以距离之和的最小值为d= =. 22. 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，求点P到A(3，2)与点P到该抛物线焦点的距离之和的最小值. 解　将x=3代入y2=2x， 得y=±. 所以点A在抛物线内部. 设点P到准线(设为l)x=-的距离为d， 则|PA|+|PF|=|PA|+d. 由图可知，当PA⊥l时，|PA|+d最小，最小值是，即所求距离之和的最小值是. 23. 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，直线l1：3x-4y+=0，求点P到直线l1的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值. 解　如图，作PQ垂直于准线l于点Q，作PA1⊥l1于点A1， |PA1|+|PQ|=|PA1|+|PF|. |A1F|的最小值为点F到直线l1：3x-4y+=0的距离d==1， 即所求距离之和的最小值为1. 24. 已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，抛物线的准线，过点作垂直于准线且交准线于H，则， 由题可知，的周长为，又， 如图，，当三点共线时， 的周长最小，且最小值为. 故选：C. 25. 设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线的定义可得， 所以， 因为 所以. 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为 故选：D 题型六 实际应用 26. 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少米时，载货小船开始不能通航？ 解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设拱桥所在的抛物线方程为x2=-2py(p>0)，由题意可知，点B(4，-5)在抛物线上，故p=，得x2=-y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为|AA'|=4 m，则A(2，yA)，由22=-yA，得yA=-.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，|yA|+0.75=2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航. 27. 如图，某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系Oxy. 设抛物线的方程为x2=-2py(p>0)，结合题意可知，该抛物线经过点，则=2ph，解得p=，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p=. 行. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 抛物线及其标准方程 目录 知识点一 抛物线的定义 2 知识点2 抛物线的标准方程 2 题型一 抛物线的定义 3 题型二 求抛物线的焦点或准线 4 题型三 抛物线的标准方程 5 题型三 根据抛物线的方程求参数 6 题型四 轨迹方程 6 题型五 距离的最值问题 7 题型六 实际应用 8 01 学习新知 知识点一 抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点2 抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 2、对标准方程的理解 （1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． （2）抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离（焦准距），所以p的值恒大于0． （3）焦点的非零坐标是一次项系数的． （4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称． （5）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小． （6）抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线． 02 经典题型 题型一 抛物线的定义 1. 已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 2. 已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 3. 已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 4. 已知抛物线：，若上一点到焦点的距离为6，则的值为 . 5. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线C上，点，且，则（    ） A． B． C． D． 6. 已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 题型二 求抛物线的焦点或准线 7. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： ①y2=x；　②x2=-y；　③x2+12y=0. 8. 抛物线过点，则其准线方程为（    ） A． B． C． D． 9. 抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 题型三 抛物线的标准方程 10. 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. (1)已知抛物线的焦点是F(0，-2)，求它的标准方程. (2)经过点(-3，-1)； (3)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点. 11. 焦点在y轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是(　　) A.x2=4y B.y2=8x C.x2=8y D.y2=4x 12. 已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 13. （多选）以x轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为（　　） A． B． C． D． 题型三 根据抛物线的方程求参数 14. 设抛物线的焦点为，准线为是上一点，是与轴的交点，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 15. 已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 16. 抛物线C：的焦点为F，P，R为C上位于F右侧的两点，若存在点Q使四边形PFRQ为正方形，则（    ） A． B． C． D． 17. 已知点F为抛物线：的焦点，点在上，且，则 ． 题型四 轨迹方程 18. 在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为 ． 19. 若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 20. 在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 题型五 距离的最值问题 21. 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值. 22. 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，求点P到A(3，2)与点P到该抛物线焦点的距离之和的最小值. 23. 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，直线l1：3x-4y+=0，求点P到直线l1的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值. 24. 已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 25. 设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 题型六 实际应用 26. 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少米时，载货小船开始不能通航？ 27. 如图，某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　　) A. 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