第18讲 椭圆及其标准方程（思维导图+4知识点+6大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第18讲 椭圆及其标准方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 椭圆的定义、表示及辨析 题型02 求椭圆的标准方程 题型03 点与椭圆的位置关系 题型04 椭圆中的焦点三角形问题 题型05 椭圆中的轨迹方程问题 题型06 椭圆中的距离最值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 1. 了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,培养直观想象的核心素养. 2. 理解并掌握椭圆的定义,培养数学抽象的核心素养. 3. 掌握椭圆的标准方程及其推导过程,提升数学运算的核心素养. 学习重点：理解掌握椭圆的定义. 学习难点：掌握椭圆的标准方程及其推导过程. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 即时即练 1．（多选题）（24-25高二上·陕西西安·期中）下列说法中正确的是（   ） A．已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段 B．已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆 【答案】AD 【分析】根据椭圆的定义逐项分析点的轨迹. 【详解】待求轨迹的点记为， A：因为，所以的轨迹是线段，故正确； B：因为，此时的轨迹不存在，故错误； C：因为，所以的轨迹是线段的垂直平分线，故错误； D：因为，所以， 所以的轨迹是以为焦点的椭圆，故正确； 故选：AD. 【方法总结】 1、椭圆的定义 （1）对椭圆定义的三点说明 ①椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. ②定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. ③常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件. （2）椭圆定义的两个应用 ①若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0),则动点M的轨迹是椭圆. ②若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a. 2、判断方程是否表示椭圆 ①根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数取值范围时,考虑含x2,y2项对应的分母都大于0,然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大小. ②由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标或求参数的值(或取值范围). （1）求椭圆的焦点坐标时,若方程不是标准方程,则应先将其化为标准方程,确定a2,b2的值和焦点所在的坐标轴,再利用关系式a2=b2+c2求出c,即可写出焦点坐标. （2）已知方程求参数的值(或取值范围)时,需注意:对于方程+=1,当m>n>0时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;当n>m>0时,方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地,当n=m>0时,方程表示圆心在原点的圆. 知识点02 椭圆的标准方程 1、椭圆标准方程的推导 图1 （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1． （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数． 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为，，所以 （3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得，整理得 再平方并整理得，两边同除以得 考虑,应有，故设，就有． 2、椭圆的标准方程对比 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 3、椭圆标准方程的求解 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． 【常用结论】 ①求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； ②当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 即时即练 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）根据的关系求，可得椭圆方程. （2）根据椭圆的定义求，根据焦点定义求，再根据的关系求，可得椭圆方程. （3）根据焦点坐标求，根据椭圆上的点和的关系列式求，可得椭圆方程. 【详解】（1）因为，，所以. 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为； 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为. （2）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为， 且，， 所以， 所以椭圆方程为：. （3）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为，且， 又，故所求椭圆方程为. 【方法总结】 椭圆标准方程的求解 1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． 2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； 3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 知识点03 点与椭圆的位置关系 1、根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2、对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 即时即练 1．（多选题）点在椭圆的内部，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】BC 【分析】由点与椭圆的位置关系得出的值. 【详解】由题意知，解得． 故选：BC 【方法总结】 根据椭圆的标准方程判断点P(x0,y0)与椭圆以+=1(a>b>0)为例]的位置关系有两种方法 （1）直接利用下面的结论: ①点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1; ②点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1; ③点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1. （2）先由椭圆的标准方程求出a,c,再利用下面的结论: ①|PF1|+|PF2|<2a⇔点P在椭圆内; ②|PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上; ③|PF1|+|PF2|>2a⇔点P在椭圆外. 知识点04 椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”． 2、两个性质 即时即练 1．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义，求三角形的周长. 【详解】由椭圆方程可知，，，所以， 的周长为. 2．（25-26高二上·北京昌平·期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则的面积为___________. 【答案】/ 【分析】由椭圆的方程可知；根据椭圆的定义知，再由余弦定理得出，再利用三角形面积公式即可得到答案. 【详解】由椭圆知， 由椭圆的定义知：， 在中，由余弦定理得：， 即， . 故答案为：.    3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知椭圆的两个焦点为，，点P是椭圆上一点，且，则________． 【答案】 【分析】根据椭圆定义得，联立，解出，再利用勾股定理即可得到答案. 【详解】根据椭圆方程，有，，则， 因为点在椭圆上，所以有，因为， 所以， 则， 则. 故答案为：. 【方法总结】 焦点三角形的求解思路 1、关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法； 2、在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等． 题型01 椭圆的定义、表示及辨析 1．（25-26高二上·广西·阶段检测）已知平面内两个定点之间的距离是6，动点到这两个定点的距离之和是8，那么动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】因为，是两个定点，，而， 所以由椭圆的定义得，动点P的轨迹是椭圆. 故选：B. 2．（25-26高二上·山东滨州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【分析】由的意义及椭圆的定义即可求解. 【详解】由点满足可知， 动点到定点的距离之和为， 即，且， 根据椭圆的定义可知动点的轨迹是椭圆， 故选：A. 3．（25-26高二上·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点.若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义判断选项即可. 【详解】由椭圆可得：， 根据椭圆的定义，， 则. 故选：D 4．以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程的知识求得正确答案. 【详解】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误. B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误. C选项，方程，即， 表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确. D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误. 故选：C 5．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以解得，即实数的取值范围为． 6．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知方程表示椭圆，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程列出不等式组求解即可. 【详解】已知方程表示椭圆， 则，则或， 故实数m的范围是. 故选：A 【技巧归纳】 1、椭圆的定义 （1）对椭圆定义的三点说明 ①椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. ②定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. ③常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件. （2）椭圆定义的两个应用 ①若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0),则动点M的轨迹是椭圆. ②若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a. 2、判断方程是否表示椭圆 ①根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数取值范围时,考虑含x2,y2项对应的分母都大于0,然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大小. ②由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标或求参数的值(或取值范围). （1）求椭圆的焦点坐标时,若方程不是标准方程,则应先将其化为标准方程,确定a2,b2的值和焦点所在的坐标轴,再利用关系式a2=b2+c2求出c,即可写出焦点坐标. （2）已知方程求参数的值(或取值范围)时,需注意:对于方程+=1,当m>n>0时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;当n>m>0时,方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地,当n=m>0时,方程表示圆心在原点的圆. 题型02 求椭圆的标准方程 1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件结合椭圆的定义进行求解. 【详解】由题知，， 由椭圆的定义可知，的轨迹方程是焦点在轴上的椭圆， 其中，则， 方程为：. 故选：D 2．（25-26高二上·广东湛江·期末）方程等价于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点间的距离的几何意义以及椭圆的定义可得答案. 【详解】方程， 表示点到两个定点和的距离之和为常数， 这满足椭圆的定义，其中焦点为和， 得，， 因此椭圆方程为：. 故选：C 3．（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可设椭圆方程为，且，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得，结合隐含条件求得，则可求出椭圆方程． 【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为． 故选：B. 另解  由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入 因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为． 故选： 4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）设椭圆过点，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆所过的点，应用待定系数法求椭圆方程. 【详解】由题设，可得，则椭圆方程为. 故选：D 5．（25-26高二上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义判断轨迹为椭圆，由求得，由求得，即可得到椭圆方程. 【详解】由题意得，， 则点的轨迹为以为焦点的椭圆，所以，即. 因为为轴上关于原点对称的两点，所以椭圆的焦点在轴上， 设其方程为，，则， 将代入方程得， 因为，所以，解得，故椭圆方程为. 故选：A. 6．（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【详解】根据题意设, 由在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C 【技巧归纳】 椭圆标准方程的求解 1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． 2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； 3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 题型03 点与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【分析】将点代入椭圆即可求解. 【详解】由于，所以在内， 故选：B 2．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可. 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 3．（24-25高二上·陕西汉中·期中）若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在椭圆内求解可得. 【详解】由题意可知，点在椭圆内， 所以，解得或. 故选：D 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【答案】A 【分析】由直线与圆没有公共点得，再利用放缩法得，可判断点与椭圆的位置关系. 【详解】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 故选：A. 【技巧归纳】 根据椭圆的标准方程判断点P(x0,y0)与椭圆以+=1(a>b>0)为例]的位置关系有两种方法 （1）直接利用下面的结论: ①点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1; ②点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1; ③点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1. （2）先由椭圆的标准方程求出a,c,再利用下面的结论: ①|PF1|+|PF2|<2a⇔点P在椭圆内; ②|PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上; ③|PF1|+|PF2|>2a⇔点P在椭圆外. 题型04 椭圆中的焦点三角形问题 1．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆方程为， 得，. 所以，故. 由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 即， 又因为两焦点间距离为， 因此，的周长为. 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆C于两点，则的周长为（   ） A． B． C．9 D．12 【答案】D 【分析】结合椭圆的定义可得的周长为，即可求解. 【详解】由题意可知， 如图：    ， 即的周长为12， 故选：D 3．设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 4．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】结合勾股定理及椭圆的定义求出的值，进而据此求出的面积． 【详解】由题可知，，又， 解得，所以焦距， 因为P在椭圆上，所以， 又因为，所以， 所以， 所以的面积为． 故选：D． 5．高二数学上学期湘教版）若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为（ ） A．10 B． C．20 D． 【答案】C 【分析】根据题意求出周长表达式，结合椭圆的定义求解即可. 【详解】如图，设为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得的周长为 ， 当共线时，， 当不共线时，， 所以周长的最大值为20. 故选：C. 6．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上但不在坐标轴上，且是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】，设，由是等腰三角形，利用余弦定理求出，可求的值. 【详解】依题意得，设， 不妨设点在第一象限，若，有， 故或， 解得或，又9，所以. 若，有，同理可得. 此时，，不符合点在第一象限， 所以. 故选：B. 7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】根据（或）和进行分类讨论，由此可求的面积. 【详解】椭圆中，，所以焦点， 当或时，此时面积相同，不妨取，如下图所示： 代入于椭圆方程，则，所以，所以； 当时，如下图所示： 设，由条件可知，解得， 所以； 综上，的面积为或， 故选：D. 【技巧归纳】 焦点三角形的求解思路 1、关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法； 2、在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等． 题型05 椭圆中的轨迹方程问题 1．（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 2．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，依题意得到，从而代曲线的方程求解． 【详解】解：设，依题意可知 即 因为点在曲线上，所以， 即， 故选：A． 3．已知圆，，动圆与圆相内切，与圆相外切，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合圆与圆的位置关系与椭圆定义可得结果. 【详解】设圆的半径为，根据题意得：，， 所以， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 设其方程为，其中，， ，，则， 所以点的轨迹方程为， 故选：B 4．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，可求点的轨迹方程可求． 【详解】连接， 圆的圆心坐标为，半径为4． 因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以， 所以，所以点的轨迹方程为． 故选：A． 5．（24-25高二上·河北张家口·期中）平面内，已知两点，及动点，若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】设动点，斜率用坐标表示，由斜率之积为可得出之间的关系式，进而得的轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为，又，， 所以的斜率，的斜率， 由题意可得， 化简，得点的轨迹方程为. 故答案为： 6．（25-26高二下·上海·期中）已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 【答案】 【详解】由，，得. 周长为，故. ，所以点轨迹为焦点在轴上的椭圆，除去与共线两点. 设椭圆方程. 椭圆焦点在轴，，， ，所以得椭圆方程：. 不在直线上，故. 顶点的轨迹方程为. 【技巧归纳】 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程． “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 （1）设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 （3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程． 题型06 椭圆中的距离最值问题 1．已知为椭圆上一点，是椭圆的一个焦点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据椭圆的定义，求得的范围. 【详解】由椭圆方程可知，长半轴长，短半轴长，则半焦距， 的取值范围为，即. 故选：C. 2．（25-26高二下·四川泸州·期中）设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【详解】由椭圆的定义可得， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16. 3．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据椭圆定义，，则当三点共线时，取得最小值. 【详解】根据题意，，且点为椭圆右焦点， 根据椭圆定义，， 即如图，当三点共线时，取得最小值. 4．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先根据椭圆的定义得到、的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【分析】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 5．（25-26高二上·山东枣庄·期中）设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可知，则，则求的最小值，即求的最小值，再结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 即定点到直线距离最小即可， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C 6．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 【技巧归纳】 解决椭圆最值问题的最常见思路 1、与焦半径（椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径）乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件； 2、与，（为椭圆上一点，，为椭圆的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）方程表示的曲线为（   ） A．线段 B．椭圆 C．双曲线 D．不表示任何图形 【答案】B 【分析】表示点到点，的距离之和为，结合椭圆的定义即可进行判断. 【详解】表示点到点，的距离之和为，即， 所以方程表示的曲线为椭圆. 故选：B. 2．已知定点，平面上满足下列条件的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可得答案 【详解】之间的距离， 根据椭圆的定义，距离之和 对于A，不满足椭圆的定义，无轨迹，A错误； 对于B，，轨迹是线段，不是椭圆，B错误； 对于C，符合椭圆的定义，轨迹是椭圆，C正确； 对于D，这不是距离之和的条件，不直接符合椭圆的定义，实际上，这描述的轨迹不是椭圆.轨迹是以原点为中心的圆（如图），D错误.    故选：C 3．已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于的点即为答案. 【详解】由椭圆方程为， 因为，所以点在椭圆内部，A错误； 因为，所以点在椭圆内部，B错误； 因为，所以点在椭圆外部，C正确； 因为，所以点在椭圆内部，D错误. 故选：C. 4．（25-26高二上·重庆·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B．且 C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示椭圆且焦点在轴上，列出不等式求参数范围. 【详解】由题意. 故选：C 5．若点是椭圆的某条弦的中点，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，转化为点在椭圆的内部，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由点是椭圆的某条弦的中点， 则点在椭圆的内部，所以，解得或. 故选：A. 6．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（    ） A．16 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 由椭圆的定义得：， 所以，所以的周长是16. 故选：A 7．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点列方程组求系数即可. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 8．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率的概念，列出方程，求出结果即可. 【详解】设点，则，且， 可得，化简得，即，且. 故选：D. 9．已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标，并表示出点，再代入已知曲线方程即可. 【详解】设点，由轴于点，且，得，则， 又点是曲线上的任意一点，因此， 所以点的轨迹方程为. 故选：A 10．（25-26高二上·山东青岛·期末）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接运用三角形面积公式进行求解即可. 【详解】， 所以，设点的纵坐标为， 因为以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1， 所以. 故选：B 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆方程求出的值，再利用椭圆定义求出，最后在中运用余弦定理求出，进而得到的值. 【详解】由题意得，.若，则， 由余弦定理得， 因为，所以. 12．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为5，最小值为1，则椭圆方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的概念和基本性质，列出方程组，求出参数值，写出标准方程即可. 【详解】设椭圆焦距为2c,由题意得，解得，则， 所以椭圆方程为. 故选：A. 13．（24-25高二上·山东青岛·期中）经过、两点椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出椭圆一般方程，由待定系数法求解即可. 【详解】设椭圆方程为（，，） 则，解得， 所以椭圆方程为. 故选：A. 14．已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆，得， 过且垂直于的直线与椭圆交于B、C两点， 所以为线段的垂直平分线， 得， 则的周长为. 故选：B.    15．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理，可求焦半径，从而可求三角形面积. 【详解】 由题意知：， 再由余弦定理得： 代入得：， 解得：，则的面积是, 故选：D. 16．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若轴，的面积为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用椭圆的图形特征结合椭圆定义及，计算求出参数得出椭圆方程. 【详解】如图，因轴，为线段的中点，，B为线段的中点， 在中，，设，则，. 因为的面积为，所以，解得（负值已舍去）， 所以，，，， 所以，则C的方程为， 故选:C. 17．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知椭圆C：，P为椭圆上一点，若，r为的内切圆的半径，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆定义及圆切线性质，结合直角三角形求内切圆半径. 【详解】 椭圆C：，所以， 由椭圆定义及圆切线性质知：. 故选：C 18．（24-25高二上·四川资阳·期末）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动圆半径为.根据圆与圆的位置关系可得，，再利用椭圆的定义得到该动圆圆心的轨迹为椭圆，进而可求得方程. 【详解】圆：和：的圆心和半径分别为， 由可知圆内含于圆内. 设动圆半径为， 由题意可得，， 两式相加可得， 故点P的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：C. 19．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合垂直平分线的性质可得，结合椭圆的定义判断曲线的轨迹形状，由此确定曲线方程. 【详解】圆：的圆心，半径. 由于， 所以在圆内，， 根据垂直平分线的性质可知， 所以， 所以点的轨迹是椭圆， 设该椭圆方程为，设椭圆的半焦距为， 则，， 所以，，， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 20．已知、是轴上两定点，、是轴上两动点，则直线与的交点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，可得出，，消去参数可得出点的轨迹方程. 【详解】设点，由题意可知，，，即①， ，即②， ①②得，整理可得，即，其中， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 21．已知点P是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】注意到是椭圆的下焦点，则上焦点为，故，而的最大值为，由此求得的最大值. 【详解】由椭圆方程可知，， 故为椭圆的下焦点，则椭圆的上焦点为，如图，    根据椭圆的定义，有， 根据三角形两边的差小于第三边可知， 故的最大值为. 故选：D 22．（25-26高二上·重庆·阶段检测）设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】设椭圆右焦点，利用椭圆的定义转化线段差为线段和，结合图形及点到线的距离公式计算即可. 【详解】由，， 设为该椭圆的右焦点，则，所以， 于是， 显然当，P，A三点共线， 且PA与直线垂直时，有最小值， 最小值为. 故选：A． 23．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，，利用椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求出的最大值. 【详解】如图,    由，得，，则， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点，且为射线与圆的交点且、方向相同时， 上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最大值为. 故选：B. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 椭圆及其标准方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 椭圆的定义、表示及辨析 题型02 求椭圆的标准方程 题型03 点与椭圆的位置关系 题型04 椭圆中的焦点三角形问题 题型05 椭圆中的轨迹方程问题 题型06 椭圆中的距离最值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 1. 了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,培养直观想象的核心素养. 2. 理解并掌握椭圆的定义,培养数学抽象的核心素养. 3. 掌握椭圆的标准方程及其推导过程,提升数学运算的核心素养. 学习重点：理解掌握椭圆的定义. 学习难点：掌握椭圆的标准方程及其推导过程. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 即时即练 1．（多选题）（24-25高二上·陕西西安·期中）下列说法中正确的是（   ） A．已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段 B．已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆 【方法总结】 1、椭圆的定义 （1）对椭圆定义的三点说明 ①椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. ②定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. ③常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件. （2）椭圆定义的两个应用 ①若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0),则动点M的轨迹是椭圆. ②若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a. 2、判断方程是否表示椭圆 ①根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数取值范围时,考虑含x2,y2项对应的分母都大于0,然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大小. ②由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标或求参数的值(或取值范围). （1）求椭圆的焦点坐标时,若方程不是标准方程,则应先将其化为标准方程,确定a2,b2的值和焦点所在的坐标轴,再利用关系式a2=b2+c2求出c,即可写出焦点坐标. （2）已知方程求参数的值(或取值范围)时,需注意:对于方程+=1,当m>n>0时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;当n>m>0时,方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地,当n=m>0时,方程表示圆心在原点的圆. 知识点02 椭圆的标准方程 1、椭圆标准方程的推导 图1 （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1． （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数． 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为，，所以 （3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得，整理得 再平方并整理得，两边同除以得 考虑,应有，故设，就有． 2、椭圆的标准方程对比 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 3、椭圆标准方程的求解 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． 【常用结论】 ①求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； ②当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 即时即练 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 【方法总结】 椭圆标准方程的求解 1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． 2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； 3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 知识点03 点与椭圆的位置关系 1、根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2、对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 即时即练 1．（多选题）点在椭圆的内部，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D． 【方法总结】 根据椭圆的标准方程判断点P(x0,y0)与椭圆以+=1(a>b>0)为例]的位置关系有两种方法 （1）直接利用下面的结论: ①点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1; ②点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1; ③点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1. （2）先由椭圆的标准方程求出a,c,再利用下面的结论: ①|PF1|+|PF2|<2a⇔点P在椭圆内; ②|PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上; ③|PF1|+|PF2|>2a⇔点P在椭圆外. 知识点04 椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”． 2、两个性质 即时即练 1．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 2．（25-26高二上·北京昌平·期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则的面积为___________. 3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知椭圆的两个焦点为，，点P是椭圆上一点，且，则________． 【方法总结】 焦点三角形的求解思路 1、关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法； 2、在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等． 题型01 椭圆的定义、表示及辨析 1．（25-26高二上·广西·阶段检测）已知平面内两个定点之间的距离是6，动点到这两个定点的距离之和是8，那么动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（25-26高二上·山东滨州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 3．（25-26高二上·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点.若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 4．以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知方程表示椭圆，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1、椭圆的定义 （1）对椭圆定义的三点说明 ①椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. ②定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. ③常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件. （2）椭圆定义的两个应用 ①若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0),则动点M的轨迹是椭圆. ②若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a. 2、判断方程是否表示椭圆 ①根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数取值范围时,考虑含x2,y2项对应的分母都大于0,然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大小. ②由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标或求参数的值(或取值范围). （1）求椭圆的焦点坐标时,若方程不是标准方程,则应先将其化为标准方程,确定a2,b2的值和焦点所在的坐标轴,再利用关系式a2=b2+c2求出c,即可写出焦点坐标. （2）已知方程求参数的值(或取值范围)时,需注意:对于方程+=1,当m>n>0时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;当n>m>0时,方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地,当n=m>0时,方程表示圆心在原点的圆. 题型02 求椭圆的标准方程 1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东湛江·期末）方程等价于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）设椭圆过点，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 椭圆标准方程的求解 1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． 2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； 3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 题型03 点与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 2．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西汉中·期中）若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【技巧归纳】 根据椭圆的标准方程判断点P(x0,y0)与椭圆以+=1(a>b>0)为例]的位置关系有两种方法 （1）直接利用下面的结论: ①点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1; ②点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1; ③点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1. （2）先由椭圆的标准方程求出a,c,再利用下面的结论: ①|PF1|+|PF2|<2a⇔点P在椭圆内; ②|PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上; ③|PF1|+|PF2|>2a⇔点P在椭圆外. 题型04 椭圆中的焦点三角形问题 1．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆C于两点，则的周长为（   ） A． B． C．9 D．12 3．设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D．9 5．高二数学上学期湘教版）若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为（ ） A．10 B． C．20 D． 6．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上但不在坐标轴上，且是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【技巧归纳】 焦点三角形的求解思路 1、关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法； 2、在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等． 题型05 椭圆中的轨迹方程问题 1．（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆，，动圆与圆相内切，与圆相外切，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北张家口·期中）平面内，已知两点，及动点，若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为______． 6．（25-26高二下·上海·期中）已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 【技巧归纳】 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程． “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 （1）设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 （3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程． 题型06 椭圆中的距离最值问题 1．已知为椭圆上一点，是椭圆的一个焦点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·四川泸州·期中）设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 3．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东枣庄·期中）设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 6．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 解决椭圆最值问题的最常见思路 1、与焦半径（椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径）乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件； 2、与，（为椭圆上一点，，为椭圆的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）方程表示的曲线为（   ） A．线段 B．椭圆 C．双曲线 D．不表示任何图形 2．已知定点，平面上满足下列条件的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B．且 C． D． 5．若点是椭圆的某条弦的中点，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（    ） A．16 B． C． D． 7．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·山东青岛·期末）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为5，最小值为1，则椭圆方程是（　　） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·山东青岛·期中）经过、两点椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 14．已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 15．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若轴，的面积为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知椭圆C：，P为椭圆上一点，若，r为的内切圆的半径，则（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·四川资阳·期末）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 20．已知、是轴上两定点，、是轴上两动点，则直线与的交点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 21．已知点P是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．8 22．（25-26高二上·重庆·阶段检测）设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 23．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $