精品解析：天津市第一中学滨海学校2025-2026学年高二上学期第一次质量检测数学试卷

天津市第一中学滨海学校2024级高二数学学科 第一次质量检测试卷 本训练分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，训练时间100分钟. 第I卷 选择题（50分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率（直线的倾斜角）求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率是，所以， 又因为，所以，即直线的倾斜角为． 故选：C 2. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题直接求解. 【详解】与点关于平面对称的点是(4,−3,2)； 故选：D 3. 已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的定义逐项判断． 【详解】因为不重合， 所以由直线方向向量与直线的位置关系可得，A错误． B，由法向量与方向向量的定义易知或，B错误． C，由于，为平面的法向量，所以，C错误． D，由法向量与平面的位置关系可得，D正确． 故选：D 4. 若直线与直线垂直，则实数a的取值是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线垂直的条件，列方程求实数a的值. 【详解】直线与直线垂直， 则有，解得或， 故选：A． 5. 设，已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求得，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】当时，，解得或， 当时，两直线分别为，符合题意， 当时，两直线分别为，重合不符合题意， 所以, 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 6. 直线与直线在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a的符号，分类讨论，利用数形结合思想和排除法能求出结果． 【详解】直线ax+y+a＝0与直线x+ay+a＝0不可能平行，故B错误； 当a＞0时，直线ax+y+a＝0是减函数，直线x+ay+a＝0是减函数，故A错误； 当a＜0时，直线ax+y+a＝0是增函数，与y轴交于正半轴，直线x+ay+a＝0是增函数，与y轴交于负半轴，故C错误．综上，正确答案是a＞0，直线ax+y+a＝0与直线x+ay+a＝0在同一坐标系中的图象可能是D． 故选D． 【点睛】本题考查函数图象的判断，考查直线的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7. 与直线关于y轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出已知直线和轴的交点，再求出要求直线的斜率，用斜截式求出要求直线的方程． 【详解】解：直线，即，它与轴的交点为， 它关于轴对称的直线的斜率为，故要求直线的方程为，即. 故选：C． 8. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 9. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量数量积的几何意义及投影向量的定义，应用向量数量积、模长的坐标运算求向量在向量上的投影向量. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：A 10. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 11. 在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：已知分别为“空间斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，以为基底建立“空间斜坐标系”，若，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据新定义及空间向量的运算即可求解． 【详解】设分别为与同方向的单位向量， 则．得，， 由题可得， 即， 即，解得． 故选：B 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 12. 在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，下列说法正确的个数（ ） ①点可以是棱的中点；②点轨迹的长度为； ③点的轨迹是平行四边形；④点轨迹所围成的图形面积为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】在正方体中，以点D为坐标原点，分别以、、所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，再逐项判断，即可得出结果. 【详解】在正方体中，以点D为坐标原点，分别以、、所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 因为该正方体的棱长为1，分别为，的中点， 所以，， 所以，设，则， 因为， 所以， 即，所以， 取，当时，；当时，； 取， 连接，，，则，， 则， ， 所以，， 又，且平面，平面， 所以平面，所以当点平面时， 又点P在正方体的表面上运动，所以点P的轨迹为正三角形，③错误； 点P不可能是棱的中点，①错误； 正三角形边长为，点P轨迹的长度为，②错误； 正三角形的面积为，④正确. 第II卷 非选择题（90分） 二、填空题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分. 13. 已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方向向量写出直线斜率. 【详解】是直线的一个方向向量，则的斜率为 14. 设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】方法一、根据题意，得到，根据A，C，D三点共线得，再利用向量相等的条件求解参数即可；方法二、假设为空间的一个单位正交基底，再利用空间坐标的平行表示计算即可. 【详解】方法一、因为，，， 所以． 因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数y，使得， 即， 即，解得． 方法二、因为向量，，不共面，所以可假设为空间的一个单位正交基底， 则在此基底下的坐标为，同理，， 则， 若A，C，D三点共线，则， 即，解得． 故答案为：0. 15. 已知两点到直线的距离相等，则实数a的值为________． 【答案】0或##或0 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即，解得或 故答案为：0或 16. 若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】解方程组求得交点坐标，再结合已知建立不等式并求解. 【详解】由，解得，即直线与直线交于点， 依题意，，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 17. 已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设点到直线的距离为，则 . 故答案为： 18. 如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，分解向量，然后由数量积的运算律、向量夹角公式即可求解. 【详解】设， 棱长为1，则． 因为底面边长和侧棱长都相等，且， 所以，所以， ，． 设异面直线的夹角为， 所以． 故答案为：. 19. 设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 20. 在梯形中，，，点满足，则______；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用向量的加减运算和数量积的定义化简计算即可求得；根据条件建立平面直角坐标系，设，运用向量数量积的坐标运算式，将化成关于的二次函数，利用其图象特征即得的最小值. 【详解】， 解得，因为，所以； 因为，，所以， 因为，所以为正三角形． 如图建立平面直角坐标系， 则， 所以直线的方程为：，即， 直线的方程为：，即， 两直线联立得，解得，即， 因为为线段延长线上的动点，故可设，则， 所以 ， 因为，所以当时，取得最大值． 故答案为：；． 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 【答案】（1） （2） 或 （3）， 【解析】 【分析】（1）先求出的中点坐标，再由点斜式方程即可求得中线所在直线方程； （2）依题意，分截距为与不为两种情况，截距为时，直接用点斜式即可求得直线方程；截距不为时，设截距式方程，代入点求出参数即得所求直线方程； （3）先求出边的垂直平分线的方程，再利用对称性列方程求解即得对称点的坐标. 【小问1详解】 因，，，设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； 【小问2详解】 依题意，当截距为时，直线井过原点和点，则其方程为，即； 当截距不为时，依题意，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； 【小问3详解】 的中点，斜率为，则其垂直平分线的斜率为， 故有，即. 设关于的对称点，则中点在上且， 则，解得，，故. 22. 已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，为的中点. （1）证明：； （2）求平面和平面夹角的大小； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：由为正三棱柱可知，平面， 又平面，所以， 又因点D为正三角形的边AB的中点，所以； 又，平面，所以平面； 又平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由正三棱柱的性质可得平面，再利用线面垂直的判定定理证明平面，由线面垂直的性质定理可得； （2）以的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，及平面的一个法向量，利用求平面与平面夹角的大小； （3）设直线CA与平面所成的角为，利用求直线CA与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别取线段的中点，连接，易知两两垂直， 可以O为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示; 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得； 易得为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，则 ， 因,则，即平面与平面夹角为； 【小问3详解】 由（2）可知，平面的一个法向量为， 设直线CA与平面所成的角为， 所以， 即直线CA与平面所成角的正弦值为. 23. 已知的两条边所在直线的方程分别是：，且它的对角线的交点是． （1）求顶点的坐标； （2）求这个平行四边形另外两条边所在直线的斜截式方程； （3）求的面积． 【答案】（1）的坐标为，的坐标为 （2）和 （3）50 【解析】 【分析】（1）由，解出即得点坐标，由中点坐标公式即可得的坐标； （2）由与平行，与平行，即，由点斜式即可求直线方程，再化为斜截式方程即可； （3）先求点的坐标，由两点间距离公式求，利用点到直线的距离公式求到的距离，进而得的面积. 【小问1详解】 联立，解得即得． 设，因点是的中点，则， 解得 ，即得． 【小问2详解】 由直线的斜率，且， 则直线的方程为，即． 由直线的斜率，且， 则直线的方程为，即． 故这个平行四边形另外两条边所在直线的斜截式方程是和． 【小问3详解】 由，得，即， 所以． 又到的距离， 所以的面积． 24. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． （1）若点为线段的中点， ①证明：∥面； ②求直线与平面间的距离； （2）若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积． 【答案】（1） ①如图，取的中点，连接，有，， 又，，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以∥面； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①取的中点，连接，先根据题意证明四边形是平行四边形，再证明∥面；②建立空间直角坐标系，通过空间向量可求直线与平面间的距离. （2）设，利用向量法求得正弦值的最大值，即此时的值，从而求得三棱锥的体积． 【小问1详解】 ①略 ②如图，取的中点，连接， 因为，所以， 由， 四边形是正方形，有， 因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面， 在平面内作直线的垂线， 则平面，有， 以坐标原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以平面，因为平面，所以， 由，，知， 由，知， 从而有，， 有， 设平面的法向量为， 由，取，则， 得平面的一个法向量为， 因为∥面，所以到平面的距离即为直线与平面间的距离， 又，所以到平面的距离， 所以与平面间的距离为. 【小问2详解】 ， 设， ， 底面的一个法向量为, 设直线与底面所成的角为， 所以， 当时，； 当时，， 当时，取最大值， 此时， 所以到平面的距离为， 又，所以此时三棱锥的体积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第一中学滨海学校2024级高二数学学科 第一次质量检测试卷 本训练分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，训练时间100分钟. 第I卷 选择题（50分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）. A. B. C. D. 3. 已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与直线垂直，则实数a的取值是（ ） A. 或 B. C. D. 5. 设，已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 直线与直线在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 与直线关于y轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 9. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 10. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 11. 在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：已知分别为“空间斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，以为基底建立“空间斜坐标系”，若，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 2 12. 在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，下列说法正确的个数（ ） ①点可以是棱的中点；②点轨迹的长度为； ③点的轨迹是平行四边形；④点轨迹所围成的图形面积为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第II卷 非选择题（90分） 二、填空题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分. 13. 已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 14. 设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______． 15. 已知两点到直线的距离相等，则实数a的值为________． 16. 若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是______． 17. 已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为___________. 18. 如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 19. 设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 20. 在梯形中，，，点满足，则______；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最大值为______． 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 22. 已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，为的中点. （1）证明：； （2）求平面和平面夹角的大小； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 23. 已知的两条边所在直线的方程分别是：，且它的对角线的交点是． （1）求顶点的坐标； （2）求这个平行四边形另外两条边所在直线的斜截式方程； （3）求的面积． 24. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． （1）若点为线段的中点， ①证明：∥面； ②求直线与平面间的距离； （2）若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $