26.2二次函数的图象和性质暑假预习练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，系统覆盖二次函数图象与性质核心知识点，梯度合理，适配暑假分层教学需求，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|顶点坐标、开口方向、平移规律等单一概念|选择填空为主，如第1-8题、13-17题，强化基础认知| |提升层|对称轴、最值、图象与坐标综合应用|解答题基础综合，如18题纠错、19题面积计算，培养运算能力| |拓展层|实际问题建模、新定义探究|情境化问题如22题大棚抛物线、23题相依函数，发展模型意识与创新思维|

26.2二次函数的图象和性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 2．已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．关于二次函数的性质，下列描述正确的是（    ） A．开口向下 B．图象经过点 C．最小值是 D．图象的对称轴是直线 5．关于二次函数与，下列说法错误的是（   ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点坐标相同 D．两函数图象关于x轴对称 6．有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 7．已知二次函数，那么该二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 8．下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．对称轴是轴 C．有最高点 D．随的增大而增大 9．如图，二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在△MNR的边上移动，MN∥y轴，NR∥x轴，M点坐标为（-6，-2），MN＝2，NR＝7．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则a-b+c的最大值是（  ） A．15 B．18 C．23 D．32 10．若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（    ） A． B．（ C． D． 11．点都在二次函数的图像上．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．二次函数的图象经过的象限为（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限 二、填空题 13．二次函数在内的最小值是______． 14．已知二次函数的图象有最高点，那么的取值范围是____． 15．二次函数的最________（填“大”或“小”）值是________． 16．把二次函数的图象，向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为______． 17．二次函数的图象的顶点坐标是______． 三、解答题 18．小颖同学想用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，取自变量x的6个值，分别计算出对应的y值，如表： x …… ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …… y …… 11 2 ﹣1 2 5 m …… 由于粗心，小颖算错了其中的一个y值． (1)求该二次函数表达式； (2)请你指出这个算错的y值； (3)通过计算求m的值． 19．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点与点C，与y轴交于点B． （1）求此二次函数关系式和点B的坐标； （2）计算的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 20．已知二次函数，解答下列问题：    (1)根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）； (2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由； (3)求当时对应的函数图象上的点的坐标（写详细过程）． 21．（教材练习变式）（1）在同一直角坐标系中，画出函数的图象．    （2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题： ①抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ②抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ③抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________． 22．图1是一个蔬菜大棚的横截面示意图，大棚截面顶部的形状是抛物线，此截面上有7根垂直于地面的支柱（是其中的两根支柱），相邻两根支柱之间的距离均为（支柱的粗细忽略不计），地面的两端点与最近的支柱之间的距离也是，以为坐标原点，地面为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，中间最高的支柱的高度是． (1)求大棚截面顶部抛物线的表达式． (2)此截面上支柱在支柱的左边，且它们之间还有一根支柱，求支柱的高度． (3)娟娟说：“垂直于地面的7根支柱中，一定有支柱的高度恰好是支柱高度的．”娟娟说的对吗？请说明理由． 23．定义：对于二次函数，其相依函数为一次函数，例如：二次函数的相依函数为： （1）求二次函数的相依函数表达式； （2）如图，二次函数与其相依函数的图象分别交于点、，过该抛物线的顶点作直线平行于轴，已知点到直线的距离为8． ①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上； ②点为抛物线段上的一个动点，求面积的最大值． 24．如图，已知二次函数的图象与轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出该抛物线的对称轴并求点A，B的坐标； (2)求； (3)在对称轴上是否存在一点P，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 《26.2二次函数的图象和性质》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B C A C C B C A 题号 11 12 答案 B C 1．A 【分析】本题考查二次函数的顶点式，根据顶点式直接写出顶点坐标，判断其位置． 【详解】解：顶点坐标为，在轴上， 故选：A． 2．A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，则解析式中对应的二次项系数为负数，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， 故选：A． 3．B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 4．C 【分析】利用二次函数的性质即可判断． 【详解】解：二次函数， A．，抛物线开口方向向上，故此选项不正确，不符合题意； B．当时，，图象经过点，故此选项不正确，不符合题意； C．当时，二次函数有最小值，故此选项正确，符合题意； D．对称轴为，故此选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，利用函数解析式正确得出二次函数的性质是解题关键． 5．A 【分析】本题考查了二次函数的性质．通过比较二次函数和的开口方向、对称轴、顶点坐标和对称性，判断各选项正误，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口方向向上，对称轴为直线， 当时，则，即顶点坐标为， ∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 当时，则，即顶点坐标为， ∴二次函数与的开口方向不相同，故A选项符合题意； ∴二次函数与的对称轴相同，顶点坐标相同，两函数图象关于x轴对称，故B、C、D选项不符合题意； 故选：A 6．C 【分析】本题考查了二次函数的性质；二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小．比较三个函数的值即可得出开口大小顺序． 【详解】解：二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小， 对于①，； 对于②，； 对于③，． 从小到大为：②③①， 故开口从大到小为：②③①，即②③①． 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象及性质． 由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】解：抛物线的开口向上，有最低点，对称轴为y轴， 当时，函数值随x的增大而减小， ∴四个选项中只有B选项的说法正确， 故选：B． 9．C 【分析】先求出N，R的坐标，观察图形可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3，由此求出a值，当时，当顶点在M处时取最大值，求此可解． 【详解】解：，MN＝2，NR＝7， ，， 由题意可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3， 则抛物线的解析式为， 将点B坐标代入上式得，， 解得，， 当时，， 观察图形可知，顶点在M处时，取最大值， 此时抛物线的解析式为：， 将代入得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图像的性质，解题关键时利用数形结合的思想，判断出抛物线顶点在R处时点B的横坐标取最大值，由此求出a值． 10．A 【分析】先确定出二次函数图像的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴若图像经过点，则该图像必经过点． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，主要利用了二次函数图像的对称性，确定出函数图像的对称轴为y轴是解题的关键． 11．B 【分析】根据二次函数图像与性质，由当时，对称轴，可知当时，对称轴，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：二次函数， 抛物线的开口向上，对称轴为， 点都在二次函数的图像上，且， ，即，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，理解利用二次函数图像与性质比较大小的方法是解决问题的关键． 12．C 【分析】根据二次函数的各项的系数即可判断二次函数的图象位置． 【详解】解：∵二次函数，二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点为， ∴二次函数的图象经过第三、四象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的各项的系数的符号确定二次函数的图象位置． 13． 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．由于二次函数开口向下，在给定区间内，最小值出现在端点处，通过计算比较函数值可得． 【详解】解：函数的二次项系数，对称轴为轴， 时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 当时，函数的最大值为； 在自变量范围内， 当时，；当时，． 二次函数在内的最小值为． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键； 根据二次函数的图象有最高点，可得到抛物线的开口向下，进而可列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数的图象有最高点， ∴抛物线的开口向下， ∴， 解得：， 故答案为：． 15． 小 1 【分析】根据二次函数的图象和性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线抛物线开口向上， ∵抛物线顶点坐标为， ∴二次函数的最小值为1， 故答案为：小，1 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的图象和性质是解题的关键． 16．或 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题．先将一般式化为顶点式，找出顶点坐标，根据二次函数平移法则左加右减上加下减，即可求出新的解析式． 【详解】解：， 将二次函数的图象，向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为，即． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据的顶点坐标是求解，即可解题． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是； 故答案为：． 18．(1) (2)5 (3)26 【分析】（1）根据表格数据待定系数法求解析式即可； （2）根据对称性可知与的函数值相等，将代入（1）的解析式求解即可； （3）将代入即可（1）中的解析式求解即可． 【详解】（1）根据表格数据可知对称轴为，当时，， 设该二次函数表达式， 将，代入 得 解得： （2）对称性可知与的函数值相等， 当时， 则这个算错的y值是 （3）当时， 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象的对称性，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 19．（1），；（2）；（3）存在，或或或 【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=-16+4b+3，解得b=，进而求解； （2）先求出C点坐标，利用面积公式求△ABC的面积=×AC•OB=×（4+）×3=； （3）分AB=AP、AB=BP、AP=BP三种情况构造方程，分别求解即可． 【详解】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为， 令，则， ∴点B的坐标为； （2）令， 解得或， ∴点C的坐标为， 连接AB、BC， 则；     （3）设点P的坐标为， 由题意得： ，，， 当时，则， 解得或， 当时，则， 解得（舍去）或， 当时，则， 解得可得， ∴点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查抛物线解析式，两轴交点坐标，三角形面积，等腰三角形的性质，解一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，会利用函数解析式求两轴交点坐标，会求三角形面积，会利用等腰三角形的性质构造方程是解题关键． 20．(1)见解析 (2)不在，理由见解析 (3)， 【分析】（1）根据抛物线的对称性，描点画图即可； （2）将点横坐标代入中判断即可； （3）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵的对称轴为y轴， ∴当时，，当时，，当时，， 在图中描点、、，连线，如图所示：    （2）解：不在，理由为： ∵当时，， ∴点不在这个函数图象上； （3）解：令，由得， ∴， ∴当时对应的函数图象上的点的坐标为，． 【点睛】本题考查二次函数的图象及图象上点的坐标特征，熟知函数图象上点的坐标满足函数解析式是解答的关键． 21．（1）画图见解析；（2）①上，直线，；②上，直线，；③上，直线，． 【分析】（1）先列表，再描点并连线即可； （2）①根据（1）中的二次函数的图象填空即可．②根据（1）中的二次函数的图象填空即可．③根据（1）中的二次函数的图象填空即可． 【详解】解：（1）列表如下： 0 1 2 2 0 5 3 5 再描点连线， ∴的图象如图所示：    （2）①抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； ②抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； ③抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是． 【点睛】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数的性质，熟练的利用五点画图的方法画二次函数的图象是解本题的关键． 22．(1) (2)支柱的高度为 (3)娟娟说的不对，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确审题和掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，得出顶点，利用顶点式设抛物线的表达式为，根据过点，代入求出a即可求解． （2）根据题意，将代入（1）中的解析式求出的值，即可求解； （3）根据题意，将代入解析式求出x的值，判断是否与实际相符即可． 【详解】（1）解：由题意知，顶点， 设抛物线的表达式为， 过， ，解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：由题意知，点的横坐标为8． 当时， ， 支柱的高度为； （3）解：娟娟说的不对，理由如下： ， 当时，，解得． 相邻支柱之间的距离均为， 所有支柱底端点的横坐标都是4的整数倍， 不存在支柱的高度恰好是高度的， 故娟娟说的不对． 23．（1）；（2）①见解析；② 【分析】（1）根据相依函数的定义求解； （2）①利用顶点式求得二次函数的顶点坐标，然后利用一次函数图像上的点的坐标特点求解；②联立方程组求得，，然后求得m的值，设P点坐标为，过点P作PM⊥x轴，交AB于点M，然后利用三角形面积公式及二次函数的性质求最值 【详解】解：（1） ∴二次函数的相依函数表达式为：； （2）①在中， 其顶点坐标为， ∴该二次函数的相依函数为：， 当时，， ∴该二次函数的顶点在其相依函数图像上。 ②联立方程组得，解得， ∴， 又∵点到直线的距离为8 ∴-3m+8=-2m，解得：m=8 ∴ 设P点坐标为 过点P作PM⊥x轴，交AB于点M ∴M点坐标为 ∴PM= ∴ ∴当x=时，S有最大值为1，即    【点睛】本题考查二次函数新定义题目的理解，掌握二次函数的性质、利用数形结合思想解题是关键． 24．(1)，， (2)4 (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据函数的性质直接写出对称轴即可，分别令，求出点A，B的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）根据点，点在对称轴上，得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； 当时，，当时，，解得：， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴； （3）存在，设， ∵，，， ∴， ∴当时，以为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴或． 学科网（北京）股份有限公司 $