精品解析：安徽宿州市萧县部分校2025～2026学年高二下学期7月期末数学试题

高二7月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则=（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 3. 若随机变量X服从两点分布，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.24 D. 0.36 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 15 B. 18 C. 20 D. 30 5. 已知随机变量，若，则下列概率值最大的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是函数的极值点，则（ ） A. 的极小值为 B. 的极大值为 C. 的极小值为 D. 的极大值为 7. 已知正项等比数列满足，，记为的前项积，若对任意的，都有，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知函数，，若直线与曲线和都相切，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某公司统计了最近5个月的广告投入与销售额的数据，如下表所示： 广告投入（万元） 2 3 4 5 6 销售额（万元） 3 5 6 8 9 若与线性相关，且经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 变量与正相关 B. C. 预测当广告投入为7万元时，销售额为10.7万元 D. 当时，残差为0 10. 已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列，是公比为的等比数列，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列的前项和为 C. 对任意的，都有 D. 存在，使得 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 至少有2个零点 B. 若，则的解集为 C. ，使得在上有极值点 D. 在上恒有最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，，则________． 13. 用数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________． 14. 为对学生进行安全教育，某校要调查学生是否闯过红灯，为防止学生有所顾忌而不如实作答，设计如下调查方案：每名学生均从一个装有2个红球、4个黄球的盒子中一次性任取2个球，至少取到1个红球的学生回答问题一“你是否闯过红灯？”，未取到红球的学生回答问题二“你出生的月份是否是4的倍数？”．由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，且回答的是哪个问题其他人不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生会如实作答．已知某校1000名学生参加了该调查，且有300人回答的结果为“是”，则从该校随机选择1名学生，估计其闯过红灯的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为检测一款流感疫苗的效果，随机选了180人进行对比实验，给部分人接种流感疫苗，然后调查他们所有人在某个流感暴发季内是否患流感，得到如下列联表： 患流感 未患流感 接种流感疫苗 20 70 未接种流感疫苗 60 30 （1）记未接种流感疫苗的人患流感的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析该流感疫苗能否降低流感的患病率． 附：． 0.01 0.005 0.001 k 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若，证明：当时，． 17. 已知正项数列的前n项和为，，，，且为等比数列． （1）求； （2）求的通项公式； （3）求数列的前n项和． 18. 为了解某河流的水质情况，从该河流随机采集了16份河水样本，假设其中只有2份重金属超标（简称“超标”）． （1）从这16份水样中随机抽取2份，求其中至少有1份超标的概率． （2）为了高效检测水质，将这16份水样随机分成4组，每组4份，先将同组的4份水样各抽取一部分混合到一起进行1次检测，如果检测结果为合格，说明该组的4份水样均不超标，该组检测结束，如果检测结果为不合格，说明该组的4份水样中有超标的，此时需对该组的每份水样再进行1次检测，得到每份水样的检测结果，该组检测结束． （ⅰ）求2份超标水样分在同一组的概率； （ⅱ）设4组水样均检测结束所需的检测次数为，求的分布列与数学期望． 19. 已知函数，且． （1）若直线与曲线相切，求m的值； （2）讨论的单调性； （3）当时，设，且，证明：． 附：当且时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二7月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则=（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先利用基本初等函数的导数公式和导数加法运算法则求出导函数，再代入计算即可； 【详解】求导得，将代入导函数，得. 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】先利用等差数列通项公式结合已知条件求出公差，再代入公式计算的值. 【详解】由题知 ，即，解得， 所以. 3. 若随机变量X服从两点分布，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.24 D. 0.36 【答案】A 【解析】 【详解】已知，故， 计算期望： 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 15 B. 18 C. 20 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】由题意通项公式为：  ， 令，解得， 故的系数为. 5. 已知随机变量，若，则下列概率值最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以，， ，. 故最大. 6. 已知是函数的极值点，则（ ） A. 的极小值为 B. 的极大值为 C. 的极小值为 D. 的极大值为 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的极值点为求出参数的值，然后再根据函数的单调性求出函数的极值即可． 【详解】∵，∴， ∵是函数的极值点，∴，解得， ∴， ∴当时，单调递增；当时，单调递减； ∴当时，有极大值，且极大值为，无极小值. 7. 已知正项等比数列满足，，记为的前项积，若对任意的，都有，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质求解，再进行讨论的取值，由数列的单调性即可求解. 【详解】因为为等比数列，由等比数列的性质可得， 由，两式联立可得或， 若，，则，，可得，则， 且，当时，，递增；当时，，递减， 令，即，解得，即时，，时，， 因此的最大值为，对应； 若，，同理可得， 即， 数列是严格递增的正项等比数列，所有项均大于1， 因此前项积随增大持续递增，不存在最大值，故没有满足条件的. 8. 已知函数，，若直线与曲线和都相切，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. e 【答案】B 【解析】 【分析】设在处的切线和在处的切线均为，利用导数的几何意义可得，构造函数，利用导数研究单调性，计算可判断，，根据，结合其单调性可得，进而计算可求. 【详解】设在处的切线为， 由，得，所以， 所以在处的切线方程为， 整理得； 设在处的切线为， 由，得，所以， 所以在处的切线方程为， 整理得， 由题意得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 由，所以，， 由，可得， 所以，又，所以，解得， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某公司统计了最近5个月的广告投入与销售额的数据，如下表所示： 广告投入（万元） 2 3 4 5 6 销售额（万元） 3 5 6 8 9 若与线性相关，且经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 变量与正相关 B. C. 预测当广告投入为7万元时，销售额为10.7万元 D. 当时，残差为0 【答案】ABC 【解析】 【详解】从表格可知，随的增大而增大，故变量与正相关.故A正确； 因为，，所以，故B正确； 当时，（万元），故C正确； 当时，，残差为，故D错误. 10. 已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列，是公比为的等比数列，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列的前项和为 C. 对任意的，都有 D. 存在，使得 【答案】CD 【解析】 【详解】设数列的公差为， 因为，，成等比数列，，所以，即，得， 则，故A错误； 因为，所以， 设数列的前项和为为，则， 则， 则， 则，则数列的前项和为，故B错误； 因为，，，， 令，且，则， 故当且，，单调递增，此时， 即，即， 故对任意的，都有，故C正确； 假设存在，使得，则， 因为函数是增函数，且， 所以存在唯一，使得，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 至少有2个零点 B. 若，则的解集为 C. ，使得在上有极值点 D. 在上恒有最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：计算可知与必为零点；对B：分或、、与讨论即可得；对C：求导后，结合，，可得，即可得解；对D：计算可得当或时，，当时，，即可得解. 【详解】对A：令，则或或， 当或时，有个零点， 当且时，有个零点，故A正确； 对B：若，则， 当或时，； 当时，、，则； 当时，、，则； 当时，、，则； 综上可得，的解集为，故B正确； 对C：， 若，，则，，， 故， 即在上单调递增，故在上无极值点，故C错误； 对D：由，故当时，，，故； 当时，，，故； 当时，，，故， 又在上连续，故必定存在，使得， 故在上恒有最大值，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】通过计算数列确定其周期性，再利用周期性质计算的值. 【详解】由题意，，，根据递推公式， 所以，， 即，，因此数列是周期为的周期数列. 又因为，故. 13. 用数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶数的个位特征分个位为和个位为两类，结合分类加法计数原理与排列组合公式计算总数可得. 【详解】因为组成无重复数字的四位偶数，个位只能为或，分两类讨论： ① 当个位数字为时，千位、百位、十位可从剩余的共个数字中任选个无重复排列， 共有个符合条件的四位数； ② 当个位数字为时，千位不能为，需从中选个，有种选法， 剩余百位、十位从除千位已选数字和个位的之外的个数字中任选个无重复排列， 有种选法，该类共有个符合条件的四位数. 根据分类加法计数原理，符合条件的偶数总个数为. 14. 为对学生进行安全教育，某校要调查学生是否闯过红灯，为防止学生有所顾忌而不如实作答，设计如下调查方案：每名学生均从一个装有2个红球、4个黄球的盒子中一次性任取2个球，至少取到1个红球的学生回答问题一“你是否闯过红灯？”，未取到红球的学生回答问题二“你出生的月份是否是4的倍数？”．由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，且回答的是哪个问题其他人不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生会如实作答．已知某校1000名学生参加了该调查，且有300人回答的结果为“是”，则从该校随机选择1名学生，估计其闯过红灯的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算取球对应回答不同问题的概率，再结合回答问题二答“是”的概率求出对应人数，用总答“是”人数减去该部分得到回答问题一答“是”的人数，最终求出所求概率. 【详解】从6个球中任取2个，总取法为种； 未取到红球（即2个均为黄球）的取法为种， 因此未取到红球的概率为，至少取到1个红球的概率为， 则1000名学生中，回答问题一的人数约为，回答问题二的人数约为， 出生月份为4的倍数的月份共3个，故回答问题二答“是”的概率为， 因此该部分答“是”的人数约为， 又总答“是”的人数为300，因此回答问题一答“是”的人数约为， 故估计该校学生闯过红灯的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为检测一款流感疫苗的效果，随机选了180人进行对比实验，给部分人接种流感疫苗，然后调查他们所有人在某个流感暴发季内是否患流感，得到如下列联表： 患流感 未患流感 接种流感疫苗 20 70 未接种流感疫苗 60 30 （1）记未接种流感疫苗的人患流感的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析该流感疫苗能否降低流感的患病率． 附：． 0.01 0.005 0.001 k 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）依据小概率值的独立性检验，可认为该流感疫苗能降低流感的患病率. 【解析】 【分析】（1）用频率估计概率，计算即可； （2）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可. 【小问1详解】 由列联表知，未接种流感疫苗的有人， 未接种流感疫苗且患流感的有人， 所以未接种流感疫苗的人患流感的频率为， 所以未接种流感疫苗的人患流感的概率的估计值为； 【小问2详解】 零假设为：该流感疫苗不能降低流感的患病率， 由列联表得到，， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该流感疫苗能降低流感的患病率，该推断犯错误的概率不超过， 所以根据小概率值的独立性检验，可认为该流感疫苗能降低流感的患病率. 16. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若，证明：当时，． 【答案】（1） （2）令，则， 则， 由（1）可知，则在上单调递增， 则，则在上单调递增， 则，则， 若，，则，得证. 【解析】 【分析】（1）根据单调性求最值； （2）令，求证，再放缩即可. 【小问1详解】 ，则当时；当时； 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为； 【小问2详解】 略 17. 已知正项数列的前n项和为，，，，且为等比数列． （1）求； （2）求的通项公式； （3）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） () （3） () 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解. （2）利用累加法求解. （3）利用错位相减法求解. 【小问1详解】 正项数列中，因为，，所以， 因为数列为等比数列，设其公比为， 所以， 当时，， 当时，， 将上述两式左右两边分别相加可得， 因为，，所以， 解得，即，即，解得或， 当时，， 因为，所以，解得， 因为数列是正项数列，即任意，都有， 则不符合题意，则， 因为，，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，等比数列的通项为， 当时,，，，， 将以上个等式左右分别累加，得到 ， 解得， 因为，所以， 当时，，与题干已知条件一致，公式对同样成立， 因此数列通项公式为. 【小问3详解】 设，因为，所以， ①， ②， ①减去②得到， ， ， ， ， . 18. 为了解某河流的水质情况，从该河流随机采集了16份河水样本，假设其中只有2份重金属超标（简称“超标”）． （1）从这16份水样中随机抽取2份，求其中至少有1份超标的概率． （2）为了高效检测水质，将这16份水样随机分成4组，每组4份，先将同组的4份水样各抽取一部分混合到一起进行1次检测，如果检测结果为合格，说明该组的4份水样均不超标，该组检测结束，如果检测结果为不合格，说明该组的4份水样中有超标的，此时需对该组的每份水样再进行1次检测，得到每份水样的检测结果，该组检测结束． （ⅰ）求2份超标水样分在同一组的概率； （ⅱ）设4组水样均检测结束所需的检测次数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）分布列为： 【解析】 【分析】（1）借助组合数公式计算即可得； （2）（ⅰ）个位置中份超标水样可能的位置数有种，再求出份超标水样落在同一组的可能种数，即可得其概率；（ⅱ）得到的可能取值及其对应概率后即可得其分布列，即可得其期望. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 （ⅰ）将个位置分成组，每组个位置，份超标水样可能的位置数有种； 其中份超标水样落在同一组的可能有种， 故； （ⅱ）当份超标水样分在同一组时，，其概率， 当份超标水样不在同一组时，，其概率， 故的分布列为： . 19. 已知函数，且． （1）若直线与曲线相切，求m的值； （2）讨论的单调性； （3）当时，设，且，证明：． 附：当且时，． 【答案】（1） （2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增 （3）当时，，则， 当时，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，也是最大值， 因为时，，当时，，所以， 不妨设. 取曲线上的点和，则， 曲线在处的切线方程为， 在处的切线方程为， 下证： 和. 证明：设，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故即恒成立，当且仅当时等号成立， 同理可证恒成立，当且仅当时等号成立. 由上述不等式可得且， 故即. 【解析】 【分析】（1）根据导函数的几何意义，求出函数切线的点斜式方程，根据切点在直线上又在函数上，列出方程组进而求出参数值； （2）根据导函数正负与函数单调性之间的关系，判断参数正负不同时的定义域，进而判断函数导数的正负，讨论函数单调性即可； （3）根据切线放缩可证题设中的不等式. 【小问1详解】 可知， 设切点为，则切线方程为， 化简得， 当直线与曲线相切时，可得， 由解得，所以， 当切点为时，代入得，解得. 【小问2详解】 当时，函数定义域为， 可知，令，即，解得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减； 当时，函数定义域为， 同理可知，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增； 综上所述： 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $