安徽省十校（A10）联盟2025-2026学年高二下学期7月期末质量检测数学试题（北师大版）B

2024级高二7月初期末质量检测 数学（北师大版）B 满分150分，时间120分钟。请在答题卡上作答。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 题目要求的。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是(） 1.已知A={xr3-1=0,xeR,B={W<1,xeR},则AUB=() A.函数y=√x+1√x-1与函数y=√x2-1表示同一函数 A. B.(-∞，1] C.0,1 D.[0,月 B.若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(2x)的定义域为[0,1] 2.下列命题中为真命题的是() A.3xeR,使得x2+1<0 C.若函数f(Nx-1=x-2Wx,则f(x)=x2-1(x≥-1) B.3r∈N”,使得4x<3 C.xeR,|x≥0 D.VxE R.x'EQ D.函数f闭)=lnx-4+1的零点所在区间为(2,3) 3.已知a=1og50.5,b=log0,0.2,c=0.52,则a,b,c的大小关系为( ) 10.设正实数x,y满足x+4y=1,则下列说法正确的是() A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 4.设数列{a.}为常数列，定义b.=an2,则“{an}是常数列”是“{b}是常数列”的( A少的最大值为 6 B.x2+y2的最小值为2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C.上+上的最小值为6 D.上+上的最大值为9 x y x y 5.牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为日℃， 1l.在无穷数列{an}中，记Sn=a+a2+…+an,若n∈N,Sn仍是{a}中的项，则称{a}为 环境温度为8℃，则1分钟后物体的温度0（单位：℃）满足：0=A,+(8-8)e.已知环境 “和封闭数列”，下列说法正确的有() 温度为20°℃，一块面包从温度为140C的烤箱里拿出，经过10分钟温度降至80℃，要想温度 A.若an=2n,则{an}为“和封闭数列 降至35C.那么大约再经过() B.若a。=2”,则{an}不为“和封闭数列” A.10分钟 B.20分钟 C.30分钟 D.40分钟 x+d4,x>-2 C.若{a}为“和封闭数列”，则{S}也为“和封闭数列” 6.已知函数f(x)= a-3 是R上的增函数，则实数a的取值范围为() D.若{a}为无穷等差数列，则{a}一定可以分解成两个“和封闭数列”和的形式 x≤-2 x 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=ar2+lnx.若a>0,f(f()=a3,则a的值为 ,曲线y=f(x)在 A.[2,3) B. 点(e,f(e)处的切线方程为 7.已知等差数列{an}的公差为d,其前n项和为Sn,S,>0,S2<0,则下列结论错误的是( ) A.a2<0 B.d<0 C.{S}中S。最大 D.la>la 13.若点(a,a,)在曲线y=-22上，记数列{a,}的前n项和为S,则是= 8.若函数f(x)=x- 了+3的图象在x=1处的切线也是曲线y=0心的切线。则b的最大值为 14.对于任意实数x,当a>0时，都有K-2≥+b.则-的最大值为 a () 2 2 e C. 0.e 2024缓高二7月初期末质量检测·数学（北师大版）第1页共4页 2024级高二7月初期末质量检测·数学（北师大版）第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(17分) 15.(13分) 已知集合A={xm-6≤x≤2m,meR},B={xx<-3,或x≥2} 已知fx)= :2-1为奇函数，且定义域为(1,1)，g)=4+12+1-1 2+1 (1)若AUB=R,求m的取值范围： (1)求k的值，判晰f(x)的单调性，并用定义法证明： (2)若A三B,求m的取值范围. (2)若f(2-a)>f(a2-4),求实数a的取值范围： (3)若存在两个不相等的实数m,n∈(-1,1)，使f(m)+f(m)=0,且g(m)+g(m)≥0，求实数t 的取值范围 16.(15分) 已知函数f(x)=log(x2-x-b),其中a>0且a≠1，beR. (1)若f(x)的定义域为R,求b的取值范围； (2)若a=2,f(x)的最小值为3，求b的值； (3)若a=2b=0,解不等式：f八)>-1. 19.(17分) 已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)-sinr是偶函数.f(x)+cosx是奇函数 (1)求f(x)的解析式： (2)已知函数g(x)=f,)+inr 2 (i)求证：函数g(x)有且只有一个零点： (i)记函数g(x)的零点为xo,求证：3x。-sin2x。<-1, 17.(15分) 已知数列{a1一a,]是以号为首项，4为公比的等比数列，且a=2 (1)求数列{a}的通项公式： (2)设bn=log2(3a。-1),求数列{凸。·3}的前n项和Sn 2024级高二7月初期末质量检测·数学（北师大版）第3页共4页 2024级高二7月初期末质量检测·数学（北师大版）第4页共4页 62024级高二7月初期末质量检测 数学（北师大版）参考答案B 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 y 3 4 6 > 8 答案 D C B A 6 D 0 1.D由题意得，A={},B={x0≤x<1},则AUB={x0≤x≤1}.故选D 2.C因为x2+1≥1恒成立，故A错误；由4红<3得x<3,故B错误：因为≥0恒成立，故C正确； 当x=√2+1时，x2=3+2√2，此时x2Q,故D错误.故选C 3.B因为a=log50.5<log51=0,b=logs0.2>log050.5=1,0<c=0.502<0.5°=1，所以 a<c<b,故选B. 4.A若{an}是常数列，不妨设an=m(m为常数)，则bn=a,2=m2为常数，此时“{b,}是常数列”. 取b。=1,an=（-1)”,此时b,=an2=(1)2”=1,则{b}是常数列，但a,=(-1)”不是常数列， 所以“{an}是常数列”是“{b,}是常数列”的充分不必要条件.故选A 5.B由题意得，8=20,8=140,0=80，t=10,则80=20+(140-20)e10,所以e0=2 设再经过t分钟，温度可由80℃降为35℃，即35=20+(80-20)e:,即e“=4=22=e20, 则t=20.故选B. a-3<0 -2≥-a 6.C由题意得， ,解得≤a<3.放选C a-isa-y -2 7.D由S=1a+a=1a,>0得a,>0,由S.=12(a+a=6a,+a)<0,得a,+a,<0, 2 2 所以a<0;公差d=a,-a6<0;因为a,>42>…>a6>0>a,>a>…,所以{Sn}中S6最 大，故C正确；因为a4>0,a,<0,所以a4-ag=a4+a,=a。+a,<0,则a4<ag.故选D. 8D由题意得，了)=1+子，则f)=3,又f0=3,所以函数f)=x-子+3的图象在x=1 处的切线方程为y-3=3(x-1),即y=3x.设切线方程y=3x与曲线y=e“b相切的切点为 (x,o),而y'=ae+b,则aeb=-3且。=eb=3x,于是a>0,ax,=1,则ae+b=3, 解得b=ln3-lna-1,所以ab=a(ln3-lna-1)=(ln3-1)a-alna.令函数 8(a=(n3-1)a-ana(a>0),则g'(a)=ln3-lna-2,由g(a=0,得a= e2，当 0<a<是时，g@>0:当a>时，g@)<0,所以数g四车0上单能背，在 2024级高二7月初期末质量检测·数学（北师大版)参考答案第1页共6页 B 为做连D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BCD AC ABD 9.BCD i 函数y=√x+1√x-1的定义域为[1，+∞)，函数y=√x2-1的定义域为(-∞，-1U[1,+∞)， 所以函数y=√x+1√x-1与函数y=√x2-1不是同一函数，故A错误；令0≤2x≤2，解 得0≤x≤1，所以函数f(2x)的定义域为[0,1，故B正确；令t=√x-1,t≥-1，则Vx=t+1, 所以f0=(t+1)2-2(t+1)=2-1(t≥-1)，所以f(x)=x2-1(x≥-1)，故C正确；因为 4 函数y=nx,y=-+1在(0，+∞）上单调递增，所以函数f(x)=nx-4+1在(0，+∞)上单调 递增，又f(2)=n2-1<0,f3)=ln3-。>0,所以函数fx)的零点所在区间为(2,3)，故D 正确.故选BCD. 0Ac由1=x+4y≥2网→≤6当且仅当x=y专时，等号成立，放A正确： 16 8 41 x2+y2=(1-4y)2+y2=17y2-8y+1=17y 1 1 171717 ,当且仅当x=7y=7 时，等号成立，故B错误；上+1=上++4y=上++4≥2，上.+4=6，当且仅当 x y x y x y ==时.号2.c-+4列=5++=5+2买 9,当组仅当xy=时，等号成立，散D错误放选AC 6 11.ABD若an=2n,则Sn=n2+n,易得Sn恒为偶数，所以{an}为“和封闭数列”，故A正确；若an=2”, 则S2=6,易得S2不是{an}中的项，所以{an}不为“和封闭数列”，故B正确；取an=2n,则 Sn=n2+n,S1=2,S2=6,令S1+S2=Sm,即m2+m=8,此方程显然无正整数解，所以{Sn} 不为“和封闭数列”，故C错误；设无穷等差数列{an}的公差为d,则 an=a1+(n-1)d=na1-(n-1)a+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1),记bn=na, cn=(n-1)(d-a1),下证1bn},1cn}均为“和封闭数列”.记 T=6+h,+…+h,=a1+2++m=mn+10a,令T.=b。,即ma=mn+0a,当 2 2 a=0时，T,=b显然成立；当a≠0，m=mm+时，T=b,成立，所以{6，}为和封闭数 2 列”，同理可得，{Cn}也为“和封闭数列”，故D正确.故选ABD. 2024级高二7月初期末质量检测·数学（北师大版）参考答案第2页共6页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.1（2e2+1)x-ey-e3=0(第一空3分，第二空2分，第二空其他正确的表达式也给分) 由题意得，f()=a,则f(f()=f(a)=a3+na=a3,则lna=0,解得a=1,此时 f)=+l.则f=2x+所以fe=2e+日，面f@)=c2+1,所以线y=f 在点(cfe》处的切线方程为y-(e2+刂-(2e+cx-,即(e2+小x-gy-e2=0, 13.65 南=-2，两2马=4，放数a是公比g=4轮等数，所 a(1-q） 6=1-9 =1+q3=65 S3 a(1-g） 1-9 14.-3 獬法一：(x-2)2≥ax+b→(x-1)(x-3)≥ax+b-1,y=ax+b-1与 x轴交于点 解法二：由题意得，x2-(4+a)x+4-b≥0在xeR上恒成立，则△=(4+a)2-4(4-b)≤0， 所以a2+8a+4b≤0，即b≤- 4-2a,又a>0,所以 a b-1 a 4 a 0.1=-3,当且仅当a=2时取等号， a V4 a 故力-1的最大值为-3. a 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) (1)因为A={xm-6≤x≤2m,meR},B={xx<-3,或x≥2}，AUB=R, m-6≤-3 所以 2m≥2 ,解得1≤m≤3，即m的取值范围为[儿，3]. …(6分) (2)当A=0时，满足A二B,此时m-6>2m,解得m<-6.…（8分) m-6≤2m m-6≤2m 当A≠0时， 或 2m<-3 m-6≥2 解得-6≤m< 3 或m≥8，…(12分)》 2 综上，m<- 或m≥8，即m的取值范围为 3 2024级高二7月初期末质量检测·数学（北师大版)参考答案第3页共6页 B 16.(15分) (1)由题意得，x2-x-b>0对x∈R恒成立， 所以(--4×(-)<0，解得6<-子，即b的取值范围为 …(5分)】 (2)当a=2时，f(x)=log2（x2-x-b), .1)2 令1=--b=气x-4b, 因为y=10g2t在(0，+∞)上单调递增，f(x)的最小值为3，所以t的最小值为8， 则-}6=8，解得6=品 …（10分) (3)当a=7b=0时，f)=1g,(2-刘， f(x)>-1→log1(x2-x)>-1→log1(x2-x)>l1og12→0<x2-x<2, 解得-1<x<0或1<x<2,即不等式f(x)>-1的解集为(-1,0)U(1,2).…（15分) 17.（15分) （1)由题意得，a1-a,= ×41=2n3,…(1分】 2 当n≥2时，由累加法，得an=(an-ai)+(an-1-an-2)+…+(a2-a)+4 =22m-5+22m-7+22m-9+…+21+21 =1.1-41+1_41-1+141+2_2203+1 …（5分) 21-42626 3 当n=1时，a1= 上2+=.满足上式，……(6分 3 签上所述，021.…(7分) 3 (2)由(1)得，bn=1og2(3a,-1)=1og22m-3=2n-3,则bn·3”=(2n-3)-3”,…(8分) Sn=-1×3+1×32+3×33++(2n-5)3"-+(2n-3)3”, 3S,=-1×32+1×33+3×34+…+(2n-5）3”+(2n-3)-3+1,…(10分) 所以-2Sn=-1×3+2×32+2×33+…+2×3”-(2n-3)3m =-3+2x9x1-30-(2m-3)-31=-12-(4-2m）-3,…(14分） `1-3 所以Sn=(n-2)3++6.…(15分) 18.（17分) (1)因为f(x)为奇函数，定义域为(-1,1)， 以0)=0，即f0)=三0，解得无=1，经验证满足题设，…(2分2】 f(x)在定义域(-1,1)上为增函数，…(3分) 证明如下：任取，e(-1).且<x,f)==1-,2 2+1 2*+11 2024级高二7月初期末质量检测·数学（北师大版）参考答案第4页共6页 B 2 2 2(25-2) 则f(x,)-f()=24+12+1(21+12+ >0,即f(x2)>f(x), 所以f(x)在定义域上为增函数， …(5分) [2-a>a2-4 (2)由（1)得， -1<2-a<1,解得√3<a<2.…(9分) -1<a2-4<1 (3)f(m)+f(n)=0,∴.f(m)=-f(n)=f(-n),∴.m=-n,即n=-m.…（10分) g(x)=4"+t:2*+1-t=(2/+2t.2*+1-1, :g(m)+gm)≥0，(2m）+21.2"+1-t+(22+21.2”+1-1≥0 （*), m≠n,n=-m,m∈（-1,0)U(0,1),2m.2"=1.…(12分) 令2+2r=,me(-LoU0.则a=2+,e(引 (*等价于(2"+2"-2-2m…2”+2t(2m+2"）+2-2≥0，∴2+2M-21≥0，…(14分） 则存在一个实数u∈ 使h(w)=u2+2-2t≥0成立， 只需h(2)>0或h 小0，即4+2>0成空+3>0，解得> 4 12 2 综上，实数t的取值范围为 20 …（17分) 19.(17分) (1)因为f(x)-sinx是偶函数，所以f(-x)-sin(-x)=f(x)-sinx, 所以f(x)-f(-x)=2sinx,…(2分) 因为f(x)+cosr是奇函数，所以f(-x)+cos(-x)=-[f(x)+cosx], 所以f(x)+f(-x)=-2cosx,…(4分) 所以2f(x)=2sinx-2cosx,即f(x)=sinx-cosx. …（5分) 2》出题意知g=f+mr=o+r=vnx-引r. 3 g(x)的定义域为(0+∞)，…(6分) 当e]时，e(引，时y--别牙 上单调递增， 又y=:在]上单，所以g的在a 3 3π 上单调递增，…（7分) +3n=1+ n>0, 2 “2 所以g()在0买]上有唯-零点： …(8分) 当xe(t.i-}0>0,所>0, 2024级高二7月初期末质量检测·数学（北师大版)参考答案第5页共6页 B 所以g(x)在 3π5π 44 上没有零点；…(9分) 当x∈ 5π 5>x3>e,所以21x>3>V2,所以g)>0, 时，> 所以g(x)在 4 5π 上没有零点 综上，g(x)有且只有一个零点.…（11分) (i)由题意知，sm,-cos,+n,=0,且e(牙》 42 所以3lnx,=2(cosx,-sinx,), 3lnxo -sin2x=2(cosxo-sinxo)-2sinxocosxo. …（13分) 令1=ox-sim,=ior飞+》因为e(年引 ππ 所以t∈（-1,0)， 又t2=1-2sinx,cosx,则2sinx,cosx=1-t, …（15分)） 所以3lnx。-sin2x。=2t-（1-2）=+2t-1=(t+1)2-2,…(16分) 因为t∈(-1,0)，所以(t+1)2-2<-1,即3nx。-sin2x<-1.…（17分) 以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分. 2024级高二7月初期末质量检测·数学（北师大版）参考答案第6页共6页 B