2.1等式性质与不等式性质教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 2.1 等式性质与不等式性质 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1.理解实数大小比较的基本事实，能够用数轴解释实数的大小关系。 2.掌握不等式的基本性质，能够运用性质进行简单的不等式变形和证明。 3.能够将实际问题中的不等关系抽象为数学不等式，并运用不等式性质解决简单应用问题。 教学内容 教学重点：不等式的基本性质及其应用。 教学难点：不等式性质的推导与证明；准确运用不等式性质解决问题（尤其是涉及乘法、乘方、开方性质的应用）。 教学过程 1、 情境导入 1. 回顾等式性质：教师提问“同学们，我们在初中已经学习过等式的基本性质，谁能来总结一下？” 引导学生回顾并板书等式的基本性质： （1）如果a = b，那么b = a（对称性）； （2）如果a = b，b = c，那么a = c（传递性）； （3）如果a = b，那么a + c = b + c（可加性）； （4）如果a = b，那么ac = bc；如果a = b，c ≠ 0，那么a/c = b/c（可乘性、可除性）。 2. 引出不等式问题：展示生活实例“小明的身高180cm，小红的身高165cm，那么小明的身高大于小红的身高，即180 > 165；如果两人都长高5cm，小明的身高185cm，小红的身高170cm，仍然有185 > 170”。提问“这个实例反映了不等式的什么规律？类似地，等式有诸多性质，不等式是否也具有类似的性质呢？” 引出本节课课题——等式性质与不等式性质。 2、 新知探究 探究1 不等式的对称性： 提问“如果a > b，那么b与a的大小关系是什么？如果a < b呢？” 引导学生结合具体实例（如180 > 165，则165 < 180）猜想结论。 总结性质1（对称性）：如果a > b，那么b < a；如果a < b，那么b > a。 探究2 不等式的传递性： 提问“如果a > b，b > c，那么a与c的大小关系是什么？” 引导学生类比等式的传递性，结合数轴（数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，若a在b右侧，b在c右侧，则a在c右侧）进行验证。 总结性质2（传递性）：如果a > b，b > c，那么a > c。 探究3 不等式的可加性： 提问“如果a > b，那么a + c与b + c的大小关系是什么？” 引导学生结合导入环节的生活实例，以及作差法（(a + c) - (b + c) = a - b，因为a > b，所以a - b > 0，故(a + c) - (b + c) > 0，即a + c > b + c）进行证明。 总结性质3（可加性）：如果a > b，那么a + c > b + c。 追问“如果a > b，c > d，那么a + c与b + d的大小关系是什么？” 引导学生利用性质3推导（a + c > b + c，b + c > b + d，故a + c > b + d），得出不等式的同向可加性推论。 探究4 不等式的可乘性： 提问“如果a > b，那么ac与bc的大小关系一定是ac > bc吗？” 引导学生分情况讨论c的符号： （1）当c > 0时，结合作差法（ac - bc = c(a - b)，a - b > 0，c > 0，故ac - bc > 0，即ac > bc）； （2）当c = 0时，ac = bc = 0； （3）当c < 0时，ac - bc = c(a - b)，a - b > 0，c < 0，故ac - bc < 0，即ac < bc。 总结性质4（可乘性）：如果a > b，c > 0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。 追问“如果a > b > 0，c > d > 0，那么ac与bd的大小关系是什么？” 引导学生利用性质4推导（ac > bc，bc > bd，故ac > bd），得出不等式的同向同正可乘性推论。 探究5 不等式的乘方与开方性质： 提问“如果a > b > 0，那么aⁿ与bⁿ（n为正整数）的大小关系是什么？与（a、b为非负数）的大小关系是什么？” 引导学生结合具体实例（如2 > 1，则2² > 1²，2³ > 1³；4 > 1，则 > ）猜想，再利用性质4的推论证明乘方性质。 总结性质5（乘方性）：如果a > b > 0，那么aⁿ > bⁿ（n为正整数）。 性质6（开方性）：如果a > b > 0，那么 > （n为正整数，n ≥ 2）。 3、 典例分析 例1 比较 和 的大小。 = 所以 总结： 1、 作差(或作商) 2.变形 3.定号(与0比较或与1比较). 同步练习：比较和的大小. 解： - = =-3<0 所以 例2 已知. 证明：因为a>b>0，所以ab>0，>0， 于是>. 由，得. 同步练习：下列几种说法中，不正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 答案：A 例3 （1）已知<2取值范围。 （2） 已知<2取值范围。 解：（1） <8， ，所以-4 <2 （2）<8， ，所以5 <2 注意：多项式的取值范围，需将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法） 四、课堂小结 1.引导学生回顾本节课所学内容：等式的基本性质、不等式的6个基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性、乘方性、开方性）及相关推论。 2. 强调重点：运用不等式性质时，尤其要注意可乘性、乘方性、开方性中“符号”和“正数”的条件限制。 3. 总结思想方法：类比思想、分类讨论思想、作差法比较大小。 五、课后作业 1. 教材习题2.1：第1、2、3、4题（基础题，巩固不等式性质的理解与基本应用）。 2. 拓展题：已知a > b > 0，求证：（选做题，培养推理证明能力）。 3. 预习下一节内容：《2.2 基本不等式》。 学科网（北京）股份有限公司 $