3.4　相似三角形的性质 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“相似三角形的性质（1）”，核心内容为相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比。课堂导入通过类比全等三角形对应线段性质提问，结合具体图形实例搭建学习支架，帮助学生从已知过渡到新知。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，以问题驱动和实例分析为主线。如通过模型房梁立柱计算、小孔成像等生活实例培养几何直观与模型意识，例题从基础选择到拔高综合题引导推理意识。分层练习与详解助力学生深化理解，教师可直接用于教学提升效率。

第三章　图形的相似 4　相似三角形的性质 第2课时　相似三角形的性质（2） 　 1 两个全等三角形的周长和面积都相等，两个相似三角形的周长和面积会有怎 样的关系呢？如图，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2，求 △ABC与△DEF的周长比和面积比. 　 　相似三角形的性质定理2 相似三角形的周长比等于① ，面积比等于② ⁠. 相似比 相似比的平方 　 相似多边形的性质推理： 如图1，若△ABC∽△A′B′C′，则 ＝ ＝ ＝k， 由比例性质可得 ＝ ＝k. 　 如图2，分别作出△ABC与△A′B′C′的高AD和A′D′，若 △ABC∽△A′B′C′，则 ＝ ＝ ＝ ＝k， ＝ ＝ ＝k2. 　 【例1】（2025秋•南山区校级月考）如图，点D，E分别在△ABC的边 AB，AC上，且△ABC∽△AED，若 ＝3，S△ADE＝1，求S△ABC. 解：∵△ABC与△AED相似， ∴ ＝2＝9. ∵S△ADE＝1， ∴S△ABC＝9. 　 （2025秋•深圳期末）已知△ABC∽△DEF， ＝ ，若△ABC 的周长是6，求△DEF的周长. 解：∵△ABC∽△DEF， ∴△ABC的周长∶△DEF的周长＝AB∶DE＝3∶2. ∵△ABC的周长为6， ∴△DEF的周长为4. 　 　相似三角形周长比、面积比的性质应用 特别说明：利用相似三角形的面积比解决问题时要特别注意“平方”两个 字，面积比等于相似比的“平方”. 　 【例2】（教材第87页例题2）如图，将△ABC沿BC方向平移，得到 △DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC面积 的一半.已知BC＝2，求△ABC平移的距离. 解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，如图， ∴AB∥EG， ∴△ABC∽△GEC， ∴ ＝2＝ ， ∴BC∶EC＝ ∶1. ∵BC＝2， ∴EC＝ ， ∴△ABC平移的距离为BE＝2－ . 　 （2025秋•龙华区校级期中）如果两个相似三角形对应边上的中 线之比是2∶3，并且这两个三角形的周长之和是65 cm，求较大的三角形周长. 解：∵两个相似三角形对应边上的中线之比是2∶3， ∴这两个三角形的周长之比为2∶3. ∵周长之和是65 cm， ∴较大的三角形周长是65× ＝39（cm）. 　 1. （2025秋•宝安区校级月考）已知两个相似三角形的对应边的比为5∶1，则它们的周长之比为（　B　）. A. 1∶5 B. 5∶1 C. 25∶1 D. 1∶25 2. 如果两个相似三角形面积的比为4∶9，那么这两个相似三角形对应边的比 是 ⁠. B 2∶3 　 3. （2025•福田区校级开学）如图，△ADE∽△ACB，DE＝3， S△ADE∶S四边形BCED＝9∶16，则BC的长为 ⁠. 5 　 4. （根据教材第99页复习题第1题改编）判断正误： （1）已知线段a，b，c，d成比例且线段a＝5 cm，b＝2 cm，c＝10 cm， 则d＝4 cm. （　√　） （2）若A，B两地在地图上的距离为7 cm，地图的比例尺为1∶5 000，则 A，B两地的实际距离为35 m. （　×　） （3）若线段AB＝ cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ cm. （　√　） （4）已知 ＝ ＝ ≠0，且a＋b－2c＝3，则a＝18. （　×　） √ × √ × 　 5. （根据教材第100页复习题第10题改编）滨湖广场有两个相似三角形地 块，相似比为2∶3，面积差为30 m2，求它们的面积之和. 解：∵两个相似三角形地块的相似比为2∶3， ∴面积比为4∶9. ∵面积的差为30 m2， ∴设较小三角形地块的面积为x m2， 则较大三角形地块的面积为（x＋30）m2，故 ＝ ，解得x＝24， 检验得x＝24是原方程的根，故x＋30＝54， 即它们的面积之和为24＋54＝78（m2）. 　 6. （根据教材第103页复习题第21题改编）一块直角三角形木板的面积为3 m2，一条直角边AB为3 m，∠B＝90°，怎样才能把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说 明哪位木匠的方法符合要求.（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留） 　 解：由AB＝3 m，S△ABC＝3 m2，可得BC＝2 m， 如图1，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高BH，交DE于点P，交AC于点H. 由AB＝3 m，BC＝2 m， 得AC＝ ＝ （m）. 由S△ABC＝ AC•BH＝ AB•BC 可得BH＝ ＝ ＝ （m）. 设甲设计的桌面的边长为x m， ∵DE∥AC， ∴Rt△BDE∽Rt△BAC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得x＝ . 　 如图2，若设乙设计的正方形桌面边长为ym， 由DE∥BC，得Rt△ADE∽Rt△ABC， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得y＝ ， ∵x＝ ，y＝ ， ∴x＜y，即x2＜y2， ∴S正方形甲＜S正方形乙， ∴乙木匠的方法符合要求. 　 参考答案 【新课导学】 ①相似比　②相似比的平方 【例1】　解：∵△ABC与△AED相似， ∴ ＝2＝9. ∵S△ADE＝1， ∴S△ABC＝9. 　 变式训练1　解：∵△ABC∽△DEF， ∴△ABC的周长∶△DEF的周长＝AB∶DE＝3∶2. ∵△ABC的周长为6， ∴△DEF的周长为4. 　 【例2】　解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，如图， ∴AB∥EG，∴△ABC∽△GEC， ∴ ＝2＝ ， ∴BC∶EC＝ ∶1. ∵BC＝2，∴EC＝ ， ∴△ABC平移的距离为BE＝2－ . 　 变式训练2　解：∵两个相似三角形对应边上的中线之比是2∶3， ∴这两个三角形的周长之比为2∶3. ∵周长之和是65 cm， ∴较大的三角形周长是65× ＝39（cm）. 　 【随堂小测】 1. B　2.2∶3　3.5　4.（1）√　（2）×　（3）√　（4）× 5. 解：∵两个相似三角形地块的相似比为2∶3， ∴面积比为4∶9. ∵面积的差为30 m2， ∴设较小三角形地块的面积为x m2， 则较大三角形地块的面积为（x＋30）m2，故 ＝ ，解得x＝24， 检验得x＝24是原方程的根，故x＋30＝54， 即它们的面积之和为24＋54＝78（m2）. 　 6. 解：由AB＝3 m，S△ABC＝3 m2，可得BC＝2 m， 如图1，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高BH，交DE于点P，交AC于点H. 由AB＝3 m，BC＝2 m， 得AC＝ ＝ （m）. 由S△ABC＝ AC•BH＝ AB•BC 可得BH＝ ＝ ＝ （m）. 设甲设计的桌面的边长为x m， ∵DE∥AC， ∴Rt△BDE∽Rt△BAC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得x＝ . 　 如图2，若设乙设计的正方形桌面边长为y m， 由DE∥BC，得Rt△ADE∽Rt△ABC， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得y＝ ， ∵x＝ ，y＝ ， ∴x＜y，即x2＜y2， ∴S正方形甲＜S正方形乙， ∴乙木匠的方法符合要求. 　 $第三章　图形的相似 4　相似三角形的性质 第1课时　相似三角形的性质（1） 　 1 两个全等三角形的对应高、对应角平分线和对应中线分别相等，两个相似三 角形的这些对应线段会有怎样的关系呢？如图，△ABC∽△DEF，△ABC 与△DEF的相似比为2，AG，DH分别是BC，EF上的中线，求AG和DH 之间的关系. 　 　相似三角形的性质定理1 相似三角形① 、② 、③ ⁠ 都等于相似比. 特别说明：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 对应高的比 对应角平分线的比 对应中线的比 　 【例1】（2024秋•龙华区期中）如果两个相似三角形的相似比为3∶2，那么这 两个三角形对应边上的高之比为（　B　）. A. 81∶16 B. 3∶2 C. 1∶1 D. 9∶4 B 如果两个相似三角形对应中线的比为8∶9，则它们的相似比为 （　A　）. A. 8∶9 B. 9∶8 C. 64∶81 D. 2 ∶3 A 　 　相似三角形的性质应用 特别说明：利用相似三角形的性质解决问题时要特别注意“对应”两个字， 找准对应线段. 　 【例2】（教材第85页例题1）如图，AD是△ABC的高，AD＝h，点R在 AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E. 当SR＝ BC时，求DE的 长.如果SR＝ BC呢？ 解：∵AD是△ABC的高， ∴BC⊥AD. ∵SR⊥AD， ∴SR∥BC， ∴△ASR∽△ABC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 当SR＝ BC时，得 ＝ ，解得DE＝ h， 当SR＝ BC时，得 ＝ ，解得DE＝ h. 　 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小 王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房梁△A′B′C′，CD和 C′D′分别是它们的立柱，若CD＝1.5 cm，求模型房梁立柱的高C′D′. 解：由题意得△ACD∽△A′C′D′， ∴CD∶C′D′＝1∶2， ∴C′D′＝2CD＝3 cm， 即模型房梁立柱的高为3 cm. 　 1. 若两个相似三角形的对应边之比为4∶5，则这两个相似三角形对应中线的 比为 ⁠. 2. 若△ABC∽△A′B′C′，且AB＝2 cm，A′B′＝ cm，则它们对应角平 分线的比为 ⁠. 4∶5 3∶2 　 3. 已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线， ＝ ， B′D′＝4 cm，则BD＝ ⁠. 4. 若△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们对应的角平分线，已知AD＝ 8 cm，A′D′＝3 cm，则△ABC与△A′B′C′对应高的比为 ⁠. 5. （根据教材第86页随堂练习第2题改编）两个相似三角形一组对应高的长 分别是2 cm和5 cm，若在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是 3 cm，那么较长的中线是 cm. 6 cm 8∶3 7.5 　 6. （教材第88页习题3.4第5题）如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中 纸筒的长度为15 cm.他准备了一支20 cm长的蜡烛，想要得到5 cm高的像， 蜡烛应放在距离纸筒小孔端多远的地方？ 解：如图，AB＝20 cm，OF＝15 cm，CD＝5 cm， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD，△OAB∽△ODC， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得OE＝60. 答：蜡烛应放在距离纸筒60 cm远的地方. 　 7. 如图，正方形DGFE的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边 AB，AC上，AH⊥BC于点H，交DG于点P，已知BC＝48，AH＝16，求 正方形DGFE的边长. 解：设正方形DGFE的边长为x， ∵四边形DGFE是正方形， ∴DG∥EF，即DG∥BC， ∠GDE＝∠DEF＝90°，DE＝DG＝x， ∴△ADG∽△ABC， ∴ ＝ . 　 ∵AH⊥BC， ∴∠GDE＝∠DEF＝∠PHE＝90°， ∴四边形DEHP是矩形， ∴PH＝DE＝x. ∵BC＝48，AH＝16， ∴AP＝AH－PH＝16－x， ∴ ＝ ，解得x＝12. ∴正方形DGFE的边长为12. 　 参考答案 【新课导学】 ①对应高的比 ②对应角平分线的比 ③对应中线的比 【例1】B 变式训练1　A 　 【例2】　解：∵AD是△ABC的高，∴BC⊥AD. ∵SR⊥AD，∴SR∥BC，∴△ASR∽△ABC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 当SR＝ BC时，得 ＝ ，解得DE＝ h， 当SR＝ BC时，得 ＝ ，解得DE＝ h. 变式训练2　解：由题意得△ACD∽△A′C′D′， ∴CD∶C′D′＝1∶2， ∴C′D′＝2CD＝3 cm， 即模型房梁立柱的高为3 cm. 　 【随堂小测】 1.4∶5　2.3∶2　3.6 cm　4.8∶3　5.7.5 6. 解：如图，AB＝20 cm，OF＝15 cm，CD＝5 cm， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD，△OAB∽△ODC， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得OE＝60. 答：蜡烛应放在距离纸筒60 cm远的地方. 　 7. 解：设正方形DGFE的边长为x， ∵四边形DGFE是正方形， ∴DG∥EF，即DG∥BC，∠GDE＝∠DEF＝90°，DE＝DG＝x， ∴△ADG∽△ABC，∴ ＝ . ∵AH⊥BC，∴∠GDE＝∠DEF＝∠PHE＝90°， ∴四边形DEHP是矩形，∴PH＝DE＝x. ∵BC＝48，AH＝16，∴AP＝AH－PH＝16－x， ∴ ＝ ，解得x＝12. ∴正方形DGFE的边长为12. 　 $