第6章《平行四边形》暑假复习巩固综合练习 2026年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦平行四边形判定与性质，整合三角形中位线、梯形等关联知识，通过阶梯式题型培养几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|10小题|判定辨析、图形拼接、坐标应用|从定义到性质，渗透分类讨论思想| |填空|5小题|梯形外角、中位线计算、动态最值|结合三角形与四边形，强化转化能力| |解答|10小题|作图证明、面积探究、综合推理|以平行四边形为核心，构建“性质-判定-应用”逻辑链|

北师大版八年级下册暑假综合练习 第6章 平行四边形 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）1.根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 利用平行四边形的判定定理逐项判断即可. 【解答】 解：A. 由对角线互相平分，可知该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B. 由两组对边分别相等，可知 该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C. 由内错角相等、两直线平行可知： 一组对边平行．再结合另一组对边相等，根据一组对边平行、另一组对边相等可知，该四边形可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故本选项符合题意； D. 两组内错角分别相等，可知两组对边分别平行，即该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意. 故选：． 2.四边形中，若，则这个四边形是（     ） A.一般梯形 B.等腰梯形    C.直角梯形 D.任意四边形 【答案】 A 【解析】 先根据四边形内角和定理求出四个内角的度数，再利用同旁内角互补判断对边的平行关系，进而确定四边形的形状。 【解答】 解：四边形内角和为360°，且， 设，则 ， ， 解得， ， ， ， 又， 不平行于，四边形是梯形， 梯形内角，符合直角梯形的特征， 这个四边形是直角梯形。 故选：． 3.如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（       ） A.种 B.种 C.种 D.种 【答案】 C 【解析】 分别以不同的三边为对角线进行拼接即可得． 【解答】 以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形： 故选：． 4.如图，在等腰中，，AD平分，点E为AC的中点，则DE的长等于（ ） A.8 B.6 C.4 D.5 【答案】 D 【解析】 本题考查等腰三角形的性质和中位线定理的性质，根据已知条件求出 【解答】 解： 在等腰三角形ABC中，AB=AC=10，AD平分 ，DE为 的中位线，对应的第三边为AB即可求解. D为BC的中点（等腰三角形三线合一）. 点E为AC的中点， DE为连接两边中点的线段，符合中位线定理. 根据中位线定理，连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于其一半， 此处，D是BC的中点，E是AC的中点， DE为 的中位线，对应的第三边为AB. ， 故选D. 5.平行四边形的三个顶点坐标依次为、、，则第四个顶点的坐标不可能为（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式，分三种情况讨论得到第四个顶点所有可能的坐标，即可判断出不可能的选项. 【解答】 解：设三个已知顶点为A(0,2)，B(-1,0)，C(a,b)，第四个顶点为D(x,y)，平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论： 若对角线为AB和CD， AB中点坐标为 即 平行四边形对角线中点重合，CD中点坐标与AB中点坐标相等， 解得x=-a-1，y=-b+2，即D(-a-1,-b+2)，故选项C是可能的； 若对角线为AC和BD， AC中点坐标为 平行四边形对角线中点重合，BD中点坐标与AC中点坐标相等， 解得x=a+1，y=b+2，即D(a+1,b+2)，故选项A是可能的； 若对角线为BC和AD， BC中点坐标为 平行四边形对角线中点重合，AD中点坐标与BC中点坐标相等， 解得x=a-1，y=b-2，即D(a-1,b-2)，故选项B是可能的； 因此第四个顶点的坐标不可能为选项D.  故选：． 6.如图，在四边形中，，对角线、相交于点．请添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列条件正确的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据平行四边形的判定定理进行排除选项即可. 【解答】 解：A、当添加时，无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意; B、当添加时，无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意; C、当添加时，无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意; D、当添加时，则根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故符合题意. 故选：． 7.如图，平行四边形的对角线、相交于点，下列结论正确的是（       ） A.平行四边形是轴对称图形 B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的定义和性质解题． 【解答】 解：A、一般平行四边形ABCD是中心对称图形，特殊平行四边形，如矩形，菱形，正方形是轴对称图形，该选项不符合题意； B、AC=BD是矩形和正方形的性质，不是一般平行四边形的性质，该选项不符合题意； C、AC⊥BD是菱形和正方形的性质，不是一般平行四边形的性质，该选项不符合题意； D、由平行四边形的性质可得AB=CD，OA=OC，OD=OB，故 ，该选项符合题意； 故选：D. 8.如图，在中，，，，则与间的距离为（       ）     A.5 B.10 C. D.26 【答案】 B 【解析】 根据平行四边形的性质可得 ， 与 互相平分，推得 ，根据勾股定理求得 ，推得 ，即可求解. 【解答】 解： 四边形 为平行四边形， ， 与 互相平分， 又 ， ， 在Rt 中， ， ， 故 与 间的距离为10； 故选：B.  9.如图，在中，已知，，，过的中点作，垂足为，与的延长线相交于点，则的面积是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据平行四边形的性质得到，，求出、、，根据得出，，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案． 【解答】 解：四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：． 10.如图，的对角线、相交于点，平分，分别交、于点，连接，，，，则下列结论：；；；，正确的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 先根据角平分线和平行线的性质证明 是等边三角形，得出 为 中点，进而求出 和 的度数判断①；利用勾股定理求出 的长，再在 中求出 的长，从而得到 的长判断②；根据 ，再通过面积公式即可判断③；根据三角形中位线定理判断④。 【解答】 解：①∵ABCD$ 是平行四边形， ，， ， 平分 ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②\because \angle B = 60^\circ\angle ACB = 30^\circ$， ， 在 中，， 四边形 是平行四边形， ，， ， 在 中，， ，故②正确； ③由②知 ，即 ， ，故③正确； ④\because OA = OCBE = EC$， 是 的中位线， ， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：． 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.已知等腰梯形中，，若，则的外角是___45_____． 【答案】 【解析】 先根据等腰梯形的性质，求得，再根据，得出，最后根据，求得的度数即可得出答案． 【解答】 解：∵ 等腰梯形中，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得， ∴ 的外角是． 故答案为： 12.如图，要测定被池塘隔开的，两点的距离，可以在外选一点，连接、，并分别找出它们的中点、，连接．现测得，则等于___36_____． 【答案】 36 【解析】 根据D、E分别是AC、BC的中点，可得DE是∆ABC的中位线，利用中位线定理即可求解. 【解答】 解：∵ D、E分别是AC、BC的中点， ∴ AB=2DE=36m.  故答案为： 13.如图，在中，，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 根据勾股定理可得AB的长，再由平行四边形的性质解答即可. 【解答】 解： ， ， ， 四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：  14.如图，在梯形中，，，，交于点．如果，，那么的长是  7  ． 【答案】 【解析】 由在四边形中，，，可判定四边形是平行四边形，即可求得的长，又由，，易判定是等腰三角形，继而求得答案． 【解答】 解：在四边形中，，，四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形， ． 故答案为：． 15.如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 如图，作 A关于直线 BC的对称点 ，连接 交BC于 ，则 ， ， ，当M， 重合时，MA+MD最小，最小值为 ，再进一步结合勾股定理求解即可. 【解答】 解：如图，作 A关于直线 BC的对称点 ，连接 交BC于 ，则 ， ， ， 当M， 重合时，MA+MD最小，最小值为 在 中， 故答案为： 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(6分) A、B、C三点在单位长度为1的直角坐标系内位置如图． （1）在平面直角坐标系中以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，在图中画出所有情况并写出D点坐标； （2）求出你作出的其中一个平行四边形的面积． 【答案】 如图，四边形ABCD ，四边形ABD2C，四边形AD3BC为满足条件平行四边形点 10 【解析】 （1）由A，B，C各点坐标，利用平行四边形对角线互相平分和中点坐标公式，分别求D坐标，画图即可； （2）由每个平行四边形的面积都是 二倍，求出 面积即可求出平行四边形面积. 【解答】 （1）图略， 由已知，A，B，C坐标分别为（1,-3），（2,-5），（5,-1），当四边形ABCD为平行四边形时，设点 坐标为（a,b），由中点坐标公式可知， 解得， ，故 坐标为（4，1）； 同理可得， 坐标为（6，-3）， 坐标为（-2，-7）； （2） 由平行四边形性质可知，平行四边形ABCD面积为 17.（6分）如图，在中，点在边上，点在边上，．求证：． 【答案】 见解答 【解析】 根据平行四边形的性质得到DE//BF，AD=BC．证明四边形BFDE为平行四边形，则DE=BF，即可得到结论． 【解答】 证明： 四边形ABCD为平行四边形． 即DE//BF，AD=BC． 又 四边形BFDE为平行四边形 ， 。 18.（7分）如图，在中，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使，连接CE、AF． 证明：． 【答案】 见解析 【解析】 先根据三角形的中位线性质证明，，进而得到，再证明四边形是平行四边形即可证得结论. 【解答】 证明：点，分别是边，上的中点， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， . 19.（9分）如图，在梯形中，，，是下底上的两点，，连接，．求证：． 【答案】 见解答 【解析】 先证明 AB=CD，从而证出 ，根据全等三角形的性质即可解答； 【解答】 证明： 四边形ABCD是梯形， 过点A作AG DC交BC于点G， 则 四边形ADCG是平行四边形， 即BF=CE, 在 和 中： 20.（10分）如图，在中，、分别是边、的中点，延长至点，使得，连结、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若四边形的面积为，则的面积为__16____ ． 【答案】 【解析】 利用三角形中位线性质解答。 【解答】 （1） 证明：∵、分别是边、的中点， ∴DE∥BC，DE=。 ∵， ∴DE∥CF，且DE=CF ∴四边形CDEF是平行四边形。 (2)解： DE BC， 四边形CDEF与 DBC的高相等， 设四边形CDEF中，CF边上的高为h， 又 CF BC, BC h=CF h=8， 点D为AB的中点， 16. 故答案是：16.  21.(10分) 如图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，且，连接、、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】 见解答 3 【解析】 （1）要证明四边形AECF是平行四边形，观察图形可知，其对角线AC和EF相交于点O，如果能够证明对角线互相平分，即 ， ，即可得证。 （2）要求OC的长，首先观察OC与AC的关系，由(1)问可知O是AC的中点，即 ，因此，可以根据条件求出AC的长，进而得到OC的长。 【解答】 （1）证明： 四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， 四边形AECF是平行四边形。。 （2）解： ， ， ， , 四边形AECF是平行四边形， 22.(10分) 如图，在梯形中，，点在边上，联结，，过点作交的延长线为点，联结． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）延长交于点，如果点为的中点，求证：． 【答案】 见解析 见解析 【解析】 （1）先由等腰梯形的判定与性质得到，然后证明，证明四边形是平行四边形，再由互余关系得到，继而，然后可求证； （2）连接，则为的中位线，得出，然后得到是平行四边形，则，那么． 【解答】 （1）解：证明：在梯形中， 梯形是等腰梯形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：连接， ，点为的中点， 为的中位线， ， ， 是平行四边形， ， ．  23.(10分) 如图，在平行四边形中，连结，于点，于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的面积． 【答案】 见解答 【解析】 （1）由平行四边形的性质得到 AB CD，AB=CD，因此 .由AE BD，CF BD，得到 AE CF，从而证明 （AAS），得到AE=CF，即可得出结论； （2）连结AC交BD于点O，由平行四边形的性质得到 ，由 求出OA，OE，再根据勾股定理求出AE，从而根据 求解即可. 【解答】 （1）证明： 四边形ABCD是矩形， （1）证明： 四边形ABCD是平行四边形， 在 和 中， 四边形AECF是平行四边形. （2）解：如图，连结AC交BD于点O， 四边形ABCD是矩形， 由（1）有四边形AECF是平行四边形， 在Rt 中， 所以 24.（10分）在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． （1）若，，．求的周长； （2）若点恰好是的中点，为外角的平分线，交的延长线于点，求证：． 【答案】 25 见解析 【解析】 （1）证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据三角形中位线定理求出 ，进而求出 ，根据三角形周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形中位线定理得到 ，根据平行线的性质、角平分线的定义、等量代换得到 ，得到 ，根据三角形内角和定理、垂直的定义证明． 【解答】 （1）解：平分 又 (ASA), 是 的中点， 是 的中位线， 的周长 （2）证明：由题意可知，为 的中位线， 平分 25.(12分) 阅读下面的“数学活动报告”，并完成相应的学习任务． 课堂上学习完三角形的中位线后，小丽总结可以通过旋转、剪拼发现三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，并进行了证明验．以下是小丽整理的证明过程： 已知：如图1所示：是的中位线． 求证：，．     证明：延长至，使，连接， 在与中， ，，， ， ，， ， ， ， ∴ 四边形是平行四边形（依据1）， （依据2），， ，． 根据材料，完成下列任务： （1）任务一：填空，依据1  一组对边平行且相等的四边形为平行四边形    、依据2   平行四边形的对边相等     ． （2）任务二：除上述证法外，小丽在整理的过程中发现了另外两种证法： 图2的辅助线作法：延长到，使，连接，得到四边形 图3的辅助线作法：过点作，过点作，与交于点 请选择其中一种辅助线的作法证明， （3）任务三：如图4，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，顺次连接，，，得到四边形，已知则四边形的周长为      ． 【答案】 一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边相等 见解答. 26 【解析】 （1）根据平行四边形的判定和性质解答即可； （2）选择图2：延长DE到F，使EF=ED，连接DC，可得AF得到四边形ADCF，再证明四边形BCFD为平行四边形，可得 DF BC，DF=BC，即可解答；选择图3：过点E作GE AB，过点A作AF//BC，GE与AF交于点F，可得四边形ABGF为平行四边形，再证明 （AAS），可得 ， ，证明四边形ADEF为平行四边形，可得 ，AF=DE，即可； （3）根据题意可得 ，FG ，EF ，GH ，从而得到四边形EFGH的周长为AC+BD，即可解答. 【解答】 （1）一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边相等 （2）(2) 选择图2：延长DE到F，使EF=ED，连接DC，AF 图2 根据题意得：点E为AC的中点，点D为AB的中点， ，AD=BD， 四边形ADCF为平行四边形， 四边形BCFD为平行四边形， 选择图3：过点E作GE AB，过点A作AF//BC，GE与AF交于点F， 四边形ABGF为平行四边形， 根据题意得：点E为AC的中点，点D为AB的中点 四边形ADEF为平行四边形， （3）解：如图，连接AC，BD， ，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， 四边形EFGH的周长为EH+EF+FG+GH= 四边形EFGH的周长为26. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年级下册暑假综合练习 第6章 平行四边形 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）1.根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（        ） A. B. C. D. 2.四边形中，若，则这个四边形是（     ） A.一般梯形 B.等腰梯形    C.直角梯形 D.任意四边形 3.如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（       ） A.种 B.种 C.种 D.种 4.如图，在等腰中，，AD平分，点E为AC的中点，则DE的长等于（ ） A.8 B.6 C.4 D.5 5.平行四边形的三个顶点坐标依次为、、，则第四个顶点的坐标不可能为（        ） A. B. C. D. 6.如图，在四边形中，，对角线、相交于点．请添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列条件正确的是（        ） A. B. C. D. 7.如图，平行四边形的对角线、相交于点，下列结论正确的是（       ） A.平行四边形是轴对称图形 B. C. D. 8.如图，在中，，，，则与间的距离为（       ）     A.5 B.10 C. D.26 9.如图，在中，已知，，，过的中点作，垂足为，与的延长线相交于点，则的面积是（       ） A. B. C. D. 10.如图，的对角线、相交于点，平分，分别交、于点，连接，，，，则下列结论：；；；，正确的是（        ） A. B. C. D. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.已知等腰梯形中，，若，则的外角是________． 12.如图，要测定被池塘隔开的，两点的距离，可以在外选一点，连接、，并分别找出它们的中点、，连接．现测得，则等于________． 13.如图，在中，，，，则的长为________． 14.如图，在梯形中，，，，交于点．如果，，那么的长是    ． 15.如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(6分) A、B、C三点在单位长度为1的直角坐标系内位置如图． （1）在平面直角坐标系中以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，在图中画出所有情况并写出D点坐标； （2）求出你作出的其中一个平行四边形的面积． 17.（6分）如图，在中，点在边上，点在边上，．求证：． 18.（7分）如图，在中，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使，连接CE、AF． 证明：． 19.（9分）如图，在梯形中，，，是下底上的两点，，连接，．求证：． 20.（10分）如图，在中，、分别是边、的中点，延长至点，使得，连结、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若四边形的面积为，则的面积为______ ． 21.(10分) 如图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，且，连接、、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 22.(10分) 如图，在梯形中，，点在边上，联结，，过点作交的延长线为点，联结． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）延长交于点，如果点为的中点，求证：． 23.(10分) 如图，在平行四边形中，连结，于点，于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的面积． 24.（10分）在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． （1）若，，．求的周长； （2）若点恰好是的中点，为外角的平分线，交的延长线于点，求证：． 25.(12分) 阅读下面的“数学活动报告”，并完成相应的学习任务． 课堂上学习完三角形的中位线后，小丽总结可以通过旋转、剪拼发现三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，并进行了证明验．以下是小丽整理的证明过程： 已知：如图1所示：是的中位线． 求证：，．     证明：延长至，使，连接， 在与中， ，，， ， ，， ， ， ， ∴ 四边形是平行四边形（依据1）， （依据2），， ，． 根据材料，完成下列任务： （1）任务一：填空，依据1      、依据2        ． （2）任务二：除上述证法外，小丽在整理的过程中发现了另外两种证法： 图2的辅助线作法：延长到，使，连接，得到四边形 图3的辅助线作法：过点作，过点作，与交于点 请选择其中一种辅助线的作法证明， （3）任务三：如图4，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，顺次连接，，，得到四边形，已知则四边形的周长为      ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $