暑假作业10 平行四边形（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以定义-性质-判定-中位线为逻辑主线，通过“证明抓手”提炼解题方法，覆盖10类中考题型的系统性专项训练 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点模块|4个核心知识点（含性质判定证明抓手）|连对角线证全等、对称性应用、中位线转化|从概念生成到性质推导，再到判定应用的递进逻辑| |题型模块|10类题型（含选择/填空/解答）|性质应用、判定条件添加、中位线测距|题型与知识点精准对应，覆盖高频考点与实际应用，培养推理能力与几何直观|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业10 平行四边形 【知识点1 平行四边形的定义与相关概念】 1. 定义 (1) 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 (2) 记号：平行四边形ABCD记作▱ABCD（读作“平行四边形ABCD”），顶点按顺序（顺/逆时针）书写。 (3) 由定义立刻得到：▱ABCD⇒AB∥CD，AD∥BC 2. 一组重要概念 (1) 对边：不相邻的两条边 (2) 邻边：相邻的两条边 (3) 对角：不相邻的两个内角 (4) 邻角：相邻的两个内角 (5) 对角线：连接不相邻两顶点的线段 【知识点2 平行四边形的性质定理】 1. 边的性质： (1) 对边平行：AB∥CD，AD∥BC (2) 对边相等：AB＝CD，AD＝BC (3) 证明抓手：连对角线AC，用ASA（或AAS）证△ABC≌△CDA。 2. 角的性质： (1) 对角相等：∠A＝∠C，∠B＝∠D (2) 邻角互补：∠A＋∠B＝180° 3. 对角线的性质： (1) 对角线互相平分：若AC、BD相交于O，则AO＝OC，BO＝OD (2) 证明抓手：用对边平行⇒内错角相等⇒△AOB≌△COD（ASA）。 4. 对称性 (1) 平行四边形是中心对称图形，对称中心＝对角线交点O（绕O转180°与自身重合） (2) 不是轴对称图形（一般情形；矩形/菱形/正方形才有轴对称为“特殊情况”） 5. 面积 (1) S＝底×高＝ah (2) “高”＝某条边上任意一点向对边（所在直线）作的垂线段长度 (3) 平行线间的距离处处相等⇒同一底对应的高唯一确定 【知识点3 平行四边形的判定定理】 1. 定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2. 边判定：两组对边分别相等⇒平行四边形，连对角线证全等 3. 边判定：一组对边平行且相等⇒平行四边形，连对角线证全等 4. 角判定：两组对角分别相等⇒平行四边形，结合内角和推平行 5. 对角线判定：对角线互相平分⇒平行四边形，证两组对边平行或相等 【知识点4 三角形中位线定理】 1. 中位线定义 (1) 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段。 (2) 每个三角形有3条中位线。 2. 定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即在△ABC中，若D、E分别是AB、AC中点，则DE∥BC且DE＝BC。 题型01 利用平行四边形的性质求解与证明 1．（2026·山东青岛·二模）如图，中，E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，，则的长是（     ） A．2 B． C． D．2.5 【答案】A 【分析】延长交的延长线于点M，证明，利用线段垂直平分线的性质得出，结合中点定义建立与的数量关系求解． 【详解】解：延长交的延长线于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 2．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，点E在平行四边形的边上，为对角线，平分． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，然后证明即可； （2）先根据平行四边形得到，，即可求出，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解，即可求解的度数，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中， ∴ ∵平分． ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：中，， 又， ， ， ， ， 中， ． 题型02 等腰梯形相关问题 1．（2026·湖南永州·二模）唐代数学家王孝通所撰《缉古算经》记载了古人“筑龙尾堤”．堤截面为如图所示的等腰梯形，原文记“堤头上下广差六尺”（古算称梯形上下边为“上广”“下广”），即该堤截面的“上广”比“下广”多6尺．已知该堤的深度为4尺，则该龙尾堤截面的一侧斜高（即等腰梯形腰长）为______尺． 【答案】5 【分析】过点作，垂足为，再利用勾股定理计算斜边即可． 【详解】如解图，过点作，垂足为， 根据题意可知，，， 在中，（尺）． 2．（25-26八年级下·重庆江津·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动：点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，若运动时，求运动时间的值？ 【答案】的值为或 【分析】本题考查平行四边形和等腰梯形的性质，当，存在两种情况：（1）四边形是平行四边形；（2）四边形是等腰梯形． 【详解】解：由题意可知：，，， 若，分两种情况： ①当四边形是平行四边形时， ， ， 解得：， ②当四边形是等腰梯形时， 过点作于， , , 解得：, 综上所述，当的值为或时，． 题型03 添加条件成为平行四边形 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，符合题意． 2．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）如下图，在四边形中，，添加一个条件________，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据平行四边形的判定方法，可添加条件（或、等，合理即可）． 题型04 证明四边形是平行四边形 1．（2026·北京密云·一模）如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得出，再证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，从而得出，根据，，得出，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． 2．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，证明，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质证明，得到，根据勾股定理求出，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：平行四边形， ， ， ， ， ， 即， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 题型05 利用平行四边形的判定与性质求解 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，平分，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）先推导出，再根据，可证明四边形为平行四边形； （2）先求出，得到，推导出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：， 又， 四边形为平行四边形 （2）解：在中，， 又平分， ， ， 在中，， ， 由（1）知，四边形为平行四边形， ． 2．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知，将沿所在的直线折叠至的位置，连接． (1)直接填空：与的位置关系是_ ； (2)点、分别是线段、上的两个动点（不与点、、重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 【答案】(1)垂直 (2)9 (3)当或或时，是直角三角形 【分析】（1）根据翻折变换的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到结论； （2）根据三角形的面积公式求出的边上的高，根据轴对称变换的性质解答； （3）分、、三种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答． 【详解】（1）解：由翻折变换的性质可知，，， ． ∴与的位置关系是垂直． （2）解：如图，连接，， ，， 是的垂直平分线， ∴点与点关于直线成轴对称， ∴， ∴． ∴的最小值就是的最小值， 即：当、点在上时，取最小值，最小值为的边上的高， 的面积为36，， 的边上的高为， 的最小值为9． （3）解：①如图1，当时，． ∵由翻折变换的性质可知，， ． ， ，， ∴四边形的平行四边形， ， ． ②如图2，由翻折变换的性质可知，当时，． ③如图3，当时， ， ， ， ， ∴当时，． 综上所述，当或或时，是直角三角形． 题型06 利用平行四边形的判定与性质证明 1．（2026·吉林长春·三模）如图，在中，，于点，于点，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③线段与互相平分；④；⑤．其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②⑤ 【分析】证明为等腰直角三角形再结合勾股定理即可判断①；利用平行四边形对角相等，直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②；连接，通过判断四边形是否为平行四边形即可判断③；根据和所满足的条件来判断④；利用平行四边形对边相等，以及等腰直角三角形的性质即可判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接， 根据题目条件无法得出四边形是平行四边形，无法推出线段与互相平分，故③错误； 和仅满足两个角对应相等，没有对应边相等的条件，故无法证明二者全等，故④错误； ∵四边形是平行四边形， ∴， 又，， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①②⑤． 2．（25-26八年级下·全国·期末）如图，E、F是的对角线上两点，且，，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． ，， ，， 在和中，， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2)10 【分析】（1）先证明，得到，再利用一组对边平行且相等即可证明四边形是平行四边形； （2）利用平行四边形的性质得到，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，四边形为平行四边形， ，． ， ， ， ． 题型07 平行四边形的性质和判定的应用 1．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，、两点分别在边、上，且，，则的值为__________． 【答案】 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，结合平行四边形的性质、勾股定理、面积法解题即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点， 则有四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∵， ∴； 由勾股定理可知，， ∴； ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴ ． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，在上，连接． (1)如图1，连接，若平分，，，，求证：平分； (2)如图2，连接，在上，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，是锐角，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证是等边三角形，再证，推出，根据得，等量代换得，即可证明平分； （2）由，，推导出．根据以及三角形外角的性质，证明，即可得出； （3）在左侧构造，使得，在直线上，通过（2）中的条件和结论，先利用全等三角形说明，再利用（3）中的条件进行角度代换，通过等角对等边说明，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：中，，， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ， 中，，， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）证明：， ， 又， ． ，， ， ， ， ， 又， ， ； （3）解：如图，在左侧构造，使得，在直线上，连接，作，， 由作法，可知，，，，， 又由（2），得，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∵，， 又， ∴，即， 解得． 题型08 与三角形中位线有关的求解问题 1．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，的周长为36，对角线，相交于点，点是的中点，，则的周长为（   ）． A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质和三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据平行四边形对角线互相平分，结合点是的中点可得是的中位线，利用三角形中位线的性质，结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】在中，， ∵点是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵的周长为36， ∴， ∴的周长为：． 2．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，D、E分别是、的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用三角形中位线的性质求解即可； （2）根据三角形中位线的性质以及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． （2）解：∵是的中位线， ∴， ∴． 题型09 与三角形中位线有关的证明 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）在四边形中，，分别是，的中点， (1)如图1，当时，求证： (2)如图2，当不平行于时，求证：． 【答案】(1)证明：连接并延长，交的延长线于点G，如图所示： ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． (2)证明：连接，取的中点G，连接，，如图所示： ∵，，G分别是，，的中点， ∴，，，， ∴， ∵与不平行， ∴B、G、F三个点一定不在同一直线上， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）连接并延长，交的延长线于点G，证明，得出，，根据中位线的性质得出，即可得出结论； （2）连接，取的中点G，连接，，根据三角形中位线的性质得出，，，，即可得出，根据两点之间线段最短得出，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26八年级下·海南海口·期中）综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离_米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)与互相平分，证明见解析 【分析】（1）选择方法一：延长到点F，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明四边形是平行四边形，得出，，即可证明结论； 选择方法二：取中点G，连接并延长到点F，使，连接，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，； （2）直接根据中位线性质进行求解即可； （3）连接，，证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）解：选择方法一： 如图，延长到点F，使，连接，，， ∵E是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即，且； 选择方法二： 如图，取中点G，连接并延长到点F，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； （2）解：∵D、E分别为，的中点， ∴， ∵的长度为12米， ∴米； （3）解：与互相平分；理由如下： 如图，连接，， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴D、E、F分别是、、的中点， ∴，且， 又， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 题型10 三角形中位线的实际应用 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，A、B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点M和N．如果测得，则A，B两点间的距离为______m． 【答案】 【分析】先理解题意，得出是的中位线，再根据中位线的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点M和N分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵ ∴． 2．（25-26八年级下·上海金山·期中）阅读材料： 金山区某中学数学兴趣小组，在《23.4（1）三角形的中位线与重心》一课的学习后，对中位线定理的证明产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究． 已知：如图（1），在中，、分别是、的中点． 求证：，且． 下面是几位同学的探究过程： 甲：过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． 乙：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． 丙：延长至点，使，连接、、．        丁：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． (1)任务一：四位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有__________（填人名） (2)任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整． (3)任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现、两地被某人工湖隔开，由于只有工具：一把皮尺（测量长度略小于），某同学提出方案“我们可以在与平行的人行步道上的点、处作好标记，通过皮尺找到与的中点、，通过皮尺测量，的长度，就可以估算出、两点间的距离了”．若测得，，请直接写出、两点间的距离．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)甲乙丙丁 (2)选择甲（或乙或丙或丁）；证明见解析 (3)、两点间的距离为 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质结合全等三角形的判定与性质即可判断； （2）甲：先证明四边形是平行四边形，再证明，然后证明四边形是平行四边形即可；乙：证明，，再证明四边形是平行四边形即可；丙：先证明，再证明四边形是平行四边形即可；丁：根据中点坐标公式得到，的坐标，然后根据点的坐标特征即可判定； （3）连接并延长，交延长线于点，证明，得到是的中位线，根据中位线的性质即可得解． 【详解】（1）解：甲乙丙丁； （2）解：选择甲； 过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 、分别是、的中点， ，， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，； 选择乙； 证明：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． ． 是的中点， ， 在和中， ， ， ，． 同理，，，， ， ，． ，． ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，； 选择丙； 证明：延长至点，使，连接、、． 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ； 选择丁； 证明：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． ， 、分别是、的中点， ，， ，； （3）解：如图，连接并延长，交延长线于点， 点是的中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ，，即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ，即， ， 即、两点间的距离为． 1．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）在如图所示的平行四边形中，P在边上移动（不与端点重合），连接，，则下列不为定值的是（     ） A． B． C．的面积 D．面积与面积之和 【答案】A 【详解】解：∵，的值无法确定， ∴不是定值， 故选项A符合题意； ∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴，即是定值， 故选项B不合题意； 过作于， ∴，， ∴， 即的面积是定值， 故选项C不合题意； ∵， ∴面积与面积之和是定值， 故选项D不合题意； 2．（25-26八年级下·湖北·期中）如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】延长交于点，先证明，得出，，求出，再证明是的中位线，即可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴． 3．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，，，为的中点，，则的面积为（   ） A．12 B．14 C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，推出，利用等边对等角结合三角形的内角和定理求出，勾股定理求出的长，进而求出的长，根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ， ，，， 为的中点， ， ，， ， ， ， ， ． 4．（25-26八年级下·浙江·阶段检测）如图，在中，，是上一点，的周长是周长的一半，且，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为四边形是平行四边形，所以，由的周长是周长的一半，可得，所以是线段的垂直平分线，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长是周长的一半， ∴的周长， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 5．（21-22九年级上·河南新乡·阶段检测）如图是的中位线，平分交于点，若，，则_____ ． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理可得，，；再结合角平分线的定义与平行线的内错角相等，可推出，进而得到，最后通过线段差求出的长度． 【详解】解：是的中位线， ，，， ， 又平分， ， ， ， ． 6．（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，中，，，，，，则平行四边形的面积 ________． 【答案】 【分析】由直角三角形的性质可得，由平行四边形的性质可得，，，再由直角三角形的性质可得，从而求出，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·全国·期末）如图，的周长为8，对角线，交于点M，延长到点E，使，连接，过点作于点，连接，则_________． 【答案】2 【分析】根据平行四边形的性质得出，进而利用等腰三角形的性质得出，进而利用三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为8， ， ， ∴是等腰三角形， ， ， ∴是的中位线， ． 8．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，交于点H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形，都是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·浙江·阶段检测）如图，在中，对角线、相交于点，点、在线段上，且，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积等于，求的面积． 【答案】(1)证明：的对角线，相交于点， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； (2)12． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）由题意可知，根据等高三角形面积比等于底之比作答即可． 【详解】（1）略； （2）解：， ， ， ， ， 的面积． 10．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称． (1)求直线的表达式及C点坐标； (2)将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据对称可得，设直线的解析式为： ，代入即可求解； （2）根据题意得平移后解析式为：；再得点，即可求得直线解析式为：，根据A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形可得 ，即可求解. 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ∵直线与直线关于y轴对称， ∴点与点A关于y轴对称， ∴， ∵直线过点与点B，设直线的解析式为：， ∴ ，解得， ∴直线的解析式为： ； （2）解：存在 ∵直线向右平移8个单位后与直线交于点D， ∴平移后解析式为：， ∵平移后的解析式与直线交于点D， ∴，解得， ∴点， 设直线解析式为：， ∴，解得， ∴直线解析式为：， ∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形，E为直线上一动点，F为y轴上一动点， ∴ ， 设，则 ， ∴ ，解得：， ∴或. 1．（2026·天津河西·一模）如图，在平行四边形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，若点恰为的中点，则下列结论一定错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由作图方法可知垂直平分，则，根据线段中点的定义可推出，再由平行四边形的性质和已知条件可证明，则可证明是等边三角形，得到，由平行四边形的性质和平行线的性质可推出，据此可判断D；由等边对等角和三角形外角的性质可证明，据此可判断B；证明是等边三角形，得到， 进而可证明，据此可判断A、C． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可知垂直平分， ∴， ∵点恰为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故D选项中的结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B选项中的结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，故C选项中的结论错误，符合题意； ∴， ∴， ∴，故A选项中的结论正确，不符合题意． 2．（2026·山西临汾·三模）如图，在四边形中，与相交于点，，，．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】利用平行线的性质和已知条件证明，结合三角形全等的性质求出长度，根据勾股定理即可求出长度，从而求出长度，再利用勾股定理求出长度，即可求出长度，利用等量代换即可求出长度． 【详解】解：过点B作交于点，如图所示． ， ，， ， ， ，，． ， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线的解析式为：，分别交轴，轴于点， (1)直接写出点，的坐标； (2)如图，过点的直线与轴交于点，与直线交于点，且，求点的坐标；（温馨提示：若思考有困难，可尝试通过平移直线，求出直线的解析式，进而求出点的坐标．） (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）如果求x轴上点B的坐标，那么令直线解析式中求解x；如果求y轴上点C的坐标，那么令直线解析式中求解y． （2）过点O作，交于点F，作于点G，设（），可得，面积法求得，由勾股定理求得，得，，得，得，由，得，得，，得，得直线的解析式，得直线解析式，联立，解得，即得． （3）因为平行四边形的顶点顺序不固定，所以分为边、为对角线两种情况，结合平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分的性质，设G、F的坐标，根据坐标关系列方程求解点F坐标． 【详解】（1）解：∵x轴上点纵坐标为， ∴代入，得， 解得， 故； ∵y轴上点横坐标为， ∴代入得， ∴． 故． （2）解：过点O作，交于点H，作于点I，设（）， 则， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边与的边上的高相等， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设直线解析式为， 代入，得， 解得， ∴， 联立， 解得， ∴． （3）解：存在或． 由（1）、（2）知，直线解析式为，，． 设，， ∵以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为边时， 向上平移，使点B落在y轴上的点，点D落在直线上的点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴； 向下平移，使点D落在y轴上的点，点B落在直线上的点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴； 当对角线时，取的中点P，过P作直线交y轴于点，交直线于点，使，连接， 则四边形是平行四边形， 由中点坐标公式得， 解得， ∴． 综上，存在满足条件的点，坐标为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 恩恩恩 暑假作业10平行四边形 知识复盘卡 【知识点1平行四边形的定义与相关概念】 1.定义 (1)平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 (2)记号：平行四边形ABCD记作。ABCD(读作“平行四边形ABCD”),顶点按顺序（顺/逆时针） 书写。 (3)由定义立刻得到：。ABCD=ABIICD,ADI‖BC 2. 一组重要概念 (1)对边：不相邻的两条边 (2)邻边：相邻的两条边 (3)对角：不相邻的两个内角 (4邻角：相邻的两个内角 (⑤)对角线：连接不相邻两顶点的线段 【知识点2平行四边形的性质定理】 1.边的性质： (I)对边平行：ABIICD,ADIBC (2)对边相等：AB=CD,AD=BC (3)证明抓手：连对角线AC,用ASA(或AAS)证△ABC≌△CDA。 2. 角的性质： (1)对角相等：∠A=∠C,∠B=∠D 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)邻角互补：∠A+∠B=1809 3. 对角线的性质： (1)对角线互相平分：若AC、BD相交于O,则AO=OC,BO=OD (2)证明抓手：用对边平行→内错角相等一△AOB≌△COD(ASA)。 4. 对称性 (1)平行四边形是中心对称图形，对称中心=对角线交点0（绕O转180°与自身重合） (2)不是轴对称图形（一般情形；矩形菱形正方形才有轴对称为“特殊情况”） 5. 面积 (1)S=底高=ah (②)“高”=某条边上任意一点向对边（所在直线）作的垂线段长度 (3) 平行线间的距离处处相等一同一底对应的高唯一确定 【知识点3平行四边形的判定定理】 1. 定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2.边判定：两组对边分别相等一平行四边形，连对角线证全等 3. 边判定：一组对边平行且相等一平行四边形，连对角线证全等 4. 角判定：两组对角分别相等=平行四边形，结合内角和推平行 5. 对角线判定：对角线互相平分一平行四边形，证两组对边平行或相等 【知识点4三角形中位线定理】 1. 中位线定义 (①)三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段。 (2)每个三角形有3条中位线。 2.定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即在△ABC中，若D、E分别是AB、 AC中点，则DEBC且DE=BC。 D 培优拓展训练 ★7巩固提升练 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型01利用平行四边形的性质求解与证明 1.(2026山东青岛·二模)如图，口ABCD中，E,F分别是AD,AB边上的中点，连接EF,CE,CF.若 △CEF是等腰直角三角形，∠CEF=90°，CF=3,则AB的长是() B A.2 B.25 C.2√2 D.2.5 2.(25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测)如图，点E在平行四边形ABCD的边BC上，AC为对角线， AE平分∠BAD. B E (I)求证：BE=CD. (2)若LEAC=20°，LB+∠D=80°，求∠ACD的度数. 题型02等腰梯新形相关问题 1.(2026湖南永州二模)唐代数学家王孝通所撰《缉古算经》记载了古人“筑龙尾堤”.堤截面为如图所 示的等腰梯形，原文记“堤头上下广差六尺”（古算称梯形上下边为“上广“下广”），即该堤截面的“上广” 比“下广”多6尺.已知该堤的深度为4尺，则该龙尾堤截面的一侧斜高（即等腰梯形腰长）为尺. 上广 斜高 下 2.(25-26八年级下·重庆江津·期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=8cm, AD=24cm,BC=26cm,点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动：点Q从点C同时出发，以 3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，若运动s时 PQ=CD,求运动时间t的值？ 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型03添加条件成为平行四边形 1.(25-26八年级下·北京期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,下列条件能判 定四边形ABCD为平行四边形的是() B A.∠ABC=∠ADC B.AC=BD C.AC⊥BD D.OA=OC,OB=OD 2.(25-26八年级下·甘肃平凉期中)如下图，在四边形ABCD中，AB=CD,添加一个条件， 使 四边形ABCD是平行四边形.（不需作其它辅助线） A 题型04证明四边形是平行四边形 1.(2026北京密云：一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，点D是AC边上一点，且AD=BD,过点C 作DB的平行线，与过点B所作的BC边的垂线相交于点E, A (1)求证：四边形BDCE是平行四边形： (2)若AC=2BC,AC=8,求CE的长. 2.(23-24八年级下，湖南娄底·开学考试)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点， 且LABE=∠CDF. E (1)求证：四边形BEDF是平行四边形： (2)连接CE,若CE平分∠DCB,DF⊥BC,DF=4,DE=5,求平行四边形ABCD的周长. / 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型05利用平行四边形的判定与性质求解 1.(25-26八年级上湖南长沙期中)如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上， AE∥DC. E (I)求证：四边形AECD为平行四边形； (2)若∠B=30°，AE平分∠BAC,BE=4,求四边形AECD的周长. 2.(25-26七年级下·山东青岛阶段检测)如图，已知△ABC≌△CDA,将ABC沿AC所在的直线折叠 至ABC的位置，连接BB'. B 备用图1 备用图2 (I)直接填空：BB与AC的位置关系是； (2)点P、Q分别是线段AC、BC上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知△BB'C的面积为36， BC=8,求PB+PQ的最小值； (3)试探索：ABC的内角满足什么条件时，△AB'E是直角三角形？ 题型06利用平行四边形的判定与性质证明 1.(2026吉林长春·三模)如图，在口ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于点E,BF⊥CD于点F,DE ,BF相交于H,延长BF交AD的延长线于点G.下列结论：①BD=√2BE;②∠A=∠BHE;③线段 BG与CD互相平分；④△BCF≌△DCE;⑤DE+EC=AD.其中正确的结论有 (填序号)· D G B 2.(25-26八年级下·全国期末)如图，E、F是口ABCD的对角线BD上两点，且AE⊥BD,CF⊥BD, 连接AF、CE。 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求证：四边形AECF为平行四边形： (2)若AE=4,EF=6,求AC的长. 题型07平行四边形的性质和判定的应用 1.(25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测)如图，在ABC中，AB=4V2,，AC=6,M、N两点分别在 边AC、AB上，且CN=BM,∠ANC=45°，则ON-OM的值为 M B C 2.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图，在口ABCD中，E在BC上，连接AE. B E B B E 图1 图2 图3 (I)如图1，连接DE,若AE平分∠BAD,LB=60°，AE=12,AD=24,求证：DE平分∠ADC; (2)如图2，连接AC,F在AC上，若LABC=2LCEF,LBAC=LAEB,求证：AE=AF; (3)如图3，在(2)的条件下，连接BF,若3LABF+2LCBF=180°，AB=10,BF=13,∠BAF是锐 角，求线段BE的长. 题型08与三角形中位线有关的求解问题 1.(25-26八年级下·天津滨海新区·期中)如图，口ABCD的周长为36，对角线AC,BD相交于点0，点 E是CD的中点，BD=12,则△DOE的周长为(). A.14 B.15 C.16 D.17 2.(25-26九年级下·河南驻马店期中)如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)若BC=6cm,求DE的长； (2)若LB=50°，求∠ADE的度数. 题型09与三角形中位线有关的正明 1.(25-26八年级下·上海阶段检测)在四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点， 图1 图2 (I)如图1，当AD∥BC时，求证：AD+BC=2EF (2)如图2，当AD不平行于BC时，求证：AD+BC>2EF. 2.(25-26八年级下.海南海口·期中)综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，DE是ABC的中位线，则DE∥BC, 且DE=BC. 2 B G B池塘○ 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 【回顾证法】 (I)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长DE到点F, 使EF=DE,连接FC,DC,AF.如图③，取BC中点G,连接GE并延长到点F,使EF=GE,连接 AF.请你选择其中一种证法，继续完成证明过程. 【实践应用】 (2)如图④，B,C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B,C间的 距离：先在池塘外选一点A,连接AB,AC,然后测出AB,AC的中点D,E,并测出DE的长度为I2 米，则B,C两点间的距离米 【深入探究】 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图⑤，DE是ABC的中位线，AF是BC边上的中线.DE与AF是否互相平分？请证明你的结论. 题型10三角形中位线的实际应用 1.（25-26八年级下·北京·期中)如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C,连接AC和BC,并分 别找出它们的中点M和N.如果测得MN=I5m，则A,B两点间的距离为m. M B 2.（25-26八年级下·上海金山期中)阅读材料： 金山区某中学数学兴趣小组，在《23.4(1)三角形的中位线与重心》一课的学习后，对中位线定理的证 明产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究， D B 已知：如图(1)，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点. 求证：DE∥BC,且DE=BC, 2 下面是几位同学的探究过程： 甲：过点E作EG∥AB,交BC于点G,过点A作BC的平行线交GE的延长线于点F. 乙：连接BE,CD,过点A作AF⊥DE,垂足为F,分别过点B、C作BG⊥DE,CH⊥DE,交ED、 DE延长线于点G、H. 丙：延长DE至点F,使EF=DE,连接FC、DC、AF. A(,) D G D D (,0) 甲 乙 丙 丁：以点B为原点建立平面直角坐标系，设点A的坐标为x,),点C的坐标为(x2,0) ()任务一：四位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有 (填人名) (②)任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现B、C两地被某人工湖隔开，由 于只有工具：一把皮尺（测量长度略小于BC),某同学提出方案“我们可以在与BC平行的人行步道上 的点A、D处作好标记，通过皮尺找到AB与DC的中点M、N,通过皮尺测量AD,MN的长度，就 可以估算出B、C两点间的距离了”.若测得AD=m,MN=n,请直接写出B、C两点间的距离.（用 含m、的代数式表示) ★能力培优练 1.(25-26八年级下·安徽毫州阶段检测)在如图所示的平行四边形ABCD中，P在BC边上移动（不与端 点重合)，连接PA,PD,则下列不为定值的是() ×0 B A.PA+PD B.∠1+∠2+∠3+∠4 C.△PAD的面积 D.△PAB面积与△PCD面积之和 2.(25-26八年级下·湖北期中)如图，在ABC中，D是AB的中点，CE平分∠ACB,AE⊥CE,垂足 为E,连接DE.若AC=14,BC=20,则DE的长是() B D A.3 B.4 C.5 D.6 3.(2026安徽芜湖二模)如图，在口ABCD中，AB=3,BD=2V13,E为BC的中点，AD=2AE,则 口ABCD的面积为() A.12 B.14 C.313 D.413 4.(25-26八年级下·浙江阶段检测)如图，在口ABCD中，AC=8,E是AD上一点，△DCE的周长是 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 oABCD周长的一半，且EC=5,连接EO,则EO的长为() A D B A.3 B.5 C.25 D.√7 5,(21-22九年级上·河南新乡·阶段检测)如图EF是ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D,若 AB=4,BC=6,则DF=—· B 6.(25-26八年级下.四川内江·期中)如图，口ABCD中，AE⊥BD,AC⊥CD,∠ABE=30°，AE=2cm, AC+BD=16cm,则平行四边形ABCD的面积 cm2. D B 7.(25-26八年级下.全国期末)如图，口ABCD的周长为8，对角线AC,BD交于点M,延长AB到点E, 使BE=BC,连接EC,过点B作BN⊥EC于点N,连接MN,则MN= D B N 8.(25-26八年级下·浙江金华期中)如图，在口ABCD中，点E,F分别在BA,DC的延长线上，且 BE=DF,连接AF,交BC于点H,连接EC. B (I)求证：四边形EAFC是平行四边形； 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若LE=∠D=65°，求∠AHB的度数 9.(25-26八年级下·浙江阶段检测)如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，点E、F在线 段BD上，且BE=EF=DF,连接AE、CE、AF、CF. D (1)求证：四边形AECF是平行四边形 (2)若△AEO的面积等于1，求。ABCD的面积. 10.(25-26八年级下陕西西安期中)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+6与x轴交于点A,与y 轴交于点B,直线BC与直线AB关于y轴对称 D (I)求直线BC的表达式及C点坐标； (2)将直线BC向右平移8个单位后与直线AB交于点D,E为直线CD上一动点，F为y轴上一动点，是 否存在点E和点F,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形？若存在，求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由 ★7创新拓展练 1.(2026天津河西一模)如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB,连接AC,分别以点A,C为圆心， 大于)AC的长为半径作弧，两弧交于点E,F,作直线EF,交AD于点M,交BC于点N,若点M恰 为AD的中点，则下列结论一定错误的是() A.MN=BNB.∠ABC=2∠CADC.AD=V3MN D.∠BAD=120° 2.(2026山西临汾·三模)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点0，AC=BD,B0=OD, ∠DAC=90°.若AB=2,AD=1,则AC的长为 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 3.(25-26八年级下·湖北武汉阶段检测)在平面直角坐标系中，直线BC的解析式为：y=0.5x-2,分别 交x轴，y轴于点B,C. B A A ED E D C C 备用图 (I)直接写出点B,C的坐标： (②)如图，过点A(-1,O的直线AD与y轴交于点E,与直线BC交于点D,且LECD=∠EDC,求点D的 坐标；（温馨提示：若思考有困难，可尝试通过平移直线AD,求出直线AD的解析式，进而求出点D 的坐标.) (3)在(2)的条件下，若点G是直线AD上的动点，在y轴上是否存在点F,使以点B,D,F,G为 顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.