3.3 幂函数（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦幂函数的定义、图像及性质，以“幂字文化”导入，结合数学史与已有函数知识，通过对比指数函数构建学习支架，帮助学生精准理解幂函数特征。 其亮点在于通过互动探究、分层典例及“学海拾贝”小结，培养数学眼光（观察图像规律）、数学思维（推理性质应用）。如结合图像归纳第一象限变化口诀，通过对比辨析幂函数与指数函数，助力学生深化理解，也为教师提供清晰教学路径。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数 学 习 目 标 1 2 3 理解幂函数的定义，精准掌握幂函数的解析式形式y= (α∈R)，能够准确区分幂函数与指数函数，熟练辨别各类变式函数是否为幂函数。 掌握五种常见幂函数的定义域、值域、图像、奇偶性和单调性，熟记幂函数恒过定点(1,1)的核心特征。 归纳掌握第一象限内幂函数的图像变化规律与单调性法则，能够利用幂函数的性质比较幂值大小、求解简单的幂函数不等式，解决基础图像辨析问题。 新课引入 1、“幂”字文化 思考 ：看到”幂”这个字，你会想到什么？ “幂”的字典释义：覆盖、遮盖 - 数学史：徐光启先生对”幂”的描述 : 从 （n 个 a 相乘）到”幂函数”的过渡 我们知道幂是什么，也知道函数是什么，那幂函数是什么？ 目标一：幂函数定义 互动探究 观察特征 序号 生活情境 函数关系式 函数类型 1 张红购买每千克1元的蔬菜 千克，需支付 元 2 正方形边长为 ，面积为 3 立方体边长为 ，体积为 4 正方形场地面积为 ，边长为 5 秒内骑车行进1 km，平均速度为 写出函数关系式 这5个解析式有什么共同特征？ 归纳共性：底数为自变量，指数为常数，系数为1 知识讲解 幂函数 幂函数定义 实际上，这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是 1，2，3，，-1；它们都是形如 y= 的函数。 形如 的函数叫做幂函数， 其中： 1. x 是自变量； 2. α 为常数（实数，可为整数、分数、正负小数）； 3. 核心判定标准： x 底数，指数为常数； x 前系数必须为 1； 无额外常数项、一次项。 举例区分 ✅ 是幂函数：y=x、 ❌ 不是幂函数： y=2（系数不为1）、y=+1（多加常数）、（底数常数，指数变量，是指数函数） 对于幂函数，我们只研究 α=1,2,3,,-1 时的图象与性质。 幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当它们取其他实数时幂也具有各自的含义，这些会在后面学习。 典例分析 类型一、幂函数概念 例1 判断下列函数哪几个是幂函数？ （1） 自变量位置，系数，指数，项的个数。根据这些指标判断和计算。 典例分析 类型一、幂函数概念 正比例 例2 反比例 已知函数 f(x，m 为何值时，f(x) 是： 正比例函数？反比例函数？二次函数？幂函数？ 本题系统地把以前学过的函数的结构特点都复习到，小题考查的知识含量不少。 (1) 正比例函数 正比例函数形如 y=kx，k≠0。所以：+m-1=1，+m-2=0，m=1 或 m=-2 当 m=-2 时，系数 +2m=0，不符合正比例函数。因此：m=1 (2) 反比例函数，反比例函数形如 ，k≠0。 所以：+m-1=-1，+m=0，m=0 "或" m=-1 当 m=0 时，系数 +2m=0，不符合。 因此：m=-1 典例分析 类型一、幂函数概念 二次 例2 幂函数 已知函数 f(x，m 为何值时，f(x) 是： 正比例函数？反比例函数？二次函数？幂函数？ 本题系统地把以前学过的函数的结构特点都复习到，小题考查的知识含量不少。 (3) 二次函数，二次函数要求指数为 2，且系数不为 0。+m-1=2，+m-3=0，m，且此时系数 +2m≠0，两个都满足。因此： (4) 幂函数，幂函数要求系数为 1：+2m=1，+2m-1=0，m=-1±，因此： 目标二：幂函数图象 互动探究 观察特征 图象特征 指数范围 定点 单调性 凹凸性 补充特征 、 单调递增 向下凸（凹函数） 时图像在上方；时在下方 、 单调递增 向上凸（凸函数） 时图像在下方；时在上方 仅过，不过原点 单调递减 无统一凹凸规律 定义域不含，图像无限靠近坐标轴但不相交 𝒚=和 的图象 通用整体规律 所有幂函数在第一象限必有图像，恒过定点(1,1)； α>0：在(0,+∞)递增，过原点；α<0：在(0,+∞)递减，不过原点； 图像不会出现在第四象限； 第一象限口诀：x>1，指大图高；0<x<1，指大图低。 典例分析 幂函数图象 例1 如图是幂函数 解：函数 y= 的图象对应关系答案：B 理由：在 0<x<1 内，幂函数指数 n 越小，函数值越大，因此曲线从高到低对应指数依次为 -2,-,2， 典例分析 幂函数图象 例2 若幂函数 y= 与 y=在第一象限的图象如图 所示，则 m 与 n 的取值情况为 A. -1<m<0<n<1 B. -1<n<m<0 C. -1<m<0<n D. -1<n<0<m<1 理由：以 为参考，另一条递减曲线且比反比例“平缓”的指数在 (-1,0)，即 m∈(-1,0)；另一条递增且上凸的指数在 (0,1)，即 n∈(0,1)。故 -1<m<0<n<1， A。 典例分析 幂函数图象 A 例3 C D 已知 f(x)=,g(x)=，则下列说法正确的是 A. 当 x∈(0,+∞) 时，恒有 f(x)≥g(x) B. f(x) 与 g(x) 的图象仅有一个交点 C. 当 x∈(0,1) 时，f(x) 的图象在 g(x) 的图象下方 D. 存在 ∈(1,+∞)，使得 f( )=g( ) 关于 f(x)=, g(x)= 的说法 B 解：A 错：0<x<1 时，<，不恒成立。 B 错（若定义域为 R）：两图象交于 (0,0) 和 (1,1)，不止一个交点。 C 对：x∈(0,1) 时，，故 f(x) 在 g(x) 下方。 D 错：x>1 时，，不存在相等点。 目标三：幂函数的性质 互动探究 幂函数的性质 观察函数图象并结合函数解析式，将你发现的结论写在下表内。   图 像 定义域           值 域           奇偶性           单调性           公共点           项目 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 减； 增 增 增 减； 减 （1）函数 y=x，y=，y=，和 的图象都通过点 (1,1)； （2）函数 y=x，y=，是奇函数，函数 y= 是偶函数； （3）在区间 (0,+∞) 上，函数 y=x，y=，y=，单调递增，函数 单调递减； （4）在第一象限内，函数 的图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。 典例分析 类型三、单调性 单调性 例1 选择 已知幂函数 f(x) 满足： ① 函数图象不经过原点； ② 写出符合上述条件的一个函数解析式：________ 有的单调性是明的，有的是暗的，单调性是有代替定义的。 解答： 条件②说明函数在 (0,+∞) 上单调递减。 幂函数 f(x)= 单调递减需 n<0，且不经过原点（n<0 时定义域不含0）。例如 f(x)=或 f(x)=等。 答案： f(x)=（等，答案不唯一） 典例分析 类型三、单调性 (1) 例2 (2) 已知幂函数 f(x的图象过点 (-m,n)。 (1) 求实数 n 的值 (2) 设函数 g(x)=，用定义证明 g(x) 在 (0,1) 上单调递减 解答： 幂函数要求系数为1，即 -1=1，解得 m=±。 若 m=：点 (-,n) 不在定义域内，舍去。 若 m=-：f(x)=，点 (,n) 在定义域内。 (2) 设函数 g(x)=，用定义证明 g(x) 在 (0,1) 上单调递减 步骤1：设元 任 步骤2：作差 步骤3：判断每一部分符号 即 当 时，， 所以 在 上单调递减。 典例分析 类型四、奇偶性 例1 已知幂函数 (m∈Z) 的图象与 x 轴和 y 轴都没有交点，且关于 y 轴对称，则 m 的值可以为 ( ) A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 解答： 与坐标轴无交点：指数 <0（此时 x=0 无定义，且 y≠0） 关于 y 轴对称：指数为偶数 -2m-3=(m-3)(m+1)<0，即 -1<m<3，整数 m∈{0,1,2}。 m=0：指数 =-3（奇数）✗ m=1：指数 =1-2-3=-4（偶数）✓ m=2：指数 =4-4-3=-3（奇数）✗ 答案：B. 1 典例分析 类型五、奇偶性和单调性综合 例1 已知幂函数 f(x (m∈Z) 的图象关于 y 轴对称，且在 (0,+∞) 上是增函数。 (1) 求 m 和 k 的值 解答： 幂函数：-4k+5=1，k=2。 关于 y 轴对称：指数为偶数。 在 (0,+∞) 递增：指数 >0。 -+4m>0，0<m<4。 整数 m∈{1,2,3}： m=1：指数 =-4+8=4（偶数） 答案：m=2,k=2，f(x)= 典例分析 类型五、奇偶性和单调性综合 例1 已知幂函数 f(x (m∈Z) 的图象关于 y 轴对称，且在 (0,+∞) 上是增函数。 (2) 求满足 的实数 a 的取值范围 解答： ，不等式为 ，即 。 移项：，， 即 用穿针引线法求得 答案： a∈(-2,)∪(3,+∞) 目标四：针对训练 举一反三 1.已知函数 是幂函数，则 m 的值为（ ） A. -1 B. 2 C. -1 或 2 D. 0 举一反三 3.设函数 y=f(x)，则”该函数的图象过点 (1,1)“是”该函数为幂函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：“图象过点 (1,1)” 是 “函数为幂函数” 的什么条件？ 幂函数一定过 (1,1)，但过 (1,1) 的函数不一定是幂函数，如 y=2x-1。 所以是 必要不充分条件，选 B。 举一反三 4.幂函数 y在 (0,+∞) 上为减函数，则 m=( ) A. -1 B. 2 C. 2 或 -1 D. 1 举一反三 5. 举一反三 6.若幂函数 f(x)= 的图象过点 )，且 f(a+2)<f(2a)，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (-∞,2) B. (2,+∞) C. (-2,2) D. (-2,+∞) 举一反三 7.已知 a,b,c,d∈R，函数 f(x)=+cx+d，x∈[a,c] 是奇函数，则 f(1) 的值 ( ) 解答： 奇函数定义域关于原点对称，故 a=-c，即 c=-a。 奇函数满足 f(-x)=-f(x)， 答案：D. 为 0 举一反三 8.已知幂函数 f(x)=，则使得 f(x) 为奇函数，且在 (0,+∞) 上单调递增的 k 的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 解答： 指数 =3+2k-1=2+2k=2(k+1)（注意 =1） 这是偶数！f(x)= 是偶函数，不可能是奇函数。 答案：A. 0 目标五：小结 学海拾贝 一、核心知识梳理 1. 幂函数的定义 一般地，形如y=（x为自变量，α为常数，α∈R）的函数叫做幂函数。 核心要点：幂函数的底数是自变量x，指数为固定常数，系数必须为1，这是判断幂函数的核心依据，区别于指数函数（底数为常数、指数为自变量）。 2. 常见幂函数的图像与性质 高中阶段重点掌握5类基础幂函数：y=x、y=、y=、、，其共性与特性如下： 定点共性：所有幂函数在(0,+∞)上都有定义，且图像恒过定点(1,1)；若幂函数为奇函数或偶函数，图像必过原点(0,0)（负指数幂函数除外）。 学海拾贝 单调性规律：在第一象限内，当α>0时，幂函数单调递增；当α<0时，幂函数单调递减。 奇偶性规律：指数为整数时，指数为奇数则函数为奇函数，指数为偶数则函数为偶函数；指数为分数时，需化简根式后根据定义域和奇偶性定义判断。 定义域差异：正整数指数幂定义域为R；分数指数幂需保证根式有意义；负指数幂需保证分母不为0，定义域均不含x=0。 学海拾贝 3. 第一象限图像变化规律 在第一象限内，幂函数图像随指数α大小变化呈现固定规律：α越大，图像在x>1区域越靠上，在0<x<1区域越靠下；可概括为“x>1，指大图高；0<x<1，指大图低”。 二、重点注意事项（易错点汇总） 1. 定义判断易错点 严格区分幂函数与形似函数：只有y=（系数为1）才是幂函数，如y=2、y=-、y=+1均不是幂函数，避免因系数、常数项干扰判断。 学海拾贝 2. 定义域求解易错点 求解幂函数定义域时，必须先统一化为根式形式再分析： 3. 单调性应用易错点 幂函数的单调性仅在第一象限有统一规律，整体单调性不能一概而论。对于含奇偶性的幂函数，需结合定义域和奇偶性，由第一象限性质推导第二、三象限的单调性，不可直接套用第一象限规律。同时利用单调性比较幂值大小时，必须保证两个数值在同一单调区间内。 4. 奇偶性判断易错点 判断奇偶性优先看定义域，若定义域不关于原点对称，函数直接为非奇非偶函数；定义域对称的前提下，再根据f(-x)与f(x)的关系判断，尤其注意分数指数幂函数，不能仅通过指数奇偶性片面判定。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $