数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册19《第5章走进几何世界第3节转化表达》预习讲义

数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册19 《第5章走进几何世界第3节转化表达》预习讲义 一．预习目标 ( 1.理解立体图形 → 平面图形的相互转化，能辨认圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、棱锥的平面展开图与直观图。 2.掌握正方体、长方体展开与折叠规律，能快速判断对面相邻面，还原立体图形。 3.体会数形转化思想，能利用图形规律计算连续奇数求和问题，建立数与形的关联。 4.能规范画出简单几何体平面直观图，会根据展开图判断折叠后的空间几何体。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.常见柱体、锥体的展开与折叠，立体图形和平面图形互相转化。 2.正方体展开图类型、相对面快速判断方法。 3.从1开始连续奇数求和的数形规律应用。 （二） 难点 1.复杂展开图还原立体图形，区分相邻面、相对面。 2.深度理解数形结合转化思想，用图形规律解决数字运算问题。 3.平面直观图与真实立体图形的空间对应关系。 ) 三．自主探究 （一）立体图形与平面直观图的转化 生活中，人们常常从不同角度去观察一个几何体，数学中，我们一般通过平面直观图表示一个空间几何体。 从实物→立体几何图形→平面直观图。 【归纳】 生活立体物体空间几何体 平面直观图 画出正方体纸盒的平面直观图 【答案】 【解析】正方体的平面直观图通常用斜二测画法绘制：（1）画一个水平的平行四边形作为底面（相邻边夹角约45°，边长与正方体棱长相等）。（2）从平行四边形的四个顶点向上作等长且平行的线段，长度等于正方体棱长。（3）连接上方线段的端点，形成正方体的顶面，就得到了正方体的平面直观图。（也可以直接画由6个全等正方形组成的正方体展开图，比如“一四一”型展开图） 【动手思考】： （1）长方形绕一条边旋转一周，得到什么立体图形？ 答：长方形绕一条边旋转一周，得到的是圆柱。 （2）直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到什么立体图形？ 答：直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的是圆锥。 （二）立体图形与平面展开图的转化 【活动1】长方体展开探究 如图，把一个装了水的长方体纸盒沿某些棱剪开，铺平后得到一个平面展开图，对比展开前后的位置，你知道有条形码的长方形在原长方体纸盒的哪个面吗? 【解析】长方体展开图中，相对的面在展开图中不相邻，且间隔一个面。 观察展开图可以发现，带有条形码的长方形，在折叠后会对应原长方体纸盒的下面（或底面，与顶面相对的那个面）。 长方体纸盒沿棱剪开，平铺成平面图形，就是长方体平面展开图。 【思考】：长方体展开图中，相对的面在展开图里位置有什么特点？ 【答案】：相对的面在展开图里不相邻，中间会隔一个面，且形状、大小完全相同。 【解析】在长方体的平面展开图中，相对的面有这些特点：它们不相邻，中间会隔着一个其他的面；形状、大小完全相同；位置上呈“隔一相对”的规律，比如在“一四一”型展开图里，同一行或列中隔一个面的两个面就是相对面。 【活动2】圆柱、圆锥展开探究 【归纳】： （1）圆柱展开：2个圆形底面 + 1个长方形侧面 （2）圆锥展开：1个圆形底面 + 1个扇形侧面 （三）正方体展开与折叠专项 正方体纸盒的平面展开图。 （1）1-4-4 （2）2-3-1 （3）2-2-2 （4） 3-3 【归纳】： 正方体展开图，隔一个面是相对面，相邻面不相对。 四．经典例题 例1.（2026南通通州区二模）长方形绕一边旋转一周得到（ ） A.正方体 B.圆柱 C.圆锥 D.球 【答案】：B 【解析】：面动成体，矩形旋转成圆柱，直角三角形绕直角边旋转成圆锥。 例2.（2024常州）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是(　　) A B C D 【答案】：B 【解析】：A是四个矩形，是柱体的侧面展开图；B是四个共顶点的三角形，符合四棱锥侧面展开图；C是一个扇形，是圆锥的侧面展开图；D是正方体的表面展开图。 例3.（2024盐城）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是(　　) A. 湿 B. 地 C. 之 D. 都 【答案】：C 【解析】：正方体平面展开图中，相对面的规律是：同行或同列隔一个。这个展开图里，“盐”和“之”在同一行，且中间隔了“都”，所以“盐”的相对面是“之”。 例4.下列图形中，能折叠成正方体的是(　　) A B C D 【答案】：C 【解析】：A：属于“凹”字型，无法折叠成正方体；B：属于“一四一”型，是标准的正方体展开图，可以折叠；C：属于“田”字型，无法折叠成正方体；D：属于“L”型，无法折叠成正方体。 例5.（2025苏州吴中区期中）扇形+圆形纸片折叠后几何体是（） A.圆柱 B.圆锥 C.棱柱 D.棱锥 【答案】：B 【解析】：圆锥侧面展开为扇形，底面是圆；圆柱侧面展开为长方形。 例6.（2025淮安金湖期末）圆柱侧面沿高剪开，展开图形是________ 【答案】：长方形（矩形） 【解析】：柱体侧面展开为长方形，锥体侧面展开为扇形。 例7.若圆柱的底面半径是2，高为3，将该圆柱的侧面展开后，得到长方形，则该长方形的面积为　　　　． 【答案】12π 【解析】圆柱的侧面展开图是长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 底面周长：C=2πr=2π×2=4π，高：h=3，长方形面积：S=4π×3=12π。 例8.将三棱柱沿它的棱剪成平面图形，至少要剪开　　　　条棱． 【答案】 4 【解析】三棱柱一共有9条棱，展开成平面图形后，需要保留5条棱作为连接边（三棱柱的展开图是2个三角形和3个矩形，共5条公共边）。所以至少要剪开的棱数为：9-5 = 4条。 例9.如图是由小正方形组成的图，请你用三种方法分别在下图中添画两个小正方形，使它能成为正方体的表面展开图． 　　　 　　　　 　 【答案】如图所示，答案不唯一． 　　　　 【解析】我们先回忆正方体展开图的常见类型：“一四一”型、“一三二”型、“三三”型、“二二二”型，注意不能出现“田”字、“凹”字结构。下面是三种可行的添画思路： （1）“一四一”型：在原图左侧小正方形的左边添一个，再在最下方小正方形的右边添一个，形成中间4个、上下各1个的结构。（2）“一三二”型：在原图上方小正方形的左边添一个，再在原图左侧小正方形的下方添一个，形成1个、3个、2个分层的结构。（3）另一种“一四一”型：在原图左侧小正方形的下方添一个，再在最下方小正方形的右边添一个，形成对称的中间4个、上下各1个的结构。（注：具体图形的画法可以参考题目给出的示例，只要符合正方体展开图的结构规则即可，答案不唯一） 例10．如图所示的是一个包装盒的表面展开图，其底面为正六边形． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称 (2)请根据图中所标的尺寸计算这个几何体的侧面积 【答案】(1)正六棱柱(2) 【解析】（1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答；这个包装盒为正六棱柱．（2）侧面积为6个长方形的面积之和，即可解答． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024盐城亭湖期中）直角三角形绕直角边旋转得（ ） A.圆柱 B.圆锥 C.正方体 D.长方体 【答案】：B 【解析】：面动成体，直角三角形旋转形成圆锥。 2.（2026常州天宁一模）三棱柱展开图是（ ） A.三角形+3长方形 B.扇形+圆 C.五边形+5长方形 D.6个正方形 【答案】：A 【解析】：三棱柱=2个三角形底面+3个长方形侧面。 3.（2026镇江丹徒二模）立体转平面叫（ ） A.展开 B.折叠 C.旋转 D.平移 【答案】：A 【解析】：立体剪开平铺=展开；平面折成立体=折叠。 4.（2025宿迁沭阳期末）圆锥底面形状是（ ） A.长方形 B.扇形 C.圆 D.三角形 【答案】：C 【解析】：圆锥底面圆形，侧面扇形。 5.（2026南通海门三模）长方体有（ ）组相对面 A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】：B 【解析】：长方体上下、前后、左右，共3组对面。 6．如图是一个正方体的展开图，则与“养”字相对的是（    ）    A．核 B．心 C．数 D．养 【答案】C 【解析】由图可知，与“养”字相对的是数，故选：C． 7．一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是（　　） A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱 【答案】A 【解析】由几何体的表面展开图可知，该几何体的形状是五棱锥．故选：A． 8．某校七年级（5）班准备开展户外拓展活动，需要制作正方体纸盒多个．下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A，B，D是正方体的展开图，C不是正方体的展开图．故选：C． （二）填空题 9．将如图所示的几何体沿虚线折叠，折成的几何体的名称是 ． 【答案】三棱柱 【解析】三个长方形和两个三角形能围成三棱柱，故，将它折叠能得到三棱柱；故答案为：三棱柱． 10．如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是 ． 【答案】2 【解析】将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出，故答案为：2． 11．一个正方体的表面展开图如图所示，则原正方体中的“☆”所在面的对面所标的字是 ． 【答案】有 【解析】由正方体的展开图可知，“☆”与“有”相对，“几”与“真”相对，“何”与“趣”相对．故答案为：有． 12．如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为 ． 【答案】 【解析】是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则，解得：，，故答案为：． 13. 一个正方体的表面展开图如图所示,将其折叠成正方体后,相对两个面上的数之和均为5,则x+y-z的值为　　　　.  【答案】6 【解析】正方体表面展开图中，相对面不相邻：x与4相对，所以x+4=5，得x=1， y 与 -3 相对，所以y+(-3=5，得y=8，z与2相对，所以z+2=5，得z=3，则 x+y-z=1+8-3=6 14. 如图所示为某个几何体的表面展开图,则围成几何体后,与点E重合的两个点是　　.  【答案】A 和C 【解析】这个展开图是三棱锥的展开图，折叠后：点 E 会与点 A 和点 C 重合 15. 如图,一个长方体的表面展开图中四边形ABCD是正方形,则根据图中数据可得原长方体的表面积为　　　　cm2.  【答案】38　　 【解析】因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AB=AD= 4cm（8÷2=4）。则长方体的高为 (6 - 4)÷2 =1cm，宽为4-1=3cm。表面积：2×(3×4+3×1+4×1)=2×(12+3+4)=2×19=38cm2。 16．有一个正方体的六个面上分别标有数字、、、、、，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字的面所对面上的数字记为，的面所对面上数字记为，那么的值为 ． 【答案】 【解析】由三个正方体上所标的数字可得，“”的邻面有“，，，”，因此“”对“”，“”的邻面有“，，，”，因此“”对“”，于是“”对“”， 标有数字的面所对面上的数字记为，的面所对面上数字记为，，， ．故答案为：． （三）解答题 17. 现实生活中，我们常常能见到一些精美的纸质包装盒．现有一个正方体形状的无盖纸盒，在盒底上印有一个兑奖的标志“吉”字，如下图①所示．现请同学们用剪刀沿这个正方体纸盒的棱将这个纸盒剪开，使之展开成一个平面图形．请把剪开后展成的平面图形画出来，要求展开图中的标志“吉”字是正立着的．(其中一种的展开情况如图②所示，至少再画出六种不同情况的展开图) 解：答案不唯一，如图所示. 18. 如图,每个小正方形的面积均为1.将左图中涂色的小正方形移动,得到右边拼成的长方形,根据两种图形转换的方法计算小正方形的个数,可以得出图①、图②中的等式. (1) 请在图③的横线上写出第3个等式; (2) 用含n(n为正整数)的代数式表示第n个等式:　　　　　　　　　　　　　　　　.  【答案】（1） 2+4+6+8=4×5　（2）2+4+6+…+2(n+1)=(n+1)(n+2) 【解析】（1）第3个等式，观察前两个等式：第1个等式：2+4 = 2 ×3（2项，右边是2 ×3） 第2个等式：2+4+6=3×4（3项，右边是3×4）第3个等式是4个连续偶数相加：2+4+6+8=4×5 （2）第n个等式，观察规律：第n个等式左边是n+1个连续偶数相加：2+4+6+ … + 2(n+1) ，右边是(n+1)(n+2)，所以第n个等式为：2+4+6+…+2(n+1)=(n+1)(n+2) 19. 下图是一张长方形硬纸片，正好分成15个小正方形，试把它们剪成3份，使每份有5个小正方形相连，且折起来都可以成为一个没有盖的正方体纸盒． 解：如图所示，沿网线格线中的实线剪开即可． 20.如图所示是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题： （1）与面B、面C相对的面分别是　 　和　 　； （2）若A＝a3+a2b+3，B＝﹣a2b+a3，C＝a3﹣1，D＝﹣（a2b+15），且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求E、F代表的代数式． 解（1）由“相间Z端是对面”，可得B的对面为F，C的对面是E.故答案为：面F，面E. （2）由题意得：A与D相对，B与F相对，C与E相对，A+D=B+F=C+E将A=a3a2b+3，Ba2b+a3，C=a3﹣1，D(a2b+15)代入得：a3a2b+3(a2b+15)a2b+a3+F=a3﹣1+E，∴Fa2b，E=1. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025徐州贾汪期末）圆锥侧面展开图形是（ ） A.圆 B.长方形 C.扇形 D.三角形 【答案】：C 【解析】：锥体侧面扇形，柱体侧面长方形。 2.（2026南通如东一模）正方体展开图，相邻面不可能（ ） A.相连 B.间隔 C.共边 D.共顶点 【答案】：B 【解析】：相邻面相连共边，相对面才间隔。 3.（2026泰州海陵二模）六棱柱展开：2个六边形+（ ）长方形。 A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】：C 【解析】：n棱柱=n个侧面长方形。 4.（2024扬州广陵期中）长方体剪开成展开图，需剪（ ）条棱 A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】：C 【解析】：长方体12条棱，保留5条相连，剪开7条。 5.（2025镇江丹北期末）下列转化错误的是（ ） A.圆柱→长方形+圆 B.圆锥→扇形+圆 C.正方体→6正方形 D.三棱锥→3长方形 【答案】：D 【解析】：三棱锥展开全是三角形，无长方形。 6. 如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A,B,C内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A,B,C内的三个数依次是（　　） A. 1,0,-2 B. 0,1,-2 C. 0,-2,1 D. -2,0,1 【答案】：C 【解析】：展开图中，A与0相对，B与2 相对，C与-1相对。因为相对面上的两数互为相反数，所以：A=-0=0，B=-2，C=-(-1)=1。所以A、B、C内的三个数依次是0, -2, 1，对应选项C 7. 如图1，是一个正方体的侧面展开图，小正方体从图2的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、这时小正方体朝上面的字是（　　） A. 和 B. 谐 C. 社 D. 会 【答案】：D 【解析】：先确定正方体展开图的相对面：“构”与“合”相对，“建”与“谐”相对，“和”与“社”相对。翻折过程：翻到第1格时，朝下的是“和”，朝上的是“社”；翻到第2格时，朝下的是“建”，朝上的是“谐”；翻到第3格时，朝下的是“构”，朝上的是“合”。 所以这时小正方体朝上面的字是“合”，对应选项D 8．下列图形中，可以折叠成棱锥的是（ ） A．B．C． D． 【答案】：D 【解析】：A：含有圆和曲面，是圆锥的展开图，不是棱锥。B：侧面是矩形，是棱柱的展开图。C：是正方体的展开图。D：底面是正方形，侧面是4个三角形，符合四棱锥的展开图特征。 9．如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（ ） A．B．C．D． 【答案】：B 【解析】： 这个几何体上半部分是正四棱锥，下半部分是立方体，且有一个面涂有颜色。涂颜色的面是立方体的一个侧面，展开后这个面不能与棱锥的底面（正方形）相邻，否则折叠后会被棱锥挡住。A选项：涂色面在中间，折叠后会被棱锥挡住；B选项：涂色面在侧面，与棱锥的侧面不冲突，符合； C选项：涂色面的位置折叠后会与棱锥侧面重叠； D选项：棱锥的三角形位置不对，无法正确折叠。 10．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　B　） A．B．C．D． 【答案】：B 【解析】：正方体展开图中，带图案的三个面（三角形、圆、阴影正方形）必须是相邻面，且位置关系与原图一致。A：三角形与圆的位置不相邻，不符合；B：三角形、圆、阴影正方形的相邻关系和方向都与原图一致，符合；C：三角形的方向错误，不符合； D：三角形与圆的位置关系错误，不符合 （二）填空题 11．把如图所示的纸片折叠起来，可以得到的几何体是 ． 【答案】三棱柱 【解析】根据几何体特征，图中纸片折叠起来可以得到三棱柱．故答案为：三棱柱． 12.一个正方体的每个面上都写有一个有理数，且相对两个面的两个有理数的和都相等，这个正方体的表面展开图如图所示，则ab的值是________. 【答案】 -7 【解析】由题意可得： “a”和“5”相对，“-6”和“4”相对，“b”和“-3”相对，∴a+5=b-3=-6+4，解得：a=-7，b=1，∴ab=-7，故答案为：-7. 13.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“勤”字所在面相对面上的汉字是________. 【答案】 口 【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “洗”与“戴”是相对面，“手”与“罩”是相对面，“勤”与“口”是相对面.故答案为：口. 14.若要使如图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数为相反数，则2xy= ____. 【答案】 6 解：由题意得，x与1相对，y与3相对， 则可得x=-1，y=-3，∴2xy=2×（-1）× （-3）=6.故答案为：6. 15. 下图所示的图形可以被折成一个长方体，则该长方体的表面积为________cm2. 【答案】88 【解析】长方体的表面积是：2×（6×4+6×2+4×2）=88m2．故答案为88 16. 下图是一个正方体的表面展开图，若将其折叠成原来的正方体，则与点A重合的两点应该是点________． 【答案】G，E 【解析】结合图形可知，围成立方体后D与B重合，A与E、G重合.故答案为G，E 17. 如下图所示是一个多面体的表面展开图，每个面上都标有字母(字母在外表面)，如果面F在前面，从左面看是面B，则面______在底面． 【答案】E 【解析】依题意可得:A在后面，B在左面，C在上面，D再右面，E在底面，F在前面.故答案为E 18. 如下图是一个物体的表面展开图(单位：cm)，则这个物体的体积为________cm3. 【答案】250π. 【解析】底面面积是: =25cm2,所以物体体积是： 25×10=250πcm3. 故答案为250π. 19．如图1是边长为的正方形纸板，剪掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子．已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是______． 【答案】 216 【解析】设该长方体的高为x，则长方体的宽为2x，利用展开图得到2x+2x+x+x=18，然后解方程得到x的值，从而得到该长方体的高、宽、长，于是可计算出它的体积．设该长方体的高为x，则长方体的宽为2x ，2x+2x+x+x=18，解得x=3，所以该长方体的高为3，则长方体的宽为6，长为18−6=12 ，所以它的体积为 3×6×12=216(cm3)，故答案为 216． 20．一个长方体包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为 _____cm3． 【答案】6000 【解析】由题意可得，该长方体的高为：42﹣32＝10（cm），宽为：32﹣10＝20（cm），长为：（70﹣10）÷2＝30（cm），故其容积为：30×20×10＝6000（cm3），故答案为：6000． （三）解答题 21．张明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有______种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； (3)在你帮忙设计成功的图中，要把，10，，8，，12这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．（直接在图中填上） 解：（1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，∴在下面有四个位置中可以任意补上一个正方形，共有4种弥补方法； （2）如图所示： （3）如图所示： 22.已知三棱柱如图①所示，其底面边长都是2cm ,侧棱长为8cm . (1)若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，在图②的四幅展开图中，可能是该三棱柱表面展开图的有 (填序号)； (2)图③是已知三棱柱的一种表面展开图，请你求出图③的外围周长； (3)请你画出一种该已知三棱柱的表面展开图，使其外围周长最大，并直接写出它的外围周长. 【答案】(1) A、C、D；(2) 40cm；(3) 外围周长最大为52cm。 【解析】(1) 判断三棱柱表面展开图，三棱柱的表面展开图由两个全等的三角形底面和三个长方形侧面组成。A：两个三角形底面分别在长方形侧面的两侧，符合三棱柱展开图特征。B：两个三角形底面在同一侧，无法折叠成三棱柱，不符合。C：两个三角形底面分别在长方形侧面的两侧，符合三棱柱展开图特征。D：两个三角形底面分别在长方形侧面的两侧，符合三棱柱展开图特征。所以可能的是A、C、D。(2) 求图③的外围周长，已知底面边长为2cm，侧棱长为8cm。观察图③的展开图，外围周长由4条侧棱和4条底面边长组成：周长=8×4+2×4=32+ 8=40cm。(3) 求外围周长最大的展开图，要使外围周长最大，需要让最短的棱（底面边长）尽量在内部相连，最长的棱（侧棱）尽量在外围。展开方式：将两个三角形底面分别放在三个长方形侧面的两端，且让侧棱尽可能多地出现在外围。此时外围周长由6条侧棱和2条底面边长组成：周长=8×6+2×2=48+4= 52cm。 23.．已知正方体的边长为a． （1）一个正方体的表面积是多少？体积是多少？ （2）2个正方体（如图②）叠放在一起，它的表面积是多少？体积是多少？ （3）n个正方体按照图②的方式叠放在一起，它的表面积是多少？体积是多少？ 解：（1）表面积=6a2，体积=a3； （2）表面积=10a2，体积=2a3； （3）表面积=（4n+2）a2，体积=na3． 24．（1）如图1是一个长方体纸盒的表面展开图，纸片厚度忽略不计，数据如图所示，这个盒子的容积为 ． （2）如图2是某几何体的展开图． ①这个几何体的名称是 ； ②求这个几何体的体积（取3.14）． 解：（1）根据图形知：长为：3；宽为：2；高为：1，故长方体体积为：， 故答案为：6； （2）①圆柱 ②根据图形知：半径为：5，高为：20故圆柱体的体积为： 故答案为：. 25．已知图1为一个正方体，其棱长为12，图2为图1的表面展开图（数字和字母写在外面），请根据要求回答问题： (1)若正方体相对面上的数互为相反数，则_________； (2)用一个平面去截这个正方体，下列关于截面（截出的面）的形状的结论：①可能是锐角三角形；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是平行四边形．其中所有正确结论的序号是(   )； A．①      B．①④      C．①②④      D．①②③④ (3)图1中，为所在棱的中点，请在图2标出点的位置，并求出的面积． 解：（1）由展开图可知x的对面为2，∴，y的对面为，∴，∴ 故答案为：． （2）用一个平面去截这个正方体，当平面截去正方体的一个角时，则截面为锐角三角形，当平面沿着棱截时，截面为平行四边形，∴截面可能是锐角三角形，平行四边形，∴①④正确，故答案为：B． （3）如图所示，， 所以的面积为36或180． 26．如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 72 (1)这个纸盒的底面积是______，高是______（用含、的代数式表示）． (2)的部分取值及相应的纸盒容积如表所示： ①请通过表格中的数据计算：_____，______； ②猜想：当逐渐增大时，纸盒容积的变化情况：_______． (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒． ①若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是______，_____（用含、的代数式表示）： ②已知，，，四个面上分别标有整式，，，6，且该纸盒的相对两个面上的整式的和相等，求的值． 解：(1)这个纸盒的底面积是，高是，故答案为：，； (2)①由题意得：当时，纸盒的容积为，，，， 当时，，当时，，故答案为：16，； ②当时，，当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 猜想：当逐渐增大时，纸盒容积的变化情况：先随着的增大而增大，后随着的增大而减小，故答案为：先随着的增大而增大，后随着的增大而减小； (3)①若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是，， 故答案为：，， ②由图可知：与相对，与相对，由题意得：，， ，的值为5． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册19 《第5章走进几何世界第3节转化表达》预习讲义 一．预习目标 ( 1.理解立体图形 → 平面图形的相互转化，能辨认圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、棱锥的平面展开图与直观图。 2.掌握正方体、长方体展开与折叠规律，能快速判断对面相邻面，还原立体图形。 3.体会数形转化思想，能利用图形规律计算连续奇数求和问题，建立数与形的关联。 4.能规范画出简单几何体平面直观图，会根据展开图判断折叠后的空间几何体。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.常见柱体、锥体的展开与折叠，立体图形和平面图形互相转化。 2.正方体展开图类型、相对面快速判断方法。 3.从1开始连续奇数求和的数形规律应用。 （二） 难点 1.复杂展开图还原立体图形，区分相邻面、相对面。 2.深度理解数形结合转化思想，用图形规律解决数字运算问题。 3.平面直观图与真实立体图形的空间对应关系。 ) 三．自主探究 （一）立体图形与平面直观图的转化 生活中，人们常常从不同角度去观察一个几何体，数学中，我们一般通过平面直观图表示一个空间几何体。 从实物→立体几何图形→平面直观图。 【归纳】 生活立体物体空间几何体 平面直观图 画出正方体纸盒的平面直观图 【动手思考】： （1）长方形绕一条边旋转一周，得到什么立体图形？ （2）直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到什么立体图形？ （二）立体图形与平面展开图的转化 【活动1】长方体展开探究 如图，把一个装了水的长方体纸盒沿某些棱剪开，铺平后得到一个平面展开图，对比展开前后的位置，你知道有条形码的长方形在原长方体纸盒的哪个面吗? 长方体纸盒沿棱剪开，平铺成平面图形，就是长方体平面展开图。 【思考】：长方体展开图中，相对的面在展开图里位置有什么特点？ 【活动2】圆柱、圆锥展开探究 【归纳】： （1）圆柱展开：2个圆形底面 + 1个长方形侧面 （2）圆锥展开：1个圆形底面 + 1个扇形侧面 （三）正方体展开与折叠专项 正方体纸盒的平面展开图。 （1）1-4-4 （2）2-3-1 （3）2-2-2 （4） 3-3 【归纳】： 正方体展开图，隔一个面是相对面，相邻面不相对。 四．经典例题 例1.（2026南通通州区二模）长方形绕一边旋转一周得到（ ） A.正方体 B.圆柱 C.圆锥 D.球 例2.（2024常州）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是(　　) A B C D 例3.（2024盐城）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是(　　) A. 湿 B. 地 C. 之 D. 都 例4.下列图形中，能折叠成正方体的是(　　) A B C D 例5.（2025苏州吴中区期中）扇形+圆形纸片折叠后几何体是（ ） A.圆柱 B.圆锥 C.棱柱 D.棱锥 例6.（2025淮安金湖期末）圆柱侧面沿高剪开，展开图形是________ 例7.若圆柱的底面半径是2，高为3，将该圆柱的侧面展开后，得到长方形，则该长方形的面积为　　　　． 例8.将三棱柱沿它的棱剪成平面图形，至少要剪开　　　　条棱． 例9.如图是由小正方形组成的图，请你用三种方法分别在下图中添画两个小正方形，使它能成为正方体的表面展开图． 　　　 　　　　 　 例10．如图所示的是一个包装盒的表面展开图，其底面为正六边形． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称 (2)请根据图中所标的尺寸计算这个几何体的侧面积 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024盐城亭湖期中）直角三角形绕直角边旋转得（ ） A.圆柱 B.圆锥 C.正方体 D.长方体 2.（2026常州天宁一模）三棱柱展开图是（ ） A.三角形+3长方形 B.扇形+圆 C.五边形+5长方形 D.6个正方形 3.（2026镇江丹徒二模）立体转平面叫（ ） A.展开 B.折叠 C.旋转 D.平移 4.（2025宿迁沭阳期末）圆锥底面形状是（ ） A.长方形 B.扇形 C.圆 D.三角形 5.（2026南通海门三模）长方体有（ ）组相对面 A.2 B.3 C.4 D.6 6．如图是一个正方体的展开图，则与“养”字相对的是（    ）    A．核 B．心 C．数 D．养 7．一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是（　　） A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱 8．某校七年级（5）班准备开展户外拓展活动，需要制作正方体纸盒多个．下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． （二）填空题 9．将如图所示的几何体沿虚线折叠，折成的几何体的名称是 ． 10．如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是 ． 11．一个正方体的表面展开图如图所示，则原正方体中的“☆”所在面的对面所标的字是 ． 12．如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为 ． 13. 一个正方体的表面展开图如图所示,将其折叠成正方体后,相对两个面上的数之和均为5,则x+y-z的值为　　　　.  14. 如图所示为某个几何体的表面展开图,则围成几何体后,与点E重合的两个点是　　.  15. 如图,一个长方体的表面展开图中四边形ABCD是正方形,则根据图中数据可得原长方体的表面积为　　　　cm2.  16．有一个正方体的六个面上分别标有数字、、、、、，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字的面所对面上的数字记为，的面所对面上数字记为，那么的值为 ． （三）解答题 17. 现实生活中，我们常常能见到一些精美的纸质包装盒．现有一个正方体形状的无盖纸盒，在盒底上印有一个兑奖的标志“吉”字，如下图①所示．现请同学们用剪刀沿这个正方体纸盒的棱将这个纸盒剪开，使之展开成一个平面图形．请把剪开后展成的平面图形画出来，要求展开图中的标志“吉”字是正立着的．(其中一种的展开情况如图②所示，至少再画出六种不同情况的展开图) 18. 如图,每个小正方形的面积均为1.将左图中涂色的小正方形移动,得到右边拼成的长方形,根据两种图形转换的方法计算小正方形的个数,可以得出图①、图②中的等式. (1) 请在图③的横线上写出第3个等式; (2) 用含n(n为正整数)的代数式表示第n个等式:　　　　　　　　　　　　　　　　.  19. 下图是一张长方形硬纸片，正好分成15个小正方形，试把它们剪成3份，使每份有5个小正方形相连，且折起来都可以成为一个没有盖的正方体纸盒． 20.如图所示是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题： （1）与面B、面C相对的面分别是　 　和　 　； （2）若A＝a3+a2b+3，B＝﹣a2b+a3，C＝a3﹣1，D＝﹣（a2b+15），且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求E、F代表的代数式． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025徐州贾汪期末）圆锥侧面展开图形是（ ） A.圆 B.长方形 C.扇形 D.三角形 2.（2026南通如东一模）正方体展开图，相邻面不可能（ ） A.相连 B.间隔 C.共边 D.共顶点 3.（2026泰州海陵二模）六棱柱展开：2个六边形+（ ）长方形。 A.4 B.5 C.6 D.7 4.（2024扬州广陵期中）长方体剪开成展开图，需剪（ ）条棱 A.5 B.6 C.7 D.8 5.（2025镇江丹北期末）下列转化错误的是（ ） A.圆柱→长方形+圆 B.圆锥→扇形+圆 C.正方体→6正方形 D.三棱锥→3长方形 6. 如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A,B,C内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A,B,C内的三个数依次是（　　） A. 1,0,-2 B. 0,1,-2 C. 0,-2,1 D. -2,0,1 7. 如图1，是一个正方体的侧面展开图，小正方体从图2的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、这时小正方体朝上面的字是（　　） A. 和 B. 谐 C. 社 D. 会 8．下列图形中，可以折叠成棱锥的是（ ） A．B．C． D． 9．如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（ ） A．B．C．D． 10．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　） A．B．C．D． （二）填空题 11．把如图所示的纸片折叠起来，可以得到的几何体是 ． 12.一个正方体的每个面上都写有一个有理数，且相对两个面的两个有理数的和都相等，这个正方体的表面展开图如图所示，则ab的值是________. 13.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“勤”字所在面相对面上的汉字是________. 14.若要使如图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数为相反数，则2xy= ____. 15. 下图所示的图形可以被折成一个长方体，则该长方体的表面积为________cm2. 16. 下图是一个正方体的表面展开图，若将其折叠成原来的正方体，则与点A重合的两点应该是点________． 17. 如下图所示是一个多面体的表面展开图，每个面上都标有字母(字母在外表面)，如果面F在前面，从左面看是面B，则面______在底面． 18. 如下图是一个物体的表面展开图(单位：cm)，则这个物体的体积为________cm3. 19．如图1是边长为的正方形纸板，剪掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子．已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是______． 20．一个长方体包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为 _____cm3． （三）解答题 21．张明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有______种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； (3)在你帮忙设计成功的图中，要把，10，，8，，12这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．（直接在图中填上） 22.已知三棱柱如图①所示，其底面边长都是2cm ,侧棱长为8cm . (1)若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，在图②的四幅展开图中，可能是该三棱柱表面展开图的有 (填序号)； (2)图③是已知三棱柱的一种表面展开图，请你求出图③的外围周长； (3)请你画出一种该已知三棱柱的表面展开图，使其外围周长最大，并直接写出它的外围周长. 23.．已知正方体的边长为a． （1）一个正方体的表面积是多少？体积是多少？ （2）2个正方体（如图②）叠放在一起，它的表面积是多少？体积是多少？ （3）n个正方体按照图②的方式叠放在一起，它的表面积是多少？体积是多少？ 24．（1）如图1是一个长方体纸盒的表面展开图，纸片厚度忽略不计，数据如图所示，这个盒子的容积为 ． （2）如图2是某几何体的展开图． ①这个几何体的名称是 ； ②求这个几何体的体积（取3.14）． 25．已知图1为一个正方体，其棱长为12，图2为图1的表面展开图（数字和字母写在外面），请根据要求回答问题： (1)若正方体相对面上的数互为相反数，则_________； (2)用一个平面去截这个正方体，下列关于截面（截出的面）的形状的结论：①可能是锐角三角形；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是平行四边形．其中所有正确结论的序号是(   )； A．①      B．①④      C．①②④      D．①②③④ (3)图1中，为所在棱的中点，请在图2标出点的位置，并求出的面积． 26．如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 72 (1)这个纸盒的底面积是______，高是______（用含、的代数式表示）． (2)的部分取值及相应的纸盒容积如表所示： ①请通过表格中的数据计算：_____，______； ②猜想：当逐渐增大时，纸盒容积的变化情况：_______． (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒． ①若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是______，_____（用含、的代数式表示）： ②已知，，，四个面上分别标有整式，，，6，且该纸盒的相对两个面上的整式的和相等，求的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $