1.4 正方形的性质与判定（八大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦正方形性质与判定，通过8类题型构建从性质理解到判定应用的逻辑链条，覆盖中考高频考法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质理解|3题（含古代数学问题）|结合实际情境与动态平移|从概念理解到性质迁移| |角度计算|3题（含等边三角形综合）|多图形嵌套求角度|性质与三角形内角和综合| |线段计算|3题（含折叠与中点）|结合勾股定理与中点性质|性质应用到计算推理| |面积计算|3题（含重叠与动态）|静态与动态面积求解|从基本面积到复杂图形| |证明|3题（含中点与对称）|线段关系与位置证明|性质应用到逻辑推理| |折叠问题|3题（含实际情境）|轴对称性质应用|空间观念与性质结合| |重叠面积|3题（含多正方形）|图形位置关系分析|几何直观与面积转化| |判定|3题（含矩形添条件）|从平行四边形到正方形|判定定理的递进应用|

专题1.4 正方形的性质与判定 题型一 正方形性质理解 1．我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意：如图，今有，其勾（）长为5步，股（）长为12步，则该直角三角形能容纳的正方形的边长是（   ） A．5步 B．步 C．13步 D．步 2．如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为______． 3．小红和小亮在学习了正方形的相关知识后，对正方形内一些特殊线段的关系进行了探究． (1)【问题解决】 如图1，在正方形中，为上一点，为延长线上一点，且，则与之间的数量关系为________； (2)【类比探究】 如图2，在（1）的条件下，沿方向平移线段，得到线段，交于点，交于点，求证：； (3)【迁移应用】 如图3，在中，，，是的中点，是上一点，连接，，已知，求的值． 题型二 根据正方形的性质求角度 4．如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，P是正方形内一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数为________．    6．如图，在正方形的外侧，作等边，连接，交于点F，求的度数．    题型三 根据正方形的性质求线段长 7．如图，四边形是边长为4的正方形，E是边的中点，，且，连接，则的长度为（     ） A．3 B． C． D． 8．如图，在正方形中，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为________． 9．如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边上，将分别沿折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长度． 题型四 根据正方形的性质求面积 10．如图，四边形和四边形都是正方形，边长分别为4和6，M、N分别为它们的中心，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在、、边上，若，，则阴影部分面积为________． 12．如图，已知O为正方形对角线的交点，平分交于点E，延长到点F，使，连接，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求正方形的面积． 题型五 根据正方形的性质证明 13．如图，在正方形中，为对角线上一点，满足，过点作，交于点，连接交于点，为边中点，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 14．在正方形中，，P是正方形内的一点，连接，，，，记的面积为，的面积为．若，则的最小值是__________． 15．如图，在正方形中，点是边的中点，连接，． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，求的周长． 题型六 正方形折叠问题 16．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 17．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，则的长为____________． 18．在正方形纸片中，点、分别是、上的点，连接． (1)问题探究：如图1，作，交于点，求证：； (2)问题解决：如图2，将正方形纸片沿过点、的直线折叠，点的对应点恰好落在上，点的对应点为点，若，，求线段的长． 题型七 求正方形重叠部分面积 19．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 20．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是___________． 21．如图，在中，，，．点在边上运动，点关于点的对称点为点，以为边在上方作正方形，设（）． (1)的长为______； (2)求线段的长（用含的代数式表示）； (3)当正方形与重叠部分的图形为四边形时，求的取值范围； (4)连接，当所在直线将正方形的面积分成两部分时，直接写出的值． 题型八 添一个条件使四边形是正方形 22．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 23．如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 24．在矩形中，．图1中，点在边上，；图2中，点在边上，，点是的中点．请仅用无刻度的直尺按要求画图（保留作图痕迹，不写作法）．    (1)在图1的CD边上作出点F，使四边形为菱形． (2)在图2的CD边上作出点G，使四边形为正方形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题1.4正方形的性质与判定 题型一正方形性质理解 1.我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题：今有勾五步，股十 二步，问勾中容方几何？其大意：如图，今有Rt△ABC,其勾(AC)长为5 步，股(BC)长为12步，则该直角三角形能容纳的正方形DECF的边长是 B 30 60 A.5步 B.17步 C.13步 D.17步 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质.证明 △ADFP△ABC 根据题意列出方程，即可求解. 【详解】解：，四边形DECF是正方形， .DE=CF,DF∥BC, 设DF=x,则CE=x,AF=5-x, .DF∥BC, ∴.△ADFAABC, DF AF :BC AC' x 5-x .125， 60 17: 故选：D 2.如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE,则∠AED的度数为 D E 【答案】15° 【分析】根据正方形性质得出∠ADC=90°，AD=DC,根据等边三角形性质得出 DE=DC∠EDC=60° ，推 ,∠ADE=150°，AD=ED,根据等腰三角形性质得出 ∠DAE=∠DEA，, 根据三角形的内角和定理求出即可. 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠ADC=90°，AD=DC, .△CDE是等边三角形， ∴.DE=DC,∠EDC=60°， 2 .∠ADE=90°+60°=150°，AD=ED, :∠D1E=∠AED=(180°-∠ADE)x2(180°-150）×2-15°， .∠AED的度数为15° 故答案为：15°. 3.小红和小亮在学习了正方形的相关知识后，对正方形内一些特殊线段的关系 进行了探究. D G D AN E E E D八 B C B边 F 图1 图2 图3 (1)【问题解决】 如图1，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，且 BE=DF,则CE与CF之间的数量关系为 (2)【类比探究】 如图2，在(1)的条件下，沿DA方向平移线段DF,得到线段GF,交AD于点 G,交BC于点P,求证 F BE⊥GF (3)【迁移应用】 如图3，在R△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,D是AB的中点，E是AC上一 CE 点，连接CD,BE,已知BE⊥CD,求AE的值. 【答案】(1)CE=CF (2)见解析 (3)2 【分析】(1)根据正方形的性质，结合HL证明Rt△BCE≌Rt△DCF,然后根据全 等三角形的性质即可得出结论： (2)DF平移前的线段为DF',延长BE交DF'于O,由(I)知RtBCES≌RtDCF ,则∠CBE=∠CDF',结合三角形的内角和定理可得出∠BOF'=90°，然后结合平 移的性质判断即可： (3)分别过A,C作AG∥BC,CG∥AB,交于点G,延长BE交AG于点H,证 明四边形ABCG为正方形，再证明△CEB∽△AEH,根据相似三角形的性质即可 得出答案. 【详解】(1)解：CE=CF 理由：在正方形ABCD中，BC=DC,∠BCD=90°=∠DCF, 又BE=DF, 4 Rt△BCE≌RtADCF(HL) ∴.CE=CF, 故答案为：CE=CF; (2)解：设DF平移前的线段为DF',延长BE交DF于O, G D E B F C 由（1)知：RtABCE≌RtADCF' ∴.∠CBE=LCDF', :∠DCF=90°， ∴.∠CDF'+∠F'=90° ∴.∠CBE+∠F'=90°， .∠BOF'=90°，即BE⊥DF', 平移， ∴.GF∥DF' .BE⊥GF: (3)解：分别过A,C作AG∥BC,CG∥AB,交于点G,延长BE交AG于点 5 H, G E B ∴.四边形ABCG为平行四边形， .∠ABC=90°， .平行四边形ABCG为矩形， .AB=BC, .矩形ABCG为正方形， .∠BAH=90°，AG∥BC .BE⊥CD, ∴.∠ABH+∠BDC=90°， 又∠DBC=90°， ∴.∠BDC+∠BCD=90°， ∴.∠ABH=∠BCD, 又∠BAH=∠CBD=90°，AB=BC ∴.△ABH≌ABCD, ∴.AH=BD, 6 ,D是AB的中点， .'BC=AB=2BD=2AH, :AG∥BC, ∴.△CEBn△AEH, CE BC AE AH =2 题型二根据正方形的性质求角度 4.如图，点E为正方形ABCD内部的一点，△BCE为等边三角形，则∠BAE的度 数为( A D A.45° B.60° C.75 D.85o 【答案】C 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出△BAE为等腰三角形， ∠ABE=30° 再根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABC=90°， ,△BCE是等边三角形， .BE=BC,∠EBC=60°， ∴AB=BE,∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30° 片.∠BAE=∠BE4=180-,4BE_180,30-75 2 2 5.如图，P是正方形ABCD内一点，连接AP,BP,CP,AC.若△APB是等边 三角形，则∠ACP的度数为 D 【答案】30°/30度 【分析】根据正方形的性质得到AB=BC,∠ABC=90°，∠ACB=45°，根据等边 三角形的性质得到BP=AB,∠ABP=6O°，从而证得BP=BC,求出∠PBC的度 数，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BCP，进而求解. 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABC=90°，∠ACB=45°. ,△APB是等边三角形， 8 ∴.BP=AB,∠ABP=60°， .BP=BC,∠PBC=∠ABC-∠ABP=90°-60°=30°， &∠BCP-180-,P8C_180,30-75 2 2 ∴.∠ACP=∠BCP-∠ACB=75°-45°=30° 6.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE,连接BE,交AC于点F,求 ∠AFE 的度数 B D 【答案】∠AFE=60° 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三 角形外角的性，由正方形的性质可得AD=AB,∠BAD=90°，∠BAC=∠CAD=45° ,由等边三角形的性质得AD=AE,∠DAE=60°，进而求得∠BAE,∠ABE的度数. 再三角形外角的性质即可求求解。 【详解】解：在正方形ABCD中，AD=AB,∠BAD=90°，∠BAC=∠CAD=45°， 在等边△ADE中，AD=AE,∠DAE=60°， ∴.AB=AE∠BAE=∠BAD+∠DAE=I50° 乙ABE=180-,∠BME-15 2 ∴.∠AFE=∠ABE+∠BAC=60°. 题型三根据正方形的性质求线段长 7.如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，E是边BC的中点，∠AEF=90°， 且AE=EF,连接CF,则CF的长度为( E A.3 B.2 C.5 D.2W2 【答案】D 【分析】在AB上取中点H,连接EH,可证△MHE≌ECF(SAS),则CF=EH,在等 腰直角△BEH中求出EH,则题目可解. 【详解】解：在AB上取中点H,连接EH, D G E :∠HAE+∠AEB=90°∠CEF+∠AEB=90° ∴.∠HAE=∠CEF 10 ,E是边BC的中点， AB=AH=EC=-BC 2 AE=EF, ∴△AHE≌AECF(SAS) ∴.CF=EH, 1 :·21B=B五=BE=2-2 .EH=V22+22=2√2， CF=22 8.如图，在正方形ABCD中，AB=4,CE=DF=1,DE,AF交于点G,点H为AE 的中点，连接GH,则GH的长为 D F G E B 【答案】2.5 【分析】根据正方形的性质，勾股定理得到AE=5,再证明△ADF≌aDCE，得到 △AEG 是直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解. 【详解】解：四边形ABCD是正方形， 名 ∴.AB=BC=CD=AD=4,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°， CE=DF=1, ∴.BE=BC-CE=4-1=3, 在Rt△ABE中，AE=VAB2+BE2=V4+32=5, AD=DC,∠ADF=∠DCE,DF=CE, 、△ADF≌△DCE(SAS) ∴.∠DAF=∠CDE, .'∠CDE+∠ADG=90°， ∴.∠ADG+∠DAG=90°， .∠AGD=90°，即AF⊥DE, .∠AGE=90°，即△AEG是直角三角形， 点H为AE的中点， .GH=7AE=氵=2.5 5 2 2 9.如图，在四边形纸片ABCD中，∠B=∠D=90°，点E,F分别在边BC,CD 上，将AB,AD分别沿AE,AF折叠，点B,D恰好都和点G重合，∠EAF=45°. 12 D (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)若EC=FC=1,求BC的长度. 【答案】(1)证明：由题意得，∠BAE=∠EAG,∠DAF=∠FAG, ∴.∠BAD=2∠EAF=90°， ∴.∠BAD=∠B=∠D=90° .四边形ABCD是矩形， :点B,D恰好都和点G重合， .AB=AG,AD=AG .AB=AD, .四边形ABCD是正方形 (2)2 【分析】(1)由题意得，∠BAE=∠EAG,∠DAF=∠FAG,于是得到 ∠BAD=2∠EAF=90° ABCD 推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得 到结论： 13 (2)根据EC=FC=L,得到BE=DF,根据勾股定理得到EF的长，进而得到 BE、BC 即可. 【详解】(1)略 (2)解：.四边形ABCD是正方形， D G .BC=DC,LC=90° EC=FC=1, BE-DF,EF-CE+CRE-2 ..EF GE+GF BE+DF=2BE, BEs 2, BC-BE+EC= +1 2 题型四根据正方形的性质求面积 10.如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，边长分别为4和6，M、W 分别为它们的中心，则△MWD的面积为( 14 G D M A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【分析】作NK⊥FG于点K,作ML⊥FG交FG的延长线于点L,根据△MND的面 积=SMv-SLGD-SxGD进行求解即可. 【详解】解：作NK⊥FG于点K,作ML⊥FG交FG的延长线于点L, B 由题意，可知：CG=6,CD=4, ∴.DG=6-4=2, ,M、N分别为正方形ABCD和正方形CEFG的中心， 1G=4=2M=x4+2=4=G球-6=3， .'KL=KG+LG=5, △MND的面积=SMILKN-SMGD-SxGD =4+3k5-×4+22-6+2k3 15 3512_15=4 222 11.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，正方形CDEF的顶点D、E、F分别在AC、 8、BC边上，若E=5,E=月，则阴影部分面积为 F 【答案】2 【分析】过点E作GE⊥AB交AC于点G,根据正方形的性质证明 △DEG≌aFEB(ASA) 得到GE=BE=5,S,o=S,m,再根据三角形的面积公式 即可求解. 【详解】解：如图，过点E作GE⊥AB交AC于点G, D G C F B 则∠GEB=90°， ,正方形CDEF, 16 ∴.DE=FE,∠DEF=∠EDG=∠EFB=9O°， ∴.∠DEF=∠GEB, ∴.∠DEF-∠GEF=∠GEB-LGEF,即∠DEG=∠FEB, △DEG≌AFEB(ASA) GE=BE=,S.DEG=S.FEB, ∴阴影部分面积=SAe+SFB =SADE+SDEG =S。AEG -LAE.GE =x5x5 5 2· I2.如图，已知O为正方形ABCD对角线的交点，CE平分∠ACB交AB于点E,延 长CB到点F,使BF=BE,连接AF,交CE的延长线于点G,连接OG. M B (1)求证：△BCE≌aBAF; (2)求证：0G=0C; 17 (3)若AF=2-√2，求正方形ABCD的面积. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 2-V2 (3)2 【分析】此题属于四边形的综合题.考查了正方形的性质、全等三角形的判定 与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.注意利用方程思想求 解是解此题的关键. (1)根据正方形的性质可得AB=BC,∠ABF=∠EBC=90°，可利用SAS证得： ABCE≌ABAF (2)由△BCE≌△BAF,可得∠BCE=∠BAF,可证得CG⊥AF,从而得到可得 AC=FC AG=FG ，再由三角形中位线定理可得 G∥BC 从而得到 ∠OGC=∠OCG ,可证得结论： (3)设边长为x,由(2)可表示出BF的长，然后在Rt△ABF中，由勾股定理可 得关于x方程即可求得答案. 【详解】（1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴、AB=BC,∠ABF=∠EBC=90° 18 在△BCE和△BAF中， :AB=BC,∠ABF=∠EBC=90°，BF=BE, △BCE≌△BAF(SAS) (2)证明：，△BCE≌△BAF, ∴.∠BCE=∠BAF, :∠BEC=∠MEG ∴.∠AGE=∠EBC=90°， ∴CG⊥AF ,CE平分∠ACB,即CG是AF的垂直平分线， ∴.AC=FC,AG=FG, .OA=OC, .OG∥BC, ∴.∠OGC=∠FCG. ∠OCG=∠FCG ∴.∠0GC=∠OCG, ∴.0G=0C: (3)解：设AB=BC=x,则AC=FC=V2x, 19 .BF-FC-BC-(1)x 在Rt△ABF中，AF2=BF2+AB2, :(2-2=[5-x+, 解得： x2=2-V2 2,即 AB=2-V2 2 2-√2 ∴.正方形ABCD的面积为2. 题型五根据正方形的性质证明 13.如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，满足DE=3BE,过点E 作EN⊥EA,交DC于点N,连接AN交BD于点F,M为BC边中点，连接FM, FM 则DF的值为( B √34 34 10 √10 A.4 B.2 C.3 D.2 【答案】A 【分析】设正方形边长为4a,通过作辅助线构造相似三角形△AGEANHE,求 20 出N为CD中点，再利用△ADF∽aPBF,求出F点位置，最后构造直角三角形 利用勾股定理计算FM与DF的比值. 【详解】解：设正方形ABCD边长为4a,过点E作EG⊥AD于G,EH⊥CD于 H A G M D N HC ,四边形ABCD是正方形， .∠ADC=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°，AD=AB=BC=CD=4a, ∴.BD=VAB2+AD2=4V2a, .DE=3BE, DE 3 .DB4' .EG⊥AD于G,EH⊥CD于H, ∴.EG∥AB,EH∥BC, ∴.△DEG∽aDBA,DEH△DBC, GE DG DE EH DH DE .AB DA DB'BC DC DB' EG3.HBC=30.GD=3a,DH=3a 3 21 .'.AG=AD-GD=a, .EG⊥AD于G,EH⊥CD于H, .∠DGE=LDHE=90°， 又∠ABC=90°， ∴.四边形GDHE是矩形， ∴.DH=EG=3a,∠GEH=90°， ,EN⊥EA, ∴.∠AEN=90°， ∴.∠AEG+∠GEN=90°， 又.∠GEH=90°， ∴.∠GEN+∠NEH=90°， .∠AEG=∠NEH, 又，∠AGE=∠NHE=90° ∴.△AGE∽aNHE, NH_HE_30-1 AG GE 3a .'NH=AG=a, ∴.DN=DH-NH=3a-a=2a, 22 .N为CD中点， 延长AW交BC的延长线于点P, B F D p .ADl BC, ∴.∠DAN=∠P,∠D=∠NCP=90 又.∵DN=CN=2a, △ADN≌△PCN(ASA) .'CP=AD=4a, ∴.BP=BC+CP=8a, AD∥BP, ∴.△ADF∽△PBF, DF=AD=4a=1 BF BP 8a 2' 1 4 ·DF=BD=×4√2a= -a 3 3 3 23 BF=2BD=8V2。 3 3”; 过点M作M0⊥BD于， .∠DBC=45°， ∴.△BQM是等腰直角三角形， ,M是BC中点， .'BM=2a, ∴.BQ=Mg=V2a, :0-ar-0-85-5-53。 3a, 在RIAFOM 9 217 34 .DF 4W2 4· 3 a 14.在正方形ABCD中，AB=4,P是正方形ABCD内的一点，连接PA,PB, L.S APCD PC,PD,记△PAB的面积为， D的面积为.若8=38，则P1+PB的最 小值是 24 【答案】25 【分析】先求出AM的长度，根据轴对称求出AA的长度，再根据勾股定理求出 AB 的长度，最后根据两点之间，线段最短，即可得答案 【详解】解：如下图，过点P作EF⊥AB,过点P作MN∥AB,作点A关于直线 MN 的对称点， M A' D EF- F 四边形 是正方形， B W ABCD ∠DAB=∠ADC=90°AB=BC=CD=AD=4 EF⊥AB ∴.∠AEF=90° ∴，AD∥EF 25 .∠DFE=90° S=xABxPE.S:=xCDx PF.S:=3 .PF=3PE ∴PF=3,PE=1 :MN∥ABAD∥EF∠DAB=90° .AM=PE=1 1 ..AM=A'M=1 :.AA'=2 PA+PB 的值最小， :.A',P,B 三点共线， 在Ra4AB中，AB=VAB2+AF=6+4=2V5 :PA+PB 的最小值是25 15.如图，在正方形ABCD中，点E是AD边的中点，连接BE,CE. E D (I)求证：△ABE≌aDCE: (2)若正方形ABCD的边长为4，求△BCE的周长. 26 【答案】(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.BA=CD,∠A=∠D=90° :点E是AD边的中点， ∴.AE=DE △ABE≌ADCE(SAS) (2)45+4 【分析】(1)根据正方形的性质结合SAS即可证明： (2)先对Rt△ABE运用勾股定理求解BE,然后由全等三角形的性质即可得到 CE 的长度，即可求解△BCE 周长 【详解】(1)略 (2)解：.四边形ABCD是正方形 AD=AB=BC=4,∠A=90 ,点E是AD边的中点 .'AE=DE=2 BE-A+-25 .'△ABE≌ADCE ∴.CE=BE=2V5 27 ∴.△BCE的周长=BC+CE+BE=4+2V5+2N5=45+4 题型六正方形折叠问题 16.如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位 置，折痕PQ的长为( ) A.2 B.√2 C.1 D. 2 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识 点是解题的关键. 根据正方形的性质得到∠I=∠2=45°，由折叠的性质得到PO=PB,根据等腰三角 形的性质得到∠1=∠3=45°，推出∠BP0=90°，同理∠B00=90°，得到四边形 BPOQ是正方形，根据正方形的性质得到PO=B0=2AC,于是得到结论。 2 【详解】解：如图， 28 3 ,四边形ABCD是正方形，AB=BC=2 .∠1=∠2=45°，∠ABC=90°， ∴.AC=VAB2+BC2=22, 由折叠的性质得，PO=PB, ∴∠1=∠3=45° ∴.∠BPO=180°-∠PBO-∠POB=90° 同理∠BQ0=90°， .四边形BPO0是正方形， :P0=B0=)4C=V5 故选B. 17.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落 在CD边上的点B处，点A的对应点为点A,且BC=3,则AM的长为 29 【答案】2 【分析】设AM=x,连接BM,MB',求出DB'=6,然后在Rt△ABM和RtMDB' 中，由勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的 性质，由勾股定理得出方程是解题的关键 【详解】解：设AM=x, 连接BM,MB,如图所示： M B :四边形ABCD是正方形， .∠A=∠D=90°.，AB=AD=CD=9, .B'C=3, ∴.DB'=6, 在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2, 30 在RtAMDB'中，MD2+DB2=B'M2, 由折叠的性质得：MB=MB', .'AB2+AM2=BM2=B'M2=MD2+DB", 即9+=(9-x+6 解得：x=2, 即AM=2. 故答案为：2. 18.在正方形纸片ABCD中，点M、N分别是BC、AD上的点，连接MN. -D 图1 图2 (1)问题探究：如图1，作DD'⊥MN,交AB于点D',求证：MN=DD': (2)问题解决：如图2，将正方形纸片ABCD沿过点M、N的直线折叠，点D的 对应点D恰好落在AB上，点C的对应点为点C',若BD'=12,CM=4,求线段 MN 的长. 【答案】(1)见解析 (2)MN=610 31 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定 与性质，翻折的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形中的十字架模型是解 题的关键 (1)过点N作NH⊥BC于H,利用ASA证明△ADD'≌aHNM,得MN=DD': (2)连接MD',DD',设正方形的边长为x,由勾股定理得， BD2+BM2=D'C2+C'M2 解方程可得”的值，利用勾股定理求出DD,再根据 (1)知，DD'=MN,从而解决问题. 【详解】（1)解：证明：过点N作H⊥BC于H, D 四边形 是正方形， B 图1 ABCD ∴.AD=AB ∠DAB=∠ABM=90° ·∠NHB=90° ·四边形 ABHN 是矩形， ∴.AB=HN .DD'⊥MN 32 ∴.∠DON=90° ∴.∠OWD+∠ODN=90° ∠OND+∠MNH=90° ∴.∠ODN=∠MNH .∠DAD'=∠NHM AD=NH :△ADD'≌aHNM(ASA) ∴MN=DD (2)(2)连接MD',DD', A D B M 图2 由折叠的性质得到：C'M=CM,CD=C'D', 设正方形的边长为x, 由勾股定理得，BD2+BM2=D'C2+C'M2, :122+(x-4)=x+4 解得：x=18, .AB=AD=18 33 ∴.AD'=AB-BD'=18-12=6 由勾股定理得，DD=VAD+AD=V82+6=V360=60 .MN 的垂直平分线， 由(1)知，DD'=MN, .MN=6/10 题型七求正方形重叠部分面积 19.如图，三个边长为6cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点0是其中 一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为() A.9cm2 B.18cm2 C.12cm2 D.24cm2 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接OD, OC,由正方形的性质可得Saam=Som=4Eam,证明△OBD2△OFC可得 S边形0EDrF=SAOCD 进而可求解。 【详解】解：连接OD,OC, 34 由题意知：四边形ABCD,四边形OMNP都是正方形， 1 ∠E0F=∠D0C=90°，0D=0C,∠0DE=∠0CF=45°，Sas=Sam= S正方形ABCD, 4 ∴.∠EOD=∠FOC 在aOED和△OFC中， ∠EOD=∠FOC OD=OC ∠ODE=∠OCF' △OED≌△OFC(ASA) SAOED SAOFC ∴Sg边形oEDr=S△ocn 1 ∴.S重叠部分= SE方形BcD=号x62=18(cm2）. 2 2 故选：B. 20.如图，正方形OMNP的顶点O与正方形ABCD的对角线交点O重合，正方形 ABCD OMNP 和正方形“ 的边长都是2cm,则图中重叠部分的面积是 cm2 35 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变 的，且总是等于正方形ABCD面积的4. 根据题意可得：△AOG≌DOF(ASA),所以SonG=S.am=SEO, 4 从而可求得其 面积 【详解】解：如图， M 正方形 和正方形 的边长都是 ABCD OMNP 2cm ∴.OA=OD∠AOD=∠POM=90°∠OAG=∠ODF=45° .∠AOG=∠DOF, 在△AOG和△DOF中， ∠AOG=∠DOF OA=OD ∠OAG=∠ODF' 36 ∴△AOG≌aDOF(ASA) So6S4m4S动om=X2'- 则图中重叠部分的面积是lcm2, 故答案为：1. 21.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=4.点P在边CB上运动，点C 关于点P的对称点为点O,以PO为边在BC上方作正方形PQMN,设CP=x( 0<x<4、 M (备用图) (备用图) (1)AC的长为 (2)求线段BQ的长（用含x的代数式表示）； (3)当正方形POMN与△ABC重叠部分的图形为四边形时，求x的取值范围： (4)连接BN,当BN所在直线将正方形PQMN的面积分成1：2两部分时，直接写 出x的值. 【答案】(1)3： 37 4-2x(0<x≤2) (2) G= 2x-4(2<x<4): (3)0<xs612 5或7 x<2: 812 (4)5或5· 【分析】(1)利用勾股定理即可求解： (2)分0<x≤2和2<x<4两种情况解答即可求解； (3)分点M落在AB上和点N落在AB上两种情况，画出图形，利用三角函数 解答即可求解： (4)分点O在边BC上和点O在边BC的延长线上两种情况，分别画出图形解答 即可求解. 【详解】(1)解：.∠C=90°，AB=5,BC=4, AC=VAB-BC-4=3 故答案为：3. (2)解：点C关于点P的对称点为点， ∴.CP=GP=x, 当0<x≤2时，BG=BC-CP-GP=4-2x: 当2<x<4时，BG=CP+GP-BC=2x-4. 38 4-2x(0<x≤2) 综上， BG= 2x-4(2<x<4). (3)解：当点M落在AB上时，如图①， A M C PO B 图① tan B=MO=AC_3 BO BC 4 小424，解得x=。 x=3 5, 0<xs6 5; 当点N落在AB上时，如图②， A M ▣ C P B 图② .tan B= PN AC 3 BP=BC4, 心4-，解得x=2 7， 1 .7 ≤x<2 39 612 纵上，x的取值范围为0<x 5或7≤r<2 (4)解：分两种情况： 当点O在边BC上时，如图③，BN与M0的交点为D, :PN∥Mg, △BD0∽aBNP, DO BO .PN PB' De4-2x 即x4-x’ 解得D0=(4-2x) 4-x ·DM=Mg-D0=x-x(4-2y￥2 4-x4-x’ 1 S.AOPMN-DM=74-8-2x .BN所在直线将正方形PQMN的面积分成1：2两部分， 12 SE方形0w3或3， x 8-2x=1或 x23 或x 16 7 .点Q在边BC上， .0<x≤2， 16 'x= >2 7 40 16 x=7不合，舍去. 8 .. 5 A M D B 图③ 当点Q在边BC的延长线上时，如图④， A M Q P B O 图④ 由图可知，BC=4,PB=4-x, .5.m-PPN(- 2’ :BN所在直线将正方形PQMN的面积分成I:2两部分， S.PAN=1 2 .SE方形Pen3或3， 4x-x2 2= 3 3, 12 12 解得x=5或x=7, 41 :点Q在边BC的延长线上， ∴.2<x<4, 12 =7不合题意，舍去， 5· 8 综上，当BN所在直线将正方形PQMN的面积分成1：2两部分时，x的值为5或 12 5. 题型八添一个条件使四边形是正方形 22.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,添加下列一个条件，能 使矩形ABCD成为正方形的是( B A.AO=AD B.AC⊥BD C.∠AOB=60° D.OC=CD 【答案】B 【分析】掌握正方形的判定条件是解题的关键. 有一组邻边相等的矩形是正方形： 对角线互相垂直的矩形是正方形. 42 【详解】解：在矩形ABCD中， 当AO=AD时不能判定四边形ABCD是正方形，故A不符合题意； 当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形，故B符合题意： 当∠AOB=60°时不能判定四边形ABCD是正方形，故C不符合题意： 当OC=CD时不能判定四边形ABCD是正方形，故D不符合题意. 23.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条 件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD:② AC=BD ∠ADC=90° ；③ 则正确的组合是 (只需填一种组合即可). 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱 形的判定是解题的关键， 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可. 【详解】解：当选择①AC⊥BD;②AC=BD时， ,四边形ABCD是平行四边形，当AC⊥BD, 43 .四边形ABCD是菱形， AC=BD, :40=0C=0B=4C=BD 2 2 ∴.△AOB,△COB均是等腰直角三角形， ∴.∠ABC=∠AB0+∠CB0=45°+45°=90°， .四边形ABCD是正方形： 当选择①AC⊥BD;③∠ADC=90°时， ,四边形ABCD是平行四边形，当AC⊥BD, .四边形ABCD是菱形， .∠ADC=90°， .四边形ABCD是正方形： 当选择②AC=BD;③∠ADC=90°， 由于四边形ABCD是平行四边形，若AC=BD或∠ADC=90°， 均只能得到四边形ABCD是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴.选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）. 24.在矩形ABCD中，AB>AD,图1中，点E在AB边上，AE=CE;图2中， 44 点P在AB边上，AP=AD,点Q是BC的中点.请仅用无刻度的直尺按要求画图 (保留作图痕迹，不写作法)· E B 图1 图2 (1)在图1的CD边上作出点F,使四边形AECF为菱形. (2)在图2的CD边上作出点G,使四边形APGD为正方形. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)连接AC,BD相交于点O,则点O为AC的中点，也是菱形AECF 的对角线交点，连接EO并延长交CD于点F,则点F即为所求； (2)连接AC,BD交于点O,连接QO并延长交AD于点M,则点M为AD的中 点，连接DP交MO于点V,则DP为正方形APGD的对角线，N为DP的中点， 也是正方形APGD的对角线交点，连接AN并延长交CD于点G,则点G即为所 求. 【详解】(1)解：如图1所示，连接AC,BD相交于点O,连接EO并延长交 45 于点F,连接“，则点F即为所求， CD ABCD CD∥ABAO=CO 在矩形 中， ∴.∠OCF=∠OAE .∠COF=∠AOE AO=C0 .△COF≌△AOE ∴CF=AE 又CF∥AE, 四边形 AECF 是平行四边形， ·AE=CE ·四边形 AECF 是菱形 D E B 图1 (2)解：如图2所示，连接AC,BD交于点O,连接QO并延长交AD于点M, 连接DP交MQ于点N,连接AW并延长交CD于点G,连接GP,则点G即为所 求， ABCD 四边形 是矩形， 46 ∴.DO=BOAO=COCD∥ABAD∥BC∠DAP=90° “点2为C中点， 00/AB∥cD,0Q=)AB=cD 2 2 1 CD, MQ=AB-CD,OM=24B- 点M为D的中点， :MN∥AP∥DG :在△MDG中，N-G,在ADMp中，MN=4D, 2 ∴.DG=APDG∥AP 四边形 PGD 是平行四边形， 又：AD=AP,∠DAP=90°， APGD 四边形 是正方形. D M 二二 A B 图2 47