3.2探索三角形相似的条件第4课时课件+2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦黄金分割的定义、黄金比计算及应用，以上海东方明珠等生活实例导入，通过五角星中相等角、线段及相似三角形的探究，搭建从具体图形到抽象概念的学习支架，衔接相似三角形知识。 其亮点在于结合东方明珠、金字塔等实例培养数学眼光，通过五角星相似推导黄金比方程发展数学思维，例题练习规范表达培养数学语言。归纳反思梳理黄金分割点性质等，助学生系统掌握，也为教师提供清晰教学路径。

第三章　3.2　探索三角形相似的条件 第4课时　黄金分割 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 素养目标 2.能利用黄金分割求线段的长度. 1.理解并掌握黄金分割和黄金比的概念； Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 2 情境引入 黄金分割在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典.如图，以著名的上海东方明珠广播电视塔为例，塔高468米，其上球体位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，极具审美效果. 探究新知 A B C L K D E G H F 一个五角星如图所示 从图中找出相等的角、相等的线段. 根据五角星的对称性， 相等的角：∠A=∠E=∠G=∠B=∠K ∠KLC=∠ALD=∠ADL=∠EDF=∠EFD=∠GFH …… 相等的边：AD=AL=ED=EF=GF=GH=BH=BC=KC=KL AC=BL=KD=EL=KH=GC=AF=GD=EH=BF …… Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 4 探究新知 一个五角星如图所示 你能在图中找出两对相似比不同的相似三角形吗？ 如△ACD∽△ABF，△FGH∽△DGC A B C L K D E G H F Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 5 知识梳理 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图)，如果=，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的 ，AC与AB的比叫作 . 黄金分割点 黄金比 例　(课本P71例4)计算黄金比. 解　由=，得AC2=AB·BC. 设AB=1，AC=x，则BC=1-x. ∴x2=1×(1-x)， 即x2+x-1=0. 解这个方程，得 x1=，x2=(不合题意，舍去). 所以，黄金比=≈0.618. 探究新知 小亮认为 ，你同意他的看法吗？说说你的理由. 度量、计算 ∵AG = AB，AD = BC 易证△ACD∽△AGC. A B C L K D E G H F Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 8 归纳总结 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图)，如果 ，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比. A B C Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 9 反思感悟 ①把一条线段黄金分割后，得到三条线段，即原线段、较长线段、较短线段，因此黄金分割也可叙述为：较长线段是原线段与较短线段的比例中项；②任意一条线段都有两个黄金分割点，两个点关于线段的中点中心对称；③因为黄金分割的数值是一个无理数，为了计算方便有时取近似值0.618. 例题练习 计算黄金比. 设AB＝1，AC＝x， ∴ x2＝1×(1－x)， 即x2＋x－1＝0 解这个方程，得 ， (不合题意，舍去) 则BC＝1－x 所以，黄金比 解：由 ，得 AC2＝AB·BC A B C Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 11 探究新知 较长线段 原线段 ＝ 较短线段 较长线段 比值称为黄金比，近似值为0.618 线段AB被点C黄金分割 黄金分割点 黄金比是一个比值，它没有单位! A B C Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 12 跟踪训练　(1)已知线段AB上的点C满足关系式：AC2=BC·AB，且AB=2，则AC的长为 A.-1或3- B. C.-1 D.3- 解析　∵AC2=BC·AB， ∴点C是AB的黄金分割点， ∴AC=AB=×2=-1. √ (2)如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形ABCD为黄金矩形，点E，F分别在边BC，AD上，四边形ABEF为正方形，已知DF=-1，那么AB的长为 A.+1 B. C.2 D. 解析　设AB=x，则AF=AB=x.又∵AD=AF+DF，且DF=-1，∴AD=x+-1.矩形ABCD为黄金矩形，由黄金矩形的定义可知=.将AB=x，AD=x+-1代入，得=，解得x=2，经检验，x=2是原方程的根，即AB=2. √ 探究新知 图1是古希腊时期的帕提侬神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成图2中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现， . 点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？ 图1 A B D C E F 图2 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 15 探究新知 因此点E是AB的黄金分割点. 是黄金比， (即 ) 也就是说，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比. 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形. A B D C E F 图2 BC=AE Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 16 课堂小结 黄金分割 探究新知 A B C 黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段有两个黄金分割点. 如图，点C和点D都是线段AB的黄金分割点. D Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 18 探究新知 黄金分割被应用于各种设计与创作当中. 《蒙娜丽莎》 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异. 但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 19 1.已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，下列各式不正确的是 A.= B.AP2=PB·AB C.= D.= 随堂演练 √ 2.生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比大约为黄金比(比值接近0.618)，可以增加视觉美感.若图中b为4米，则a约为_____米.(结果精确到一位小数)  随堂演练 2.5 解析　∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴≈0.618， ∴a≈0.618b=0.618×4≈2.5(米). B Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 22 D Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 23 3.符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感.如图所示的五角星中，C，D两点都是AB的黄金分割点，若AB=2，则AC的长是　　　.  随堂演练 -1 解析　∵点C是AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=2， ∴AC=AB=×2=-1. 4.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE·AB.已知AB为4米，则线段BE的长为多少米(结果保留根号)？ 随堂演练 解　∵BE2=AE·AB，AB=4米， 设BE=x米，则AE=(4-x)米， ∴x2=4(4-x)，∴x2+4x=16， ∴x1=2-2，x2=-2-2(舍去). ∴线段BE的长为(2-2)米. B Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 26 小结 黄金分割 定义 一条线段有两个黄金分割点 黄金比 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 27 练习1 如图，若点D是线段 的黄金分割点 ， ，则AD的长是( ) A.1 B. C. D. 解析：∵点D是线段 的黄金分割点 ， ， ∴ .故选：B. 练习2 大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，点P为 的黄金分割点 ，且 ，如果 的长度为 ，那么 的长度是( ) A. B. C. D. 解析：∵ ， 的长度为 ，∴ ∴ ∴ . 故选：D. 练习3 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度 与瓶高 之比为黄金比 时，可以敲击出音符“ ”的声音.若 ，且敲击时发出音符“ ”的声音，则液面高度 约为( ) A. B. C. D. 解析：∵液面高度 与瓶高 之比为黄金比 ， ∴ ，故选：B. $