专题11 带电粒子在空间电磁场中的运动-2026年高三物理暑期能力提升讲义

该高中物理高考复习讲义聚焦带电粒子在空间电磁场中的运动专题，涵盖立体空间运动分析、螺旋式运动分解等核心考点，按“方法解读-常见类型-例题精讲”逻辑架构知识点，通过考点梳理、降维法指导、分阶段运动分析及真题训练，帮助学生构建空间运动问题的解题框架。 讲义突出科学思维培养，采用模型建构策略，如例1将粒子运动分解为辐向电场加速、匀强电场偏转、磁场螺旋运动三阶段，例2通过不同场条件下轨迹拆解训练科学推理能力。针对性训练含浙江、广东等联考真题，分层设计保障复习效果，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供系统教学支持。

高三物理暑期能力提升 专题11带电粒子在空间电磁场中的运动 【方法解读】 1.带电粒子在立体空间中的运动 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两个互相垂直的分运动来求解。 2.带电粒子的螺旋式运动 空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做螺旋式运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 3.常见带电粒子在立体空间中的运动类型 常见类型 立体视图 三视图 等间距螺旋线运动 磁场进磁场 yOx平面　　　yOz平面 电场进磁场 yOx平面　　　yOz平面 磁场进电场 例1 现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ是圆弧形均匀辐向电场，半径为R的中心线O'O处的场强大小处处相等，且大小为E1，方向指向圆心O1；在空间直角坐标系O－xyz中，区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E2（大小未知）；区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间，空间内充满平行于xOy平面，与x轴负方向成45°角的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电的粒子以不同速率先后从O'沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用. （1）若某一粒子进入辐向电场的速率为v0，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中，已知P点坐标为（L，，0），求该粒子的比荷和区域Ⅱ中匀强电场E2的大小. （2）保持（1）问中E2不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打在粒子收集板上，求该粒子的比荷需要满足的条件. 例2 　(1)如图甲所示，在空间中存在水平向右、沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在原点O有一个质量为m、带电荷量为q的带正电的粒子以速度v0垂直x轴射入磁场，不计粒子的重力，分析粒子的运动情况，求粒子运动轨迹距离x轴的最远距离。 (2)如图乙所示，若粒子的速度方向与x轴正方向的夹角为θ。 ①试分析粒子的运动情况； ②求粒子运动的轨迹距x轴的最远距离及轨迹与x轴相邻交点之间的距离。 (3)如图丙所示，若在空间再加上沿x轴正方向电场强度大小为E的匀强电场，粒子速度方向仍与x轴正方向成θ角。 ①试分析粒子的运动情况； ②求粒子离x轴的最大距离； ③求粒子第三次(起始位置为第零次)与x轴相交时的位置坐标。 拓展　若电、磁场方向均沿x轴正方向，粒子射入磁场的方向与x轴垂直，如图所示，粒子与x轴的交点坐标x1、x2、x3…满足什么关系？ 【针对性训练】 1 . (浙江诸暨市2025年5月高三适应性考试试题) 如图甲所示是托卡马克装置的结构示意图，其主要包括环形真空室、极向场线圈、环向场线圈等，在环形真空室内注入少量氢的同位素氘和氚，提高温度使其发生聚变反应。如图乙所示为环形真空室的示意图，它的轴线半径为r，横截面的圆半径为R，假设环形真空室内粒子质量为m、电荷量为+q，粒子碰到真空室的室壁立即被吸收。 【提示：空间角是三维空间中的角度度量，用于描述从一个点出发所能观察到的立体角，半顶角为θ的圆锥形发散空间角为】 （1）写出氘和氚核聚变的核反应方程式； （2）若粒子以v0速度沿真空室轴线做匀速圆周运动，求极向场线圈产生磁场的大小； （3）将装置中相邻环向场线圈简化为两个平行线圈，通电后在真空室内产生磁感应强度为B0的匀强磁场，如图丙所示。位于两个线圈轴线中点的粒子源O向右侧各个方向均匀发射速度大小为的粒子。 ①若某粒子发射时速度方向与x轴的夹角θ=37°，求该粒子做螺旋线运动的螺距； ②求粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比； （4）实际装置的环向场线圈产生类似“磁瓶”形状的非匀强磁场来约束粒子，如图丁所示。已知沿轴线方向的磁感应强度最大和最小的关系为：，在粒子运行过程中，垂直轴线方向速度的平方与沿轴线方向的磁感应强度的大小之比为一常数，即。位于轴线中点的粒子源O向右侧各个方向均匀发射粒子（所有粒子均没有碰到室壁），求粒子能被约束在“磁瓶”内的比例。 2 (2025·广东省六校联考)如图所示，三维坐标系O-xyz内存在着正四棱柱空间区域，正四棱柱的截面OPMN水平且与ACDF-IJGH的两个底面平行，其中A点的坐标为(0，L，0)，C点的坐标为(0，L，L)，正四棱柱ACDF-OPMN空间处于沿y轴方向的匀强电场中，OPMN-IJGH空间处于沿y轴负方向的匀强磁场中，质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0从A点沿AD方向射出，经电场偏转后恰好从截面OPMN的中心进入磁场区域，不计粒子的重力。 (1)求匀强电场的电场强度； (2)若粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，求匀强磁场的磁感应强度B的大小。 3 某实验装置的基本原理如图1所示，平行正对放置半径均为R、间距为d的圆形金属板，M、N的圆心分别为O1、O2，位于O1处的粒子源能向两板间各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，不计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。 图1 (1)仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿O1O2方向的匀强电场。求粒子源发射出的粒子速度大小v0满足什么条件时能全部击中N板？ (2)仅在两板间加方向沿O1O2方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子速度大小v满足什么条件时能全部击中N板？ (3)若两板间同时存在方向都沿O1O2方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，粒子源发射出速度大小均为v，方向垂直于O1O2连线的粒子，全部落在半径为的圆周上(<R)，求电场强度的大小。 4 某离子加速偏转实验装置部分的示意图如图2所示，z轴正方向垂直于xOy平面向外。α粒子在加速器内经电压U加速后，在S(0，L，0)点沿x轴正方向进入Ⅰ区域，该区域沿x轴方向的宽度为L，区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小E＝。α粒子经偏转后进入Ⅱ区域，该区域沿x轴方向的宽度为3L，内部某圆形区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝。α粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转90°，再进入Ⅲ区域，该区域存在沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为2B，α粒子离开Ⅲ区域时速度方向平行于xOz平面，且与z轴负方向成45°角。已知α粒子的电荷量为2e、质量为m，不计粒子重力。求： 图2 (1)α粒子在Ⅰ区域内沿y轴方向的侧移量y1； (2)Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积Smin； (3)Ⅲ区域沿x轴方向的可能宽度d。 5 (2026湖南长沙质检）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中，0＜z≤d空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；－3d≤z＜0、y≥0的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为B，方向平行于xOy平面、与x轴正方向夹角为45°；z＜0、y≤0的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场.质量为m、带电量为＋q的离子甲，从yOz平面第三象限内距y轴为L的点A以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为β，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ.不计离子重力. （1）当离子甲从A点出射速度为v0时，求电场强度的大小E； （2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm； （3）离子甲以的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，求第四次穿过xOy平面的位置坐标（用d表示）； （4）当离子甲以的速度从O点进入磁场Ⅰ时，质量为4m、带电荷量为＋q的离子乙，也从O点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt（忽略离子间相互作用）. 6 某离子束实验装置的基本原理如图甲所示，在半径为R的圆柱形底面建立空间直角坐标系，坐标原点与圆柱底面圆心重合。圆柱形区域内存在沿z轴负方向、电场强度为E的匀强电场，圆柱形区域正上方存在沿x轴负方向、磁感应强度为B0的匀强磁场。如图乙所示，从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，经电场加速后从圆柱形边界正上方沿y轴负方向进入磁场，恰好在圆柱顶面圆心处与y轴正方向成θ角斜向下射出磁场，进入圆柱形区域内的电场中，最后落在圆柱底面上坐标为(0，R，0)的D点(图中未画出)，不计离子重力。 (1)求加速装置的电压U； (2)求圆柱形区域的高度h； (3)在离子进入圆柱形区域时，在圆柱形区域内加一个磁感应强度大小为B0、方向沿z轴周期性变化的磁场，以z轴正方向为正方向，离子进入圆柱形区域的时刻为计时起点，磁场的变化如图丙所示。已知磁场方向变化的周期为，tan θ＝2，求该离子打在圆柱形底面的位置坐标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三物理暑期能力提升 专题11带电粒子在空间电磁场中的运动 【方法解读】 1.带电粒子在立体空间中的运动 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两个互相垂直的分运动来求解。 2.带电粒子的螺旋式运动 空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做螺旋式运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 3.常见带电粒子在立体空间中的运动类型 常见类型 立体视图 三视图 等间距螺旋线运动 磁场进磁场 yOx平面　　　yOz平面 电场进磁场 yOx平面　　　yOz平面 磁场进电场 例1 现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ是圆弧形均匀辐向电场，半径为R的中心线O'O处的场强大小处处相等，且大小为E1，方向指向圆心O1；在空间直角坐标系O－xyz中，区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E2（大小未知）；区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间，空间内充满平行于xOy平面，与x轴负方向成45°角的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电的粒子以不同速率先后从O'沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用. （1）若某一粒子进入辐向电场的速率为v0，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中，已知P点坐标为（L，，0），求该粒子的比荷和区域Ⅱ中匀强电场E2的大小. （2）保持（1）问中E2不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打在粒子收集板上，求该粒子的比荷需要满足的条件. 答案　（1）＝　E2＝　（2）≤≤ 解析　（1）（过程一：粒子在辐向电场中做匀速圆周运动）某一粒子进入辐向电场的速率为v0，粒子在辐向电场中做匀速圆周运动，由电场力提供向心力可得q0E1＝m0 【点拨】分析圆周运动的关键是找到向心力的来源. 解得该粒子的比荷为＝ （过程二：粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，从O点到P点，粒子沿x轴方向做匀速直线运动，沿y轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动）粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，沿x轴方向有L＝v0t，沿y轴方向有a＝，＝at2 联立解得E2＝ （2）（过程一：粒子在辐向电场中做匀速圆周运动）设粒子的电荷量为q，质量为m，粒子进入辐向电场的速率为v，则粒子在辐向电场中有qE1＝m，解得v＝ （过程二：粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，粒子沿x轴方向做匀速直线运动，沿y轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动）粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，假设粒子都能进入区域Ⅲ中，则沿x轴方向有L＝vt' 沿y轴方向有a'＝，y＝a't'2，vy＝a't' 联立解得y＝，vy＝ 可知所有粒子经过区域Ⅱ后都从P点进入区域Ⅲ中，假设正确.设进入区域Ⅲ的粒子速度方向与x轴正方向的夹角为θ，则有tan θ＝＝1，解得θ＝45° 粒子进入区域Ⅲ的速度大小为v'＝＝ （过程三：粒子在区域Ⅲ中做匀速圆周运动）粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有qv'B＝m 解得r＝＝ 为了保证粒子能够打在粒子收集板上，如图，由几何关系可知粒子在磁场中的半径需要满足≤r≤L，联立解得粒子的比荷需要满足≤≤. 【方法】降维法：从空间立体情境中找到粒子运动的截面图，化“三维”为“二维”，画出粒子在区域Ⅲ中的运动截面图， 例2 　(1)如图甲所示，在空间中存在水平向右、沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在原点O有一个质量为m、带电荷量为q的带正电的粒子以速度v0垂直x轴射入磁场，不计粒子的重力，分析粒子的运动情况，求粒子运动轨迹距离x轴的最远距离。 (2)如图乙所示，若粒子的速度方向与x轴正方向的夹角为θ。 ①试分析粒子的运动情况； ②求粒子运动的轨迹距x轴的最远距离及轨迹与x轴相邻交点之间的距离。 (3)如图丙所示，若在空间再加上沿x轴正方向电场强度大小为E的匀强电场，粒子速度方向仍与x轴正方向成θ角。 ①试分析粒子的运动情况； ②求粒子离x轴的最大距离； ③求粒子第三次(起始位置为第零次)与x轴相交时的位置坐标。 解析　(1)粒子在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，距x轴最远距离等于粒子轨迹圆的直径D1， 由qv0B=m，D1=2R1，得D1=； (2)①粒子初速度v0沿x轴方向的分量v0x=v0cos θ， 在垂直于x轴方向的分量v0y=v0sin θ， 在垂直于x轴的平面内受洛伦兹力，粒子在垂直于x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行于x轴方向做匀速直线运动，即做等距螺旋式运动。 ②由qv0yB=m，得D2=2R2=。 粒子做匀速圆周运动的周期T== 轨迹与x轴相邻交点之间的距离 Δx=v0cos θ·T=； (3)①将粒子的初速度v0分解为沿x轴方向的分速度v0x和垂直x轴方向的分速度v0y，v0x=v0cos θ，v0y=v0sin θ 洛伦兹力方向与x轴垂直，粒子在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行x轴方向在静电力作用下做匀加速直线运动，粒子做螺距逐渐增大的螺旋式运动。 ②由qv0yB=m，得粒子做圆周运动的半径 R3==， 粒子离x轴的最大距离D3=2R3=。 ③在x轴方向，qE=ma，粒子第三次与x轴相交时的位置坐标x=v0xt+at2， 粒子从射出至第三次到x轴时间t=3T==， 故x=(v0cos θ+)。 拓展　若电、磁场方向均沿x轴正方向，粒子射入磁场的方向与x轴垂直，如图所示，粒子与x轴的交点坐标x1、x2、x3…满足什么关系？ 解析　粒子做螺旋式运动，且到达x轴的时间间隔相等，在x轴方向做初速度为0的匀加速直线运动，故x1∶x2∶x3…=1∶4∶9…。 【针对性训练】 1 . (浙江诸暨市2025年5月高三适应性考试试题) 如图甲所示是托卡马克装置的结构示意图，其主要包括环形真空室、极向场线圈、环向场线圈等，在环形真空室内注入少量氢的同位素氘和氚，提高温度使其发生聚变反应。如图乙所示为环形真空室的示意图，它的轴线半径为r，横截面的圆半径为R，假设环形真空室内粒子质量为m、电荷量为+q，粒子碰到真空室的室壁立即被吸收。 【提示：空间角是三维空间中的角度度量，用于描述从一个点出发所能观察到的立体角，半顶角为θ的圆锥形发散空间角为】 （1）写出氘和氚核聚变的核反应方程式； （2）若粒子以v0速度沿真空室轴线做匀速圆周运动，求极向场线圈产生磁场的大小； （3）将装置中相邻环向场线圈简化为两个平行线圈，通电后在真空室内产生磁感应强度为B0的匀强磁场，如图丙所示。位于两个线圈轴线中点的粒子源O向右侧各个方向均匀发射速度大小为的粒子。 ①若某粒子发射时速度方向与x轴的夹角θ=37°，求该粒子做螺旋线运动的螺距； ②求粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比； （4）实际装置的环向场线圈产生类似“磁瓶”形状的非匀强磁场来约束粒子，如图丁所示。已知沿轴线方向的磁感应强度最大和最小的关系为：，在粒子运行过程中，垂直轴线方向速度的平方与沿轴线方向的磁感应强度的大小之比为一常数，即。位于轴线中点的粒子源O向右侧各个方向均匀发射粒子（所有粒子均没有碰到室壁），求粒子能被约束在“磁瓶”内的比例。 【答案】（1） （2） （3）πR，40% （4） 【解析】（1）氘和氚核聚变的核反应方程式 （2）设极向场线圈产生的磁场大小为B，洛仑兹力提供向心力 解得 （3）带电粒子与x轴成θ角射入环向磁场，粒子沿螺旋线运动。 ①设粒子垂直轴向做圆周运动的周期为T，则 设粒子沿轴向上做匀速运动的速度vx，则螺距 解得 L=πR。 ②粒子垂直轴向上做匀速圆周运动，设粒子刚好碰到室壁的角度为θ，洛仑兹力提供向心力 半径 根据速度的分解，有 可得 粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比 解得 （4）中点O处的磁场最弱，设在O处发射粒子的速度为v，与轴线夹角为θ；“磁瓶”的“瓶颈”处磁场最强，粒子运动到此处时速度方向恰好与轴线垂直，则粒子能够被约束在“磁瓶”内，因为洛仑兹力不做功，粒子速度大小始终为v。根据题意可知 可得 即 则角度大于θ的粒子能被约束在“磁瓶”内 可得 2 (2025·广东省六校联考)如图所示，三维坐标系O-xyz内存在着正四棱柱空间区域，正四棱柱的截面OPMN水平且与ACDF-IJGH的两个底面平行，其中A点的坐标为(0，L，0)，C点的坐标为(0，L，L)，正四棱柱ACDF-OPMN空间处于沿y轴方向的匀强电场中，OPMN-IJGH空间处于沿y轴负方向的匀强磁场中，质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0从A点沿AD方向射出，经电场偏转后恰好从截面OPMN的中心进入磁场区域，不计粒子的重力。 (1)求匀强电场的电场强度； (2)若粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，求匀强磁场的磁感应强度B的大小。 答案　(1)，方向沿y轴负方向　(2) 解析　(1)粒子在电场中做类平抛运动，沿AD方向有L=v0t 沿y轴方向有L=at2 沿y轴方向的加速度a= 解得匀强电场的电场强度大小为E= 方向沿y轴负方向。 (2)粒子到达OPMN的中心，如图甲所示，平行于正四棱柱底面的分速度大小始终为v0，带电粒子在平行于正四棱柱底面的方向上做匀速圆周运动，恰好不从四棱柱的侧面飞出，作出圆轨迹如图乙所示 由几何关系可得粒子做圆周运动的半径r=L 由洛伦兹力提供向心力，有qv0B=m 解得B=。 3 某实验装置的基本原理如图1所示，平行正对放置半径均为R、间距为d的圆形金属板，M、N的圆心分别为O1、O2，位于O1处的粒子源能向两板间各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，不计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。 图1 (1)仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿O1O2方向的匀强电场。求粒子源发射出的粒子速度大小v0满足什么条件时能全部击中N板？ (2)仅在两板间加方向沿O1O2方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子速度大小v满足什么条件时能全部击中N板？ (3)若两板间同时存在方向都沿O1O2方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，粒子源发射出速度大小均为v，方向垂直于O1O2连线的粒子，全部落在半径为的圆周上(<R)，求电场强度的大小。 答案　(1)v0≤　(2)v≤　 (3) 解析　(1)速度方向与电场强度方向垂直的粒子击中N板，则全部粒子击中N板。当速度方向与电场强度方向垂直的粒子击中N板边缘时，有 R＝v0t，d＝at2 其中a＝＝ 解得v0＝ 所以，速度大小应满足v0≤。 (2)粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子，做螺旋线运动，垂直磁感应强度方向的分速度大小为vy＝vsin θ 根据洛伦兹力提供向心力qvyB＝ 若粒子全部击中N板，则r≤ 解得v≤。 (3)设粒子在两板间运动时间为t，在磁场中周期为T，则应该满足 t＝(n+)T(n＝0，1，2，3，…) 根据d＝at2 其中a＝ 由qvB＝m、T＝得粒子做圆周运动的周期 T＝ 联立解得E＝。 4 某离子加速偏转实验装置部分的示意图如图2所示，z轴正方向垂直于xOy平面向外。α粒子在加速器内经电压U加速后，在S(0，L，0)点沿x轴正方向进入Ⅰ区域，该区域沿x轴方向的宽度为L，区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小E＝。α粒子经偏转后进入Ⅱ区域，该区域沿x轴方向的宽度为3L，内部某圆形区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝。α粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转90°，再进入Ⅲ区域，该区域存在沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为2B，α粒子离开Ⅲ区域时速度方向平行于xOz平面，且与z轴负方向成45°角。已知α粒子的电荷量为2e、质量为m，不计粒子重力。求： 图2 (1)α粒子在Ⅰ区域内沿y轴方向的侧移量y1； (2)Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积Smin； (3)Ⅲ区域沿x轴方向的可能宽度d。 答案　(1)　(2)πL2　(3)(n+)πL (n＝0，1，2，…) 解析　(1)α粒子经过加速器过程，根据动能定理可得2eU＝mv 解得v0＝ α粒子在Ⅰ区域内做类平抛运动，则有 L＝v0t，y1＝at2，a＝ 联立解得y1＝＝。 (2)α粒子离开Ⅰ区域时速度大小为v，与x轴正方向的夹角为θ，则有v＝，tan θ＝，vy＝at 联立解得vy＝v0，v＝v0＝，θ＝45° α粒子进入Ⅱ区域中圆形区域的匀强磁场中，由洛伦兹力提供向心力得2evB＝m 解得r＝＝L α粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转90°，如图所示 当α粒子轨迹对应弦长等于圆形磁场直径时，圆形磁场的面积最小，则有 R＝r＝L Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积为Smin＝πR2＝πL2。 (3)α粒子进入Ⅲ区域时速度方向与y轴负方向成45°角，将α粒子进入Ⅲ区域时的速度分解到＋x轴方向和－y方向，则有 vx＝v0＝ vy′＝v0＝ 由于磁场方向沿x轴正方向，则α粒子沿x轴正方向以v0做匀速直线运动，同时α粒子在yOz平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得2evy′·2B＝m 解得r2＝L 根据题意有α粒子离开Ⅲ区域时速度方向平行于xOz平面，且与z轴负方向成45°角，由于vx＝v0＝vy′ 则α粒子在yOz平面内做匀速圆周运动离开时速度方向刚好沿z轴负方向，α粒子在Ⅲ区域中的运动时间为 t＝(n＋)T＝(n＋)·＝(n＝0，1，2，…) 则Ⅲ场区沿x轴方向的宽度为 d＝vxt＝v0t＝(n+)πL (n＝0，1，2，…)。 5 (2026湖南长沙质检）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中，0＜z≤d空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；－3d≤z＜0、y≥0的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为B，方向平行于xOy平面、与x轴正方向夹角为45°；z＜0、y≤0的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场.质量为m、带电量为＋q的离子甲，从yOz平面第三象限内距y轴为L的点A以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为β，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ.不计离子重力. （1）当离子甲从A点出射速度为v0时，求电场强度的大小E； （2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm； （3）离子甲以的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，求第四次穿过xOy平面的位置坐标（用d表示）； （4）当离子甲以的速度从O点进入磁场Ⅰ时，质量为4m、带电荷量为＋q的离子乙，也从O点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt（忽略离子间相互作用）. 答案　（1）E＝　（2）vm＝　（3）（d，d，0） （4）Δt＝ 解析　（1）离子甲从A点射入电场，由O点沿＋z方向射出，只受沿－y方向电场力的作用，所以在＋z方向上，离子甲做匀速直线运动，在从A到O的运动过程中，在＋z方向上有 L＝v0cosβ·t 在＋y方向上有0＝v0sinβ－at 由牛顿第二定律有Eq＝ma 解得E＝ （2）离子甲进入磁场Ⅰ中，当离子甲运动轨迹与磁场Ⅰ上边界相切时，由洛伦兹力充当向心力有 qv1B＝m，其轨迹半径R1＝d 经半个圆周由（0，2d，0）进入磁场Ⅱ，然后在垂直匀强磁场Ⅱ的平面内运动，由洛伦兹力充当向心力有qv1·B＝m 解得R2＝d 轨迹恰与xOz平面相切，则此时离子甲速度最大，即vm＝v1＝ （3）离子甲以v2＝射入磁场Ⅰ，则离子甲在磁场Ⅰ中的轨迹半径R'1＝，离子甲在磁场Ⅰ中转半个圆周，由y轴上（0，d，0）处第二次穿过xOy面进入磁场Ⅱ，在磁场Ⅱ中的轨迹半径为R'2＝d，离子甲在磁场Ⅱ中偏转半个圆周，由x轴上（d，0，0）处第三次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，速度方向平行于z轴正方向，再在磁场Ⅰ中偏转半个圆周第四次穿过xOy面，轨迹如图1所示，所以离子第四次穿越xOy平面的位置坐标为（d，d，0） 图1 （4）设离子乙的速度为v'2，根据离子甲、乙动能相同可得 mv2＝×4mv'22 解得v'2＝v2 由（3）问可知离子甲在磁场Ⅰ、Ⅱ中运动的轨迹半径分别为 R'1＝，R'2＝d 则离子乙在磁场Ⅰ、Ⅱ中的轨迹半径分别为R″1＝d，R″2＝d 根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图2所示 图2 从O点进入磁场到第一个交点过程，有 t甲＝T甲1＋T甲2＝＋＝ t乙＝＋＝＋＝ 可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点时间差为 Δt＝t乙－t甲＝ 6 某离子束实验装置的基本原理如图甲所示，在半径为R的圆柱形底面建立空间直角坐标系，坐标原点与圆柱底面圆心重合。圆柱形区域内存在沿z轴负方向、电场强度为E的匀强电场，圆柱形区域正上方存在沿x轴负方向、磁感应强度为B0的匀强磁场。如图乙所示，从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，经电场加速后从圆柱形边界正上方沿y轴负方向进入磁场，恰好在圆柱顶面圆心处与y轴正方向成θ角斜向下射出磁场，进入圆柱形区域内的电场中，最后落在圆柱底面上坐标为(0，R，0)的D点(图中未画出)，不计离子重力。 (1)求加速装置的电压U； (2)求圆柱形区域的高度h； (3)在离子进入圆柱形区域时，在圆柱形区域内加一个磁感应强度大小为B0、方向沿z轴周期性变化的磁场，以z轴正方向为正方向，离子进入圆柱形区域的时刻为计时起点，磁场的变化如图丙所示。已知磁场方向变化的周期为，tan θ＝2，求该离子打在圆柱形底面的位置坐标。 答案　(1)　(2)Rtan θ＋　 (3)[－(1－cos 2)，sin 2，0] 解析　(1)设离子进入磁场的速度为v，根据动能定理，有qU＝mv2 离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB0＝m 根据几何关系，有sin θ＝ 解得v＝，U＝。 (2)离子在圆柱形区域内的电场中沿y轴正方向做匀速直线运动，沿z轴负方向做匀加速直线运动，则 沿y轴正方向有R＝vyt＝vtcos θ 沿z轴负方向有h＝vzt＋at2 其中a＝，vz＝vsin θ 解得h＝Rtan θ＋。 (3)在圆柱形区域内加磁场后，离子沿z轴负方向做与第(2)问相同的匀加速直线运动，由(2)可知离子在圆柱形区域内运动的时间t＝tan θ＝ 由磁场方向变化的周期为可知，离子在圆柱形区域内运动时，磁场方向一直沿z轴负方向 在垂直电场方向，即离子的运动在圆柱底面的投影运动为匀速圆周运动，该匀速圆周运动的线速度大小vy＝vcos θ，设该匀速圆周运动的轨迹半径为r′，周期为T，则qvyB0＝m，T＝ 解得r′＝＝，T＝ 设离子做圆周运动转过的圆心角为α，如图所示，则t＝T 解得α＝2 rad 设该离子打在圆柱形底面的位置坐标为(x，y，0)，根据几何关系可知 x＝－r′－r′cos (π－α)＝－(1－cos 2) y＝r′sin (π－α)＝sin 2 则坐标为[－(1－cos 2)，sin 2，0]。 1 学科网（北京）股份有限公司 $