专题 12 带电粒子在组合电磁场中的运动 讲义-2026-2027学年高三物理暑期能力提升

该高中物理高考复习讲义聚焦带电粒子在组合电磁场中的运动专题，覆盖电偏转、磁偏转及运动轨迹分析等核心考点，按“方法解读-模型建构-真题应用”逻辑组织知识点，通过对比表格梳理两种偏转规律，结合分析思路指导与分层真题训练，帮助学生构建解题框架，突破难点。 讲义以科学思维和模型建构为特色，采用“画轨迹-找关键点-分阶段求解”策略，如讲解从电场进入磁场模型时，引导学生结合类平抛规律与圆周运动公式推导边界速度，培养科学推理能力。设置基础到高考真题的分层练习，配合即时反馈，确保复习效率，助力学生提升综合解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

高三物理暑期能力提升 专题12 带电粒子在组合电磁场中的运动 【方法解读】 组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 1.组合场中的两种典型偏转 垂直于电场线进入匀强电场（不计重力） 垂直于磁感线进入匀强磁场（不计重力） 受力情况 电场力FE＝Eq，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹 求解方法 利用类似平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t vy＝t，y＝t2 偏转角φ：tanφ＝＝ 半径：r＝ 周期：T＝ 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 2.常见模型 （1）从电场进入磁场 电场中：匀变速直线运动 ⇓ 磁场中：匀速圆周运动 电场中：类平抛运动 ⇓ 磁场中：匀速圆周运动 （2）从磁场进入电场 磁场中：匀速圆周运动 ⇓ 电场中：匀变速直线运动 （v与E共线） 磁场中：匀速圆周运动 ⇓ 电场中：类平抛运动 （v与E垂直） 3.“磁偏转”和“电偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v0⊥E进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场(不计重力) 受力情况 只受恒定的电场力F＝qE 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 求解方法 利用类平抛运动的规律得x＝v0t，y＝at2，a＝，tan θ＝ 根据牛顿第二定律和向心力公式可得qvB＝m，T＝，t＝T 动能 静电力做的功等于动能变化量 洛伦兹力不做功，带电粒子的动能不变 分析思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 4.常见粒子的运动及解题方法 例 1 (2026·湖南省华师大新高考联盟一模)如图所示的平面直角坐标系xOy中，第二象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁场边界分别为x轴、MN和y轴，M、N两点的坐标分别为(L，0)、(0，-L)。一质量为m、电荷量为+q(q>0)的带电粒子从第二象限的A点沿x轴正方向以初速度v0射出，A点坐标为(-2L，L)，粒子恰好从坐标原点O进入第四象限，之后粒子从MN上的P点(图中未标出)进入磁场，经磁场偏转后从x轴上的Q点(图中未标出)垂直于x轴射出磁场，不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从A点运动到Q点所用的时间t。 答案　(1)　　(2)(+ 解析　(1)粒子的运动轨迹如图所示，在电场中做类平抛运动 则有2L=v0t1，L=a 又qE=ma 联立解得t1=，E=，vy=at1=v0 粒子运动到O点速度与x轴正方向的夹角正切值tan θ==，即θ=60° 粒子运动到O点时的速度v==2v0 在磁场区域，根据几何关系可得r=L 又洛伦兹力提供向心力，有qvB=m 解得B= (2)由几何关系可知，从O点到磁场之间，粒子运动的位移为L， 则运动的时间t2== 在磁场中，粒子运动的周期T== 则运动的时间t3=T= 粒子从A点运动到Q点所用的时间t=t1+t2+t3=(+。 例2 　(2025·福建泉州市一模)利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在如图所示的xOy平面(纸面)内，x<x1的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x轴上方的x1<x<x2区域Ⅱ内存在沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从原点O处以大小为v0的速度垂直磁场射入第二象限，方向与x轴负方向夹角θ=60°，一段时间后垂直x=x1虚线边界进入电场。已知x1=L，x2=L，区域Ⅱ中电场的电场强度E=。求： (1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从原点O出发到离开电场的总时间t； (3)粒子离开电场时的速度大小v。 答案　(1)　(2)　(3)v0 解析　(1)区域Ⅰ内粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动，设在磁场中做圆周运动的半径为R，由几何关系可得 Rsin θ=L 解得R=2L 又qv0B=m 解得区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小 B= (2)粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为120°，在磁场中运动时间设为t1，则t1=T 其中T= 粒子在电场中做类平拋运动，设该粒子的加速度大小为a，在电场中运动时间为t2，沿y轴负方向运动的距离为h，则有qE=ma x2-x1=v0t2 解得t2= 其中h=a 解得h= 由于h<R+Rcos θ=3L，故粒子从电场右边界离开，则总时间t=t1+t2 解得t= (3)由动能定理得qEh=mv2-m 解得v=v0。 【针对性训练】 1.如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场，已知左侧匀强电场的电场强度大小为E、方向水平向右，宽度为L;中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外;右侧匀强磁场的磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向里。一个带正电的粒子(质量为m、电荷量为q、不计重力)从电场左边缘O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到了O点，然后重复上述运动过程，则中间磁场区域的宽度d和带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点时所用的时间t分别是(　　) A.、2 B.、2 C.、2 D.、2 答案　B 解析　带电粒子在电场中加速过程，根据动能定理得qEL＝mv2，得v＝，粒子在两磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律qvB＝m，得r＝。画出粒子的运动轨迹，如图所示， 三段圆弧的圆心构成的三角形是等边三角形，边长为2r，故中间磁场的宽度为d＝rsin 60°＝，粒子在电场中做匀变速直线运动，加速阶段由运动学公式L＝a，根据牛顿第二定律得a＝，解得t1＝，在中间磁场中所用时间t2＝2×，在右侧磁场中的运动时间t3＝，总时间为t＝2t1＋t2＋t3＝2，故B正确。 2 .如图所示，虚线ab上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场Ⅰ，下方存在方向相同、磁感应强度大小为λB的匀强磁场Ⅱ，虚线ab为两磁场的分界线。M、O、N位于分界线上，点O为MN的中点。一电子从O点射入磁场Ⅰ，速度方向与分界线ab的夹角为30°，电子离开O点后依次经N、M两点回到O点。已知电子的质量为m，电荷量为e，重力不计，求: (1)λ的值; (2)电子从射入磁场到第一次回到O点所用的时间。 答案　(1)　(2) 解析　(1)电子在磁场中的运动轨迹如图所示。 设电子在匀强磁场Ⅰ、Ⅱ中做匀速圆周运动的半径分别为r1、r2，电子在磁场中做匀速圆周运动有evB＝① evλB＝② 由于最终能回到O点，由几何关系，可得 r2＝2r1③ 联立①②③，解得λ＝ 。 (2)电子在磁场Ⅰ中的运动周期T1＝ 电子在磁场Ⅱ中的运动周期T2＝ 设电子经过三段轨迹的时间分别为t1、t2、t3，由几何关系可得 O到N的圆心角为60°，则t1＝T1 N到M的圆心角为300°，则t2＝T2 M到O的圆心角为60°，则t3＝T1 电子从射入磁场到第一次回到O点所用的时间为t＝t1＋t2＋t3 联立以上式子，解得t＝。 3.如图所示，在xOy平面内虚线OM与x轴负方向的夹角为45°，虚线OM右侧区域Ⅰ内存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，虚线OM左侧区域Ⅱ内存在沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从原点O沿x轴正方向以速度v0射入磁场，此后当粒子第一次穿过边界线OM后恰好能到达x轴上的P点。原点O与P点间的距离为d，不计粒子受到的重力，求: (1)匀强磁场的磁感应强度大小B; (2)匀强电场的电场强度大小E; (3)粒子从O点射出至第三次穿过边界线OM所用的时间t总。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　由题意，可画出粒子在磁场和电场中的运动轨迹如图所示。 (1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有 qv0B＝m，r＝d 解得B＝。 (2)粒子在电场中做匀减速运动，由动能定理得 －qEd＝0－m 则E＝。 (3)粒子在磁场中运动的周期为T＝ 粒子第一次在磁场中运动的时间为t1＝T＝ 在电场中的加速度为a＝ 粒子第一次在电场中来回的时间为 t2＝2× 粒子第二次在磁场中运动的时间为t3＝T＝ 粒子从O点射出至第三次穿过边界线OM的时间t＝t1＋t2＋t3＝(π＋2)。 4.(2024·江苏卷，16)如图所示，两个半圆环区域abcd、a'b'c'd'中有垂直纸面向里的匀强磁场，区域内、外边界的半径分别为R1、R2。ab与a'b'间有一个匀强电场，电势差为U，cd与c'd'间有一个插入体，电子每次经过插入体速度减小为原来的k倍。现有一个质量为m、电荷量为e的电子，从cd面射入插入体，经过磁场、电场后再次到达cd面，速度增加，多次循环运动后，电子的速度大小达到一个稳定值，忽略相对论效应，不计电子经过插入体和电场的时间。求: (1)电子进入插入体前后在磁场中运动的半径r1、r2之比; (2)电子多次循环后到达cd的稳定速度v; (3)若电子到达cd中点P时速度稳定，并最终到达边界d，求电子从P到d的时间t。 答案　(1)　(2) (3) 解析　(1)设电子进入插入体前的速度大小为v0，电子经过插入体前后由洛伦兹力提供向心力有ev0B＝m，e·kv0B＝m 联立解得。 (2)电子多次循环稳定后对电子从c'd'出发经电场到ab的过程，由动能定理有 eU＝mv2－m(kv)2 解得v＝。 (3)结合(2)问分析，当电子到达cd中点P时速度稳定后，其在abcd区域运动有evB＝m 解得r＝ 结合(1)问分析可知，电子在a'b'c'd'区域运动的半径为r'＝ 所以电子相邻两次经过cd边的位置间的距离为 l＝2(r－r') 由几何关系可知＝nl 又电子在磁场中运动的周期为T＝ 联立解得电子从P运动到d的时间为t＝nT＝。 5 (2023·辽宁卷，14)如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P点飞出电场，并沿PO方向从图中O′点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为，不计粒子重力。 (1)求金属板间电势差U； (2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ； (3)仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O′点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。 答案　(1)　(2)60°　(3)见解析图 解析　(1)设平行金属板间距为d，则平行金属板板长为d，粒子在两平行金属板间做类平抛运动 水平方向：d＝v0t 竖直方向：d＝t 又vy＝t 联立解得U＝。 (2)粒子进入磁场时的速度v＝＝v0 设速度与水平方向的夹角为α，有tan α＝＝ 则α＝30° 由qvB＝得 粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝＝ 已知圆形磁场半径R＝，则r＝R 作出粒子在磁场中的运动轨迹，如图甲所示 粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ与粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角相等，由几何关系可得tan ＝＝ 故θ＝60°。 (3)根据几何关系，将磁场圆绕O′点顺时针旋转，当O点转到M点，粒子在磁场中的运动轨迹相应的弦为磁场圆的直径时，粒子在磁场中的运动时间最长。作出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的磁场圆的圆心M，如图乙所示。 6 (2024·河北衡水模拟)如图所示，xOy坐标系的第一象限，一等腰三角形OAC，底角为53°，底边长为14L，内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在OC边界的左侧有与y轴平行的匀强电场，D是底边OA的中点。质量为m，电荷量为q的带正电的粒子以一定的初速度，从OA边上的D点沿y轴正方向垂直射入磁场，恰好从OC边上某点沿着与x轴平行的方向射入匀强电场(不计粒子的重力)，求： (1)粒子的速度大小； (2)粒子离开磁场后，经过x轴上N点(图中没有标出)，已知NO＝5L，求匀强电场的电场强度； (3)求粒子从D点到达N点所经历的时间。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)粒子在磁场中匀速圆周运动的轨迹如图所示，粒子做圆周运动的圆心为G，根据几何关系有 GD＝FG＝R、OG＝R， 则OD＝R＋R＝7L 解得R＝4L 根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m 解得v＝。 (2)粒子在电场中的类平抛运动轨迹如上图所示， 粒子在垂直电场线方向做匀速直线运动，位移为 x＝GN＝8L 沿电场线方向做匀加速直线运动，位移为 y＝FG＝4L 根据x＝vt，y＝at2，a＝ 解得E＝。 (3)设粒子在磁场中运动的时间为t1，在电场中运动的时间为t2，t1＝T 带电粒子在磁场中运动的周期为T＝ 联立得t1＝、x＝GN＝8L＝vt2 解得t2＝ 所以时间t＝t1＋t2＝。 7 如图所示，在x轴上方存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在x轴下方存在竖直向上的匀强电场。一个质量为m、电荷量为q、重力不计的带正电粒子从y轴上的P(0，h)点沿y 轴正方向以某初速度开始运动，一段时间后，粒子与x轴正方向成θ＝60°第一次进入电场。求： (1)粒子在磁场中运动的轨道半径r和速度大小v； (2)若粒子经过y轴上Q点时速度方向恰好与y轴垂直，匀强电场的电场强度大小E； (3)粒子返回出发点P所用的总时间t。 答案　(1)2h　　(2) 　(3)＋ 解析　(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示 由几何知识得rcos 60°＝h，解得r＝2h 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 由牛顿第二定律得qvB＝ 解得粒子在磁场中做匀速圆周运动的速度大小 v＝。 (2)粒子在电场中做类平抛运动，粒子经过y轴的Q点时速度方向恰好与y轴垂直，则粒子到达Q点时沿电场方向的速度为零，则有垂直电场方向 r＋ rsin 60° ＝ vcos 60° t1 沿电场方向vsin 60°＝at1 a＝ 联立可得匀强电场的电场强度大小 E＝ 粒子在第三象限电场中的运动时间为 t1＝。 (3)粒子第一次在第二象限的磁场中运动的时间为t2，如图示关系有t2＝T 由qvB＝，T＝得T＝ 又t＝2(t1＋t2) 解得t＝＋。 8 .如图所示，在平面直角坐标系x轴上方有磁感应强度大小不变的匀强磁场，在x轴下方有平行于xOy平面的匀强电场，且与x轴成45°角斜向右上方。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速度v0从y轴上P点沿y轴正方向射出，OP＝d，若磁场方向垂直坐标平面向外，则粒子第一次经过x轴进入电场和第二次经过x轴的位置均在Q点(未画出)；若磁场方向垂直坐标平面向里，则粒子第二次经过x轴的位置也在Q点，不计粒子的重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)匀强电场的电场强度E的大小； (3)若磁场方向垂直坐标平面向外，粒子从P点射出到第三次经过x轴所用的时间。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)若磁场方向垂直坐标平面向外，则粒子第一次经过x轴进入电场和第二次经过x轴的位置均在Q点，说明粒子到达Q点时的速度方向与电场强度方向相反，则由几何关系有 OP＝d＝rcos 45° 解得r＝2d 根据洛伦兹力提供向心力有qv0B＝m 联立可得B＝。 (2)若磁场方向垂直坐标平面向里，则粒子第二次经过x轴的位置也在Q点，轨迹如图甲，则MO＝OQ＝r＋rcos 45°＝(2＋)d，MQ＝2MO 则根据类平抛规律有MQ·sin 45°＝v0t MQ·cos 45°＝t2 解得E＝。 (3)磁场方向垂直向外时，运动轨迹如图乙所示，则粒子第一次在磁场中运动的时间t1＝·＝ 粒子进入电场后先做减速运动，速度减小到0用时设为t2，后反向加速，仍用时间t2第二次回到x轴，则 v0＝t2 解得t2＝ 粒子再次进入磁场做圆周运动，再次到达x轴时所用时间t3＝·＝ 则粒子从P点射出到第三次经过x轴所用的时间 t总＝t1＋2t2＋t3＝＋＝。 9. (2024·广东深圳模拟)如图所示，MHN和PKQ为竖直方向的平行边界线，水平线HK将两边界围成区域分为上下两部分，其中Ⅰ区域内为竖直向下的匀强电场，Ⅱ区域内为垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子从左边界A点以初速度v0垂直边界进入Ⅰ区域，从C点离开Ⅰ区域进入Ⅱ区域。已知AH＝h，HC＝2h，粒子重力不计。 (1)求Ⅰ区域匀强电场的电场强度E的大小； (2)若两竖直边界线距离为4h，粒子从Ⅱ区域左边界射出，求Ⅱ区域内匀强磁场的磁感应强度大小范围。 答案　(1)　(2)<B< 解析　(1)如图所示，粒子从A点至C点做类平抛运动，垂直电场方向有2h＝v0t1 平行电场方向有h＝at 根据牛顿第二定律有qE＝ma 联立解得E＝。 (2)粒子在C点速度的竖直分量vCy＝at1＝v0 故粒子在C点的速度为vC＝＝v0 方向为斜向右下方与HK夹角为45°，当粒子恰好不从MN边界出射时，粒子轨迹如图轨迹①所示， 设此种情况下，粒子在磁场中轨道半径为r1，由几何知识得r1＋r1sin 45°＝2h 解得r1＝2h 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvCB1＝m 解得B1＝ 当粒子恰好不从PQ边界出射，粒子轨迹如图轨迹②所示，由几何知识得r2－r2sin 45°＝2h 解得r2＝2h 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvCB2＝m 解得B2＝ 所以Ⅱ区域内匀强磁场的磁感应强度大小范围为<B<。 10 (2025·河南卷·15)如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子从磁场中的a点以速度v0向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为60°，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b到水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为s=3h。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以v0竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。(一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度) 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图甲所示 由题意可知θ=60° 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系有r=rcos θ+h 解得r=2h 由牛顿第二定律有qv0B=m 解得B= (2)根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为v0，方向与水平虚线的夹角为60°，由几何关系可得AB=s-2rsin θ=h 在电场中，粒子在垂直电场方向做匀速直线运动，则粒子在电场中的运动时间t== 粒子沿电场方向做匀变速直线运动，由牛顿第二定律有qE=ma 由运动学公式有-v0sin θ+at=v0sin θ 联立解得E= (3)作出粒子在磁场和电场中运动的部分轨迹，如图乙所示 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，粒子在磁场、电场中的运动具有周期性，在一个实际运动的周期T'内，粒子在磁场中运动的时间t1=T+T=T① T==×=② 联立①②解得t1= 将B=代入可得t1= 粒子在电场中运动一次的时间t2满足v0=× 将E=代入可得t2= 根据图乙中的几何关系可知，一个周期内粒子运动的位移(以向右为正方向)x=OO1=h 说明经过一个周期后粒子运动到初始位置右侧，则漂移速度大小v===。 11.(15分)(2025·江苏南京市期中)如图所示，在xOy坐标系的第一、第四象限内存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，y轴和ab为其左、右边界，两边界距离为l=2.4r，第一象限内电场E2方向竖直向下，第四象限内电场E1方向竖直向上。在y轴的左侧有一分布在半径为r的圆内的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，其中OO'是圆的半径。在电场右边界ab上，一电荷量为+q、质量为m的不计重力的粒子以初速度v从M点沿水平方向垂直射入匀强电场，M点和x轴之间的距离为1.2r，该粒子通过x轴上的N点(未画出)进入上部匀强电场，然后从y轴上的P点水平射出，P点坐标为(0，0.6r)，经过一段时间后粒子进入磁场区域，该粒子进出磁场时速度方向改变了90°。其中m、+q、v、r为已知量。求： (1)(5分)第一、第四象限内电场强度大小之比E2∶E1； (2)(5分)磁场的磁感应强度B的大小； (3)(5分)该粒子从射入电场到偏转出磁场的全过程运动的总时间。 答案　(1)2∶1　(2)　(3) 解析　(1)设粒子经x轴上的N点由第四象限内电场进入第一象限内电场，画出粒子在电场中的运动轨迹如图所示 在第一、四象限，沿着x轴方向粒子做匀速直线运动，有vP=vM=v 在M到P的过程中应用动能定理，有 qE1×1.2r-qE2×0.6r=m-m 解得E2∶E1=2∶1 (2)由题意可知粒子由P点射出电场后，经过一段时间进入磁场中做匀速圆周运动，在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，画出粒子由P点射出电场后的运动轨迹，如图所示，过O'作y轴的平行线，与O1F交于K点，O1Q与x轴的交点为H。设粒子做匀速圆周运动的半径为R，则在△QHO'中有(0.6r)2+HO'2=r2 解得HO'=0.8r 在△O'KF中有(R-0.6r)2+(R-0.8r)2=r2 解得R=1.4r 又qvB=m 解得B= (3)带电粒子在电场中的运动时间为t== 做匀速直线运动时间为t'== 在磁场中的运动时间为t″== 则带电粒子从M点射入电场到偏转出磁场的全过程运动的总时间t总=t+t'+t″=。 12 [2021广东]如图是一种花瓣形电子加速器简化示意图.空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ.各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外.电子以初动能Ek0从圆b上P点沿径向进入电场.电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速.已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为R，电子质量为m，电荷量为e.（忽略相对论效应，取tan22.5°＝0.4） （1）当Ek0＝0时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示.求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能. （2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射.当Ek0＝keU时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值. 答案　（1）　　8eU　（2） 解析　（1）根据题述情境，由动能定理得电子在Ⅰ区磁场中运动的动能为Ek1＝2eU＝m，解得v1＝2 由几何关系得tan22.5°＝，解得电子在Ⅰ区磁场中运动的轨迹半径r1＝0.4R 电子在Ⅰ区匀强磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力得 ev1B＝m 解得Ⅰ区的磁感应强度大小B＝ 电子在Ⅰ区磁场中运动的轨迹所对圆心角为α＝225°＝ 则电子在Ⅰ区磁场中的运动时间t＝＝ 电子总共经过8次加速，由动能定理得8eU＝Ek2 解得电子在Q点出射时的动能Ek2＝8eU. （2）电子运动轨迹与Ⅰ区磁场外边界相切时k最大，由几何关系得（R－r2）2＝＋R2 解得电子在Ⅰ区磁场中运动的轨迹半径r2＝R 电子在Ⅰ区匀强磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力得 ev2B＝m 解得v2＝5 由动能定理得2eU＝m－Ek0 即2eU＝eU－keU，解得k的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三物理暑期能力提升 专题12 带电粒子在组合电磁场中的运动 【方法解读】 组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 1.组合场中的两种典型偏转 垂直于电场线进入匀强电场（不计重力） 垂直于磁感线进入匀强磁场（不计重力） 受力情况 电场力FE＝Eq，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹 求解方法 利用类似平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t vy＝t，y＝t2 偏转角φ：tanφ＝＝ 半径：r＝ 周期：T＝ 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 2.常见模型 （1）从电场进入磁场 电场中：匀变速直线运动 ⇓ 磁场中：匀速圆周运动 电场中：类平抛运动 ⇓ 磁场中：匀速圆周运动 （2）从磁场进入电场 磁场中：匀速圆周运动 ⇓ 电场中：匀变速直线运动 （v与E共线） 磁场中：匀速圆周运动 ⇓ 电场中：类平抛运动 （v与E垂直） 3.“磁偏转”和“电偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v0⊥E进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场(不计重力) 受力情况 只受恒定的电场力F＝qE 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 求解方法 利用类平抛运动的规律得x＝v0t，y＝at2，a＝，tan θ＝ 根据牛顿第二定律和向心力公式可得qvB＝m，T＝，t＝T 动能 静电力做的功等于动能变化量 洛伦兹力不做功，带电粒子的动能不变 分析思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 4.常见粒子的运动及解题方法 例 1 (2026·湖南省华师大新高考联盟一模)如图所示的平面直角坐标系xOy中，第二象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁场边界分别为x轴、MN和y轴，M、N两点的坐标分别为(L，0)、(0，-L)。一质量为m、电荷量为+q(q>0)的带电粒子从第二象限的A点沿x轴正方向以初速度v0射出，A点坐标为(-2L，L)，粒子恰好从坐标原点O进入第四象限，之后粒子从MN上的P点(图中未标出)进入磁场，经磁场偏转后从x轴上的Q点(图中未标出)垂直于x轴射出磁场，不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从A点运动到Q点所用的时间t。 例2 　(2025·福建泉州市一模)利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在如图所示的xOy平面(纸面)内，x<x1的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x轴上方的x1<x<x2区域Ⅱ内存在沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从原点O处以大小为v0的速度垂直磁场射入第二象限，方向与x轴负方向夹角θ=60°，一段时间后垂直x=x1虚线边界进入电场。已知x1=L，x2=L，区域Ⅱ中电场的电场强度E=。求： (1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从原点O出发到离开电场的总时间t； (3)粒子离开电场时的速度大小v。 【针对性训练】 1.如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场，已知左侧匀强电场的电场强度大小为E、方向水平向右，宽度为L;中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外;右侧匀强磁场的磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向里。一个带正电的粒子(质量为m、电荷量为q、不计重力)从电场左边缘O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到了O点，然后重复上述运动过程，则中间磁场区域的宽度d和带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点时所用的时间t分别是(　　) A.、2 B.、2 C.、2 D.、2 2 .如图所示，虚线ab上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场Ⅰ，下方存在方向相同、磁感应强度大小为λB的匀强磁场Ⅱ，虚线ab为两磁场的分界线。M、O、N位于分界线上，点O为MN的中点。一电子从O点射入磁场Ⅰ，速度方向与分界线ab的夹角为30°，电子离开O点后依次经N、M两点回到O点。已知电子的质量为m，电荷量为e，重力不计，求: (1)λ的值; (2)电子从射入磁场到第一次回到O点所用的时间。 3.如图所示，在xOy平面内虚线OM与x轴负方向的夹角为45°，虚线OM右侧区域Ⅰ内存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，虚线OM左侧区域Ⅱ内存在沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从原点O沿x轴正方向以速度v0射入磁场，此后当粒子第一次穿过边界线OM后恰好能到达x轴上的P点。原点O与P点间的距离为d，不计粒子受到的重力，求: (1)匀强磁场的磁感应强度大小B; (2)匀强电场的电场强度大小E; (3)粒子从O点射出至第三次穿过边界线OM所用的时间t总。 4.(2024·江苏卷，16)如图所示，两个半圆环区域abcd、a'b'c'd'中有垂直纸面向里的匀强磁场，区域内、外边界的半径分别为R1、R2。ab与a'b'间有一个匀强电场，电势差为U，cd与c'd'间有一个插入体，电子每次经过插入体速度减小为原来的k倍。现有一个质量为m、电荷量为e的电子，从cd面射入插入体，经过磁场、电场后再次到达cd面，速度增加，多次循环运动后，电子的速度大小达到一个稳定值，忽略相对论效应，不计电子经过插入体和电场的时间。求: (1)电子进入插入体前后在磁场中运动的半径r1、r2之比; (2)电子多次循环后到达cd的稳定速度v; (3)若电子到达cd中点P时速度稳定，并最终到达边界d，求电子从P到d的时间t。 5 (2023·辽宁卷，14)如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P点飞出电场，并沿PO方向从图中O′点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为，不计粒子重力。 (1)求金属板间电势差U； (2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ； (3)仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O′点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。 6 (2024·河北衡水模拟)如图所示，xOy坐标系的第一象限，一等腰三角形OAC，底角为53°，底边长为14L，内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在OC边界的左侧有与y轴平行的匀强电场，D是底边OA的中点。质量为m，电荷量为q的带正电的粒子以一定的初速度，从OA边上的D点沿y轴正方向垂直射入磁场，恰好从OC边上某点沿着与x轴平行的方向射入匀强电场(不计粒子的重力)，求： (1)粒子的速度大小； (2)粒子离开磁场后，经过x轴上N点(图中没有标出)，已知NO＝5L，求匀强电场的电场强度； (3)求粒子从D点到达N点所经历的时间。 7 如图所示，在x轴上方存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在x轴下方存在竖直向上的匀强电场。一个质量为m、电荷量为q、重力不计的带正电粒子从y轴上的P(0，h)点沿y 轴正方向以某初速度开始运动，一段时间后，粒子与x轴正方向成θ＝60°第一次进入电场。求： (1)粒子在磁场中运动的轨道半径r和速度大小v； (2)若粒子经过y轴上Q点时速度方向恰好与y轴垂直，匀强电场的电场强度大小E； (3)粒子返回出发点P所用的总时间t。 8 .如图所示，在平面直角坐标系x轴上方有磁感应强度大小不变的匀强磁场，在x轴下方有平行于xOy平面的匀强电场，且与x轴成45°角斜向右上方。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速度v0从y轴上P点沿y轴正方向射出，OP＝d，若磁场方向垂直坐标平面向外，则粒子第一次经过x轴进入电场和第二次经过x轴的位置均在Q点(未画出)；若磁场方向垂直坐标平面向里，则粒子第二次经过x轴的位置也在Q点，不计粒子的重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)匀强电场的电场强度E的大小； (3)若磁场方向垂直坐标平面向外，粒子从P点射出到第三次经过x轴所用的时间。 9. (2024·广东深圳模拟)如图所示，MHN和PKQ为竖直方向的平行边界线，水平线HK将两边界围成区域分为上下两部分，其中Ⅰ区域内为竖直向下的匀强电场，Ⅱ区域内为垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子从左边界A点以初速度v0垂直边界进入Ⅰ区域，从C点离开Ⅰ区域进入Ⅱ区域。已知AH＝h，HC＝2h，粒子重力不计。 (1)求Ⅰ区域匀强电场的电场强度E的大小； (2)若两竖直边界线距离为4h，粒子从Ⅱ区域左边界射出，求Ⅱ区域内匀强磁场的磁感应强度大小范围。 10 (2025·河南卷·15)如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子从磁场中的a点以速度v0向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为60°，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b到水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为s=3h。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以v0竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。(一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度) 11.(15分)(2025·江苏南京市期中)如图所示，在xOy坐标系的第一、第四象限内存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，y轴和ab为其左、右边界，两边界距离为l=2.4r，第一象限内电场E2方向竖直向下，第四象限内电场E1方向竖直向上。在y轴的左侧有一分布在半径为r的圆内的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，其中OO'是圆的半径。在电场右边界ab上，一电荷量为+q、质量为m的不计重力的粒子以初速度v从M点沿水平方向垂直射入匀强电场，M点和x轴之间的距离为1.2r，该粒子通过x轴上的N点(未画出)进入上部匀强电场，然后从y轴上的P点水平射出，P点坐标为(0，0.6r)，经过一段时间后粒子进入磁场区域，该粒子进出磁场时速度方向改变了90°。其中m、+q、v、r为已知量。求： (1)(5分)第一、第四象限内电场强度大小之比E2∶E1； (2)(5分)磁场的磁感应强度B的大小； (3)(5分)该粒子从射入电场到偏转出磁场的全过程运动的总时间。 12 [2021广东]如图是一种花瓣形电子加速器简化示意图.空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ.各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外.电子以初动能Ek0从圆b上P点沿径向进入电场.电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速.已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为R，电子质量为m，电荷量为e.（忽略相对论效应，取tan22.5°＝0.4） （1）当Ek0＝0时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示.求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能. （2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射.当Ek0＝keU时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $