专题二十一 带电粒子在叠加场和交变电磁场中的运动 讲义 -2027届高三物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦带电粒子在叠加场和交变电磁场中的运动核心考点，按叠加场（三场或两场共存）和交变电磁场（电场/磁场周期性变化）分类梳理，通过考点解析、方法规律总结（平衡条件、动能定理等）、典例精讲（6道真题级例题）构建系统复习框架，助力学生突破复杂运动分析难点。 讲义以科学思维和模型建构为核心，如典例1通过平衡条件推导电场强度，典例3结合受力分析判断运动状态，培养学生分析综合能力。设置选择、计算等多样化例题，配合详细解析，帮助学生快速掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

专题二十一 带电粒子在叠加场和交变电磁场中的运动 讲义 考点一　带电粒子在叠加场中的运动 1．叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2．带电粒子在无约束叠加场中的运动 (1)洛伦兹力、重力并存 ①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。 ②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题。 (2)静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子) ①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。 ②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题。 (3)静电力、洛伦兹力、重力并存 ①若带电体做直线运动，则一定是匀速直线运动。 ②若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动。 ③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题。 3.常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直 线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件 匀速圆 周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的 曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 典例１：霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射，入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 (1)求电场强度的大小E； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1； (3)若电子入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2＝位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 [答案]　(1)v0B　(2)　(3)90% [解析]　(1)由题知，入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动则有Ee＝ev0B 解得E＝v0B。 (2)电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由于电子入射速度为，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有 eEy1＝m2－m2 解得y1＝。 (3)若电子以v入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y， 则根据动能定理有eEy＝mv－mv2 由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等， 则:在最高点有F合＝evmB－eE 在最低点有F合＝eE－evB 联立有vm＝－v y＝ 要让电子达纵坐标y2＝位置， 即y≥y2 解得v≤v0 则若电子入射速度在0<v<v0范围内均匀分布， 能到达纵坐标y2＝位置的电子数N占总电子数N0的90%。 典例2：(多选)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者所带电荷量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用。则(　　) A．油滴a带负电，所带电荷量的大小为 B．油滴a做圆周运动的速度大小为 C．小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D．小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 [答案]　ABD[解析]　油滴a做匀速圆周运动，对油滴a受力分析，可知其所受电场力与重力平衡，有Eq－mg＝0，解得q＝，油滴a所受电场力方向竖直向上，与电场方向相反，则油滴a带负电，A正确；油滴a做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有Bqv＝，联立解得v＝，B正确；由题意可知小油滴Ⅰ的质量为m，电荷量为q，设其速度大小为v1，根据洛伦兹力提供向心力有＝，解得v1＝3v＝，周期T1＝＝，C错误；设小油滴Ⅱ的速度大小为v2，根据动量守恒定律有mv＝mv1＋mv2， 解得v2＝－v，则分开后油滴Ⅱ向右运动，根据左手定则可知油滴Ⅱ在P点受到竖直向下的洛伦兹力作用，油滴Ⅱ沿顺时针方向做匀速圆周运动，D正确。 带电体在叠加场中有约束情况下的运动 带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果。 典例3：(多选)如图所示，空间同时存在垂直于纸面向里的匀强磁场和水平向左的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。在该空间的竖直平面(即纸面)内固定一足够长的粗糙绝缘杆，杆与电场正方向夹角为60°。一质量为m、电荷量为＋q的小球套在绝缘杆上，在t＝0时刻以初速度v0沿杆向下运动。已知qE＝mg，下列描述小球运动的v－t图像可能正确的是(　　) [答案]　ACD[解析]　对小球受力分析，重力和电场力的合力大小F＝＝2mg，设F与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝，θ＝30°，即重力和电场力的合力方向与杆对小球的支持力在同一直线上，如果初状态Bqv0＝2mg，则FN＝0，Ff＝0，可得a＝0，所以小球做匀速直线运动。如果初状态Bqv0>2mg，弹力垂直于杆斜向下，摩擦力沿杆斜向上，小球做减速运动，速度减小，洛伦兹力减小，弹力减小，摩擦力减小，加速度减小，当加速度减到零时，做匀速直线运动。如果初状态Bqv0<2mg，弹力垂直于杆斜向上，摩擦力沿杆斜向上，小球做减速运动，速度减小，洛伦兹力减小，弹力增大，摩擦力增大，加速度增大，直到速度减为零。故选ACD。 考点二　带电粒子在交变电磁场中的运动 　1．交变场的常见类型 (1)电场周期性变化，磁场不变。 (2)磁场周期性变化，电场不变。 (3)电场、磁场均周期性变化。 2．分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路 3．注意问题 (1)仔细分析并确定各场的变化特点及相应的时间，其变化周期一般与粒子在电场或磁场中的运动周期相关联，应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口。 (2)必要时，可把粒子的运动过程还原成一个直观的运动轨迹草图进行分析。 典例4：如图甲所示，在xOy坐标系的一、四象限存在匀强磁场，规定垂直纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化情况如图乙所示，t＝0时刻，一个比荷＝1.0×104 C/kg的正电荷从(0，)处以v0＝1.0×104 m/s的速度沿y轴负方向射入磁场，则正电荷从射入磁场至第一次经过x轴所需的时间为(　　) A．8π×10－5 s B．π×10－5 s C．1.2π×10－4 s D．×10－4 s [答案]　C [解析]　由洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m，解得r＝0.4 m，圆周运动的周期为T＝＝8π×10－5 s，则粒子每次圆周运动持续三分之一周期，对应的圆心角为120°；位移大小2rsin 60°＝ m，位移方向与y轴负方向成60°角，沿y轴负方向的位移为 m，则正电荷射入磁场后到x轴的轨迹如图；正电荷第一次运动到x轴应为A点，运动时间为t＝T＝1.2π×10－4 s，故C正确。 典例5：如图甲所示的坐标系中，在x轴上方的区域内存在着如图乙所示周期性变化的电场和磁场，交变电场的电场强度大小为E0，交变磁场的磁感应强度大小为B0，取x轴正方向为电场的正方向，垂直纸面向外为磁场的正方向。在t＝0时刻，将一质量为m、带电荷量为q、重力不计的带正电粒子，从y轴上A点由静止释放。粒子经过电场加速和磁场偏转后垂直打在x轴上。求： (1)粒子第一次在磁场中运动的半径； (2)粒子打在x轴负半轴上到O点的最小距离； (3)起点A与坐标原点间的距离d应满足的条件； (4)粒子打在x轴上的位置与坐标原点O的距离跟粒子加速和偏转次数n的关系。 [答案]　(1)　(2)(π＋2) (3)d＝(n＝1,2,3…) (4)xP＝(π＋2)(n＝1,2,3…) [解析]　(1)粒子第一次在电场中有qE0＝ma，v1＝at0，t0＝ 粒子第一次进入磁场中有qv1B0＝，联立解得R1＝。 (2)由题意可知粒子经2次加速和偏转后打在x轴负半轴上到O点的距离最小，如图甲所示 第一次加速的位移为Δx1＝＝ 第二次加速的位移Δx2＝3Δx1 v2＝2at0＝， 则R2＝＝ ΔxP＝Δx2－Δx1＋R2＝(π＋2)。 (3)分析带电粒子运动轨迹，如图乙所示 可知A与坐标原点间的距离d应满足d＝n2R1＝(n＝1,2,3…)。 (4)若粒子经过n次加速和偏转后打在x轴上 xP＝n(Δx1＋R1)＝(π＋2)(n＝1,2,3…)。 典例6：如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子在t＝0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t＝t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t＝2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。 (1)判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q。 (2)求金属板的板间距离D和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v。 (3)求从t＝0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。 [答案]　(1)正电　　(2)　π (3) [解析]　(1)根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；粒子在磁场中运动的周期T＝2t0 根据T＝知粒子所带的电荷量q＝。 (2)若金属板的板间距离为D，则板长为，粒子在板间运动时有＝vt0 出电场时竖直方向速度为零，则竖直方向y＝2××(0.5t0)2 在磁场中时有qvB＝m 其中的y＝2r＝ 联立解得v＝π D＝。 (3)带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图所示，由(2)的计算可知金属板的板间距离D＝3r，则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4t0时刻进入左侧的电场做减速运动速度为零后反向加速，在6t0时刻再次进入中间的偏转电场，在6.5t0时刻碰到上极板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有开始进入左侧电场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功， 则W＝mv2＋Eq×＝。 学科网（北京）股份有限公司 $