第二单元 第4课时 修复铜镜（分层作业）数学北师大版六年级上册（新教材）

**基本信息** 以“修复铜镜”为情境，通过夯实基础、进阶提升、拓展应用三层设计，实现圆的概念理解到综合应用的递进，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|圆心、半径、直径概念，对折法找圆心|填空、选择结合简单操作，巩固圆的核心要素| |进阶提升|残片类型判断、多种找圆心方法应用|判断、方法说明题，强化推理与实际应用| |拓展应用|创新方法设计、残片比较分析|设计题与分析题，发展空间观念与创新意识|

第二单元 第4课时 修复铜镜 分层作业 把铜镜残片复原成圆的关键是确定残片的（ ）和（ ），运用以前学习的圆的有关知识可以解决问题。 1．填一填。 (1) 复原残缺圆形铜镜，必须先确定圆的（ ）和（ ）。 (2) 纸质铜镜残片采用对折法找圆心，至少对折（ ）次，两条折痕的交点就是圆心。 (3) 圆心到圆弧上任意一点的线段是圆的（ ），直径长度是它的（ ）倍。 (4) 只有带有完整（ ）的铜镜残片，才能找到圆心、复原完整铜镜。 2．选择题。 (1) 一块铜镜碎块只有多边形直边、没有圆弧，这块残片（ ）复原完整圆形铜镜。 A. 能 B. 不能 C. 无法判断 (2) 圆形外接正方形复原法中，正方形（ ）的交点就是圆的圆心。 A. 边长 B. 对角线 C. 对称轴 (3) 对折法找圆心，折痕对应的线段是圆的（ ）。 A. 半径 B. 直径 C. 周长 3．考古队拿到一块带圆弧的纸质铜镜残片，请完整写出对折法复原圆形铜镜的操作步骤。 4. 确定铜镜残片的圆心后，怎样画出完整的圆形铜镜？简要说明操作方法。 5.选择题。 (1) 下面四种铜镜残片，无法复原完整圆形的是（ ）。 A. 大半圆弧残片 B. 小半圆弧残片 C. 纯多边形无圆弧碎片 D. 半圆残片 (2) 圆形铜镜的外接正方形，正方形边长与圆的（ ）相等。 A. 半径 B. 直径 C. 周长 (3) 旋转残片复原铜镜时，旋转中心是（ ）。 A. 圆弧边缘 B. 找到的圆心 C. 残片边角 (4) 关于复原铜镜，说法正确的是（ ）。 A. 对折 1 次就能确定圆心 B. 无圆弧碎片也能复原圆形 C. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小 6.判断题。 (1) 只要残片上存在一小段圆弧，就能复原完整圆形铜镜。（ ） (2) 圆形铜镜外接正方形的对角线长度等于圆的直径。（ ） (3) 寻找铜镜圆心只有对折法这一种方法。（ ） (4) 只找到圆心，没有测量半径，也能画出完整铜镜轮廓。（ ） (5) 没有圆弧的多边形铜镜碎片，找不到圆心，不能复原圆形。（ ） 7.复原铜镜有对折法、弦的垂直平分线法、外接正方形法三种，分别写出每种方法适合什么样的铜镜残片。 8.考古出土两块残片：一块大半圆弧铜镜残片、一块无圆弧五角星碎片，判断哪一块可以复原完整圆形，并说明理由。 9.圆形铜镜碎裂，仅留存一段圆弧残片，只用这一块残片，完整写出复原整圆的操作流程。 10. 圆形木桌桌面破损，只剩一段圆弧残片，想要制作和桌面大小匹配的保护垫，需要测量残片上的哪些数据？ 11.一块极小圆弧铜镜残片，不方便对折操作，请设计两种不用对折的作图方法复原完整圆形，写出详细操作步骤。 12.两块不同的圆形铜镜残片，圆弧长短不同，但圆心到圆弧的距离相等。说一说两块完整铜镜的相同点和不同点。 【夯实基础】 1．填一填 (1) 圆心，半径 解析：复原圆形的两个核心要素是圆心（定位置）、半径（定大小），二者缺一不可。 (2) 2 解析：对折 1 次得到 1 条直径，对折 2 次两条直径相交，交点为圆心。 (3) 半径，2 解析：半径定义：圆心到圆上一点的线段；同圆中直径 = 2× 半径。 (4) 圆弧 解析：只有圆弧能确定圆上多个点，从而找到圆心与半径；无圆弧无法定位。 2．选择题 (1) B 解析：无圆弧就找不到圆上点，无法确定圆心半径，不能复原。 (2) B 解析：正方形两条对角线相交，交点是内切圆的圆心。 (3) B 解析：对折后的折痕两端都在圆弧上、经过圆心，是直径。 3．答案： ① 将铜镜纸质残片沿圆弧对称轴对折一次，得到第一条折痕（直径）； ② 换一个垂直方向再次对折，得到第二条折痕； ③ 两条折痕交点为圆心； ④ 量出圆心到圆弧的距离为半径，用圆规画出完整圆形。 解析：利用圆的轴对称性，两次对折得到两条直径确定圆心。 4．答案：以找到的圆心为定点，圆心到圆弧任意一点的长度为半径，用圆规旋转一周，画出完整圆形铜镜轮廓。 【进阶提升】 5．选择题 (1) C 解析：纯多边形碎片没有圆弧，无法确定圆的圆心和半径，不能复原。 (2) B 解析：圆的外接正方形，左右、上下边界刚好贴合圆，边长等于圆的直径。 (3) B 解析：旋转法复原时，必须以圆心为中心点旋转残片补全圆形。 (4) C 解析：A 需对折 2 次；B 无圆弧不能复原；C 为圆的基本特征，说法正确。 6．判断题 (1) √ 解析：只要存在圆弧，就能取点作垂直平分线找到圆心，复原圆形。 (2) × 解析：正方形对角线长度 = 圆的直径 ×2，大于直径。 (3) × 解析：找圆心有对折法、弦垂直平分线法、外接正方形法等多种方法。 (4) × 解析：缺少半径只能确定圆的位置，无法确定圆的大小，画不出完整铜镜。 (5) √ 解析：多边形碎片无圆弧，没有圆上点，无法定位圆心，不能复原。 7．答案： ① 对折法：适合纸质、可折叠的圆弧残片； ② 弦的垂直平分线法：适合金属、硬质不可折叠的残片，精准作图； ③ 外接正方形法：适合残片圆弧占比大、能大致看出圆形轮廓的残片。 解析：三种方法适配不同材质、残缺程度的铜镜残片。 8．答案：大半圆弧残片可以复原；五角星碎片无圆弧，无法确定圆心和半径，不能复原。 解析：复原圆形的前提是残片带有圆弧，能定位圆心、测量半径。 9．答案： ① 在圆弧上任意选取 3 个点，依次连接两点得到两条弦； ② 分别画出两条弦的垂直平分线； ③ 两条垂直平分线的交点即为圆心； ④ 测量圆心到圆弧上点的距离得到半径； ⑤ 以圆心为定点、该长度为半径画完整圆形。 解析：利用 “弦的垂直平分线经过圆心” 找圆心，适用于硬质残片。 10．答案：需要通过残片找到圆心，测量出铜镜的半径（或直径）。 解析：制作相同大小垫子需要知道圆的半径 / 直径，确定圆的大小。 【拓展应用】 11．答案： 方法一（弦垂直平分线法）： ①在小段圆弧上取 A、B、C 三个点； ②连接 AB、BC，分别作两条线段的垂直平分线； ③两垂直平分线交点为圆心，圆心到圆弧距离为半径画圆。 方法二（外接正方形估算法）： ①根据圆弧走势，画出贴合圆弧的正方形； ②连接正方形两条对角线，交点为预估圆心； ③量取圆心到圆弧长度为半径，画出完整圆形。 解析：两种方法均无需折叠，适配坚硬、无法对折的文物残片。 12．答案： 相同点：两块铜镜半径相等（圆心到圆弧距离就是半径），所以大小完全相同； 不同点：两块铜镜圆弧长短不一样，说明残片留存的圆弧部分占整圆的比例不同。 解析：半径决定圆的大小，半径相等则圆大小一致；圆弧长短只和残片残缺程度有关。 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $