第3讲三角形的内角与外角暑假预习讲义（知识点+题型精讲）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第3讲 三角形的内角与外角 目录 知识点1 三角形内角和定理（核心必考） 2 知识点2 直角三角形的性质与判定 2 知识点3 三角形外角的定义与核心性质 2 知识点4 高频角度模型结论（预习必记） 3 题型1 三角形内角和定理的证明 3 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 6 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 9 题型4 三角形折叠中的角度问题 12 题型5 三角形内角和定理的应用 15 题型6 直角三角形的两锐角互余 22 题型7 锐角互余的三角形是直角三角形 25 题型8 三角形的外角的定义及性质 28 1. 知识目标：熟练掌握三角形内角和定理的内容与标准证明方法；掌握直角三角形两锐角互余的性质及逆向判定定理；精准理解三角形外角的定义、四大核心性质及外角和结论；熟记各类角度转化的几何依据，理清内角、外角、平行线、角平分线、折叠模型的关联考点。 2. 能力目标：能规范完成三角形内角和定理的几何证明；熟练解决平行线、角平分线、折叠结合的三角形角度计算题型；掌握内角和定理的各类实际与几何综合应用；能精准判定直角三角形、灵活运用外角性质进行角度计算与大小比较。 3. 素养目标：建立数形结合、模型化解题、等量代换的几何思维，掌握方程法解角度问题的通用思路，提升几何识图、逻辑推理、步骤书写能力，夯实八年级三角形角度计算核心考点，为多边形角度学习铺垫基础。 知识点1 三角形内角和定理（核心必考） 定理内容：任意三角形的三个内角的和等于180°。 几何语言：在△ABC中，。 常用证明思路：过三角形顶点作对边平行线，利用平行线内错角相等、平角为180°完成推导，是课本标准证法。 核心用途：已知两角求第三角、设未知数列方程求角度、根据角度关系判定三角形形状。 知识点2 直角三角形的性质与判定 1. 性质定理：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。 几何语言：在Rt△ABC中，，则。 2. 判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 几何语言：在△ABC中，，则△ABC为直角三角形。 知识点3 三角形外角的定义与核心性质 1. 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 核心特征：外角与相邻内角互为邻补角（和为180°）。 2. 外角核心性质： ① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和（计算万能公式）； ② 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角（角度大小比较专用）； ③ 三角形三个外角的和为360°。 知识点4 高频角度模型结论（预习必记） 1. 角平分线模型：内角平分线夹角=90°+顶角； 2. 折叠模型：折叠前后对应角度相等，折叠产生的夹角可通过内角和、外角性质推导； 3. 平行线+三角形模型：借助同位角、内错角相等，实现角度等量代换。 题型1 三角形内角和定理的证明 解题技巧（标准平行线证法模板） 1. 辅助线作法：过三角形任意一个顶点，作对边的平行线； 2. 角度转化：利用平行线的内错角相等，将三角形三个内角等量转化为一个平角； 3. 定理推导：平角为180°，即可证得三角形内角和为180°； 4. 拓展证法：剪拼法（实操验证）、延长边构造邻补角推导（几何常用）； 5. 得分要点：证明过程必须标注辅助线、平行线性质、平角定义，步骤完整不跳步。 【典例1】．在探究三角形内角和定理时，我们通过剪拼将一个三角形的三个内角拼成一个平角，这一过程运用的数学思想主要是（     ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．方程思想 D．整体思想 【答案】A 【分析】本题考查常见数学思想的识别，解题关键是理解剪拼验证三角形内角和过程的本质. 【详解】解：∵剪拼过程中，将三角形内角和未知问题转化为已知的平角（）推导，把陌生问题转化为熟悉已知问题解决，符合转化思想的特征，符合题意； 分类讨论思想需要分多种情况讨论，方程思想是通过建立方程求解，整体思想是将部分看作整体研究，均不符合该过程. 【变式1】．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； D、无法证明三角形的内角和为，故本选项符合题意 【变式2】．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 【变式3】．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 解题技巧（平行等角+内角和双用法） 1. 找平行关系：从题干提取平行线条件，锁定同位角、内错角相等、同旁内角互补； 2. 角度代换：将平行线得出的等角代入三角形中； 3. 套用定理：结合三角形内角和180°，计算未知角度； 4. 压轴思路：复杂图形多次平行转化，逐层代换，结合对顶角、邻补角化简求解。 【典例2】．如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，最后根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ． 【变式1】．如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质及垂直定义可得，结合及平行线性质求出，进而判断①②；利用角平分线及三角形内角和定理求出，即可判断③；通过已证结论即可判断④． 【详解】解：，， ，即，故①正确； ， ， ， ， ， ，即，， ， ， ，故②正确； 平分， ， 在中，，故③正确； ∵，若平分，则需， 但根据已知条件不能推出，因此不能推出平分，结论④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 【变式2】．如图，，的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，，则________． 【答案】/40度 【分析】由，可得，利用平行线与角平分线可得，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．如图，，被直线所截，，将线段沿着直线平移得到线段，连接．在平移过程中，当时，的度数是_______． 【答案】/度 【分析】两直线平行，同位角相等，得出的度数，利用平角得出的度数，根据三角形内角和为即可求出的度数． 【详解】解：线段和线段交于点D， ∵ 线段平移后得到线段， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得． 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 解题技巧（平分倍角+模型秒杀法） 1. 基础思路：角平分线平分内角，得到两个相等小角，结合内角和列等式计算； 2. 核心秒杀模型：在△ABC中，两内角平分线交于点P，则； 3. 计算套路：已知顶角求平分夹角、已知平分夹角反求顶角，双向快速求解； 4. 综合题型：结合外角、平行线性质，多层角度代换，简化复杂计算。 【典例3】．如图，在中，，是的角平分线且，相交于点O，，求的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算． 【详解】解：∵，是的角平分线， ， ． ， ． 【变式1】．如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义得出，最后代入计算即可． 【详解】解：在中，， ， ，， ，， ， ． 【变式2】．如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 同理可得 ， 归纳类推得，其中n为正整数， ∴． 【变式3】．如图，，分别是的高和角平分线，若，则___________． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得，根据三角形内角和定理得，计算即可． 【详解】解：是的角平分线，， ， ， ． 题型4 三角形折叠中的角度问题 解题技巧（折叠等角+整体补差法） 1. 核心原则：折叠前后对应角度完全相等； 2. 常规解法：标记折叠前后相等角，结合平角、三角形内角和列方程求解； 3. 秒杀结论：折叠产生的外角差=2倍折叠偏移角，快速求解折叠夹角； 4. 解题步骤：先标等角、再找补角、最后套内角和，步骤固定、不易出错。 【典例4】．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得，进而可得原三角形的的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知，则， ，，, 即， 解得． 【变式1】．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠性质可知折叠前后的对应角相等，结合平角定义可得，，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质可知，折叠前后的对应角相等， ，， ，， 在中，， ， ， ． 【变式2】．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得对应角相等，利用三角形内角和定理求出 的度数，再结合平角的定义计算即可． 【详解】解： 由 翻折得到，， ，， ， ． 【变式3】．如图，在三角形纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为．则___________． 【答案】/度 【分析】根据折叠的性质得出，从而得到对应角相等，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 由折叠的性质可知，，． ∴在中，． 题型5 三角形内角和定理的应用 解题技巧（方程建模万能法） 1. 比例题型：已知角度比例，设每份为，用含式子表示三个内角，列方程求解； 2. 角度关系题型：根据题干倍角、差角关系设未知数，列方程计算； 3. 形状判定：求出最大内角，锐角为锐角三角形、直角为直角三角形、钝角为钝角三角形； 4. 实际应用：结合生活场景、几何组合图形，依托内角和定理拆解求解。 【典例5】．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得旋转角，再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转，得到， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】．如图，在中，为延长线一点，若，，则________． 【答案】 【分析】根据平角的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的大小． 【详解】解：， ， ． 【变式2】．综合与探究一一问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，点分别在边和上，．三角尺中，．猜想与的数量关系，并说明理由． 【问题初探】： (1)若，则_____； (2)小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法．如图2，过点作，交于点，请你根据小宇同学提供的辅助线，先确定与的数量关系，再说明理由； 【类比再探】： (3)如图3，把“”改为“”，其它条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)60 (2) ， 证明：过点作，交于点， ， 设， ， ， ， ， ， ； (3) 证明：过点作，交于点，设， ， ， ， ， ， ，即． 【分析】（1）根据，可求得补角的值，已知,根据三角形内角和定理可求得的值，进一步求出补角的值，再根据求出的值，又知道，用三角形内角和定理即可求出的值． （2）过点作，设，即可求出，根据“两直线平行，内错角相等”可以求出的值，再根据，, 即可确定与的数量关系． （3）过点作，即可求出的值为，设，即可求出的值，根据“两直线平行，内错角相等”可以求出的值，再根据，, 即可确定与的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴, 在中，， ∴, ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∴的值为． （2）略． （3）略． 【变式3】．如图1，直线，直线与，分别交于点，，若过点作，平分，，交于点．设． (1)若，则________； (2)点是平面内一点，连接，，依题意回答下列问题： ①如图2，若，分别平分，，则的度数是多少？（用含的式子表示） ②若点在直线上，，且，求的值． 【答案】(1)10 (2)①；②或 【分析】（1）首先利用角平分线的定义，由得到的度数，再结合，根据平行线的同旁内角互补性质的得到的度数；因为，所以，进而可推导的度数． （2）对于①，先根据角平分线定义分别得到和的表达式，再过点作平行于的辅助线，利用平行线的内错角相等的性质，将拆分为两个角的和，代入已知表达式化简即可．对于②，先确定的度数，结合得到的度数；因为点在直线上，所以分在线段上和在的延长线上两种情况，分别利用三角形内角和定理或角的和差关系列方程求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①过点作，过点作， ， ，， 平分，， ， 又， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ②， ， 当点在延长线上时， 过点作， ， ， ， 由①得，， ， ， ， ， ， 又， ， 解得， 当点在线段上时， 过点作， ， ， 由①得，， ， ， ， ， ， 又， ， 解得， 所以的值为或． （用三角形内角和解也可） 题型6 直角三角形的两锐角互余 解题技巧（互余速算模板） 1. 核心结论：Rt△中，两锐角和恒为90°，知一角直接求另一角； 2. 组合题型：结合角平分线、平行线、对顶角，先转化角度再用互余计算； 3. 多直角图形：多个直角三角形嵌套，反复利用互余关系等量代换； 4. 易错规避：仅限直角三角形使用，普通三角形无此性质。 【典例6】．如图，在中，，为边延长线上的一点，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，得到与相等，进而算出的大小。 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， ， ， ， ， ， ． 【变式2】．如图，直线，的顶点在直线上，．若，则____________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，三角形内角和，直角三角形的性质，求解即可； 【详解】解：， ， ， ， 【变式3】．如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、，则下列结论正确的是________． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的定义、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故①正确； 平分， ， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ， ， ， 不一定等于， 不一定等于， 故④不成立； 综上所述，结论正确的是①②③． 题型7 锐角互余的三角形是直角三角形 解题技巧（逆向判定法） 1. 判定核心：只要三角形两个内角和为90°，即可直接判定为直角三角形； 2. 证明题型：通过平行线、角平分线、外角性质，推导两角互余，完成直角三角形求证； 3. 形状判定：无需计算具体角度，证互余即可判定三角形类型； 4. 综合应用：为后续勾股定理、直角三角形全等判定铺垫条件。 【典例7】．在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 故选：B． 【变式1】．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 【答案】C 【详解】解：对于选项A：由可得，根据三角形内角和定理可得，则是直角三角形，故A不符合题意； 对于选项B：∵， 又∵， ∴，即， ∴是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C：∵， 设 ∴， ∴、、无法构成三角形，故C符合题意； 对于选项D：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故D不符合题意． 【变式2】．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【详解】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 【变式3】．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 题型8 三角形的外角的定义及性质 解题技巧（外角三性质通解法） 1. 定义辨析：一边为三角形边、一边为边的延长线，满足即为外角； 2. 角度计算：优先用「外角=不相邻两内角和」，一步秒杀复杂角度； 3. 大小比较：用「外角＞任意不相邻内角」解决角度不等关系证明； 4. 补角关系：外角+相邻内角=180°，双向互求角度； 5. 综合拔高：多层外角嵌套，逐层拆解代换，简化几何角度推理。 【典例8】．如图，将一个含角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式1】．体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则的度数是（     ）          A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得：. 【变式2】．如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为_____． 【答案】/68度 【分析】延长交于M， 设，则，根据三角形外角的性质可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于M， ∵平分，平分， ∴， 可设，则， ∵， ∴，， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】．如图，在水平桌面上放置着一把直尺和一个圆规，且圆规的两脚恰好接触直尺的两边，此时圆规的张角（）为，若，则的度数为______． 【答案】/52度 【分析】利用，求解即可； 【详解】解：， ， ，，， ， ； 1．如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和性质列式，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 3．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， ∵直尺的两边互相平行， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 5．如图，，于点，点，，分别是，，上的点，连接，，．若平分，平分，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和角平分线定义，结合三角形内角和定理和垂线定义可以判断①②；根据，，得出，再根据三角形内角和定理，可以判断③；先根据，求出，再根据角平分线定义求出，然后根据平行线的性质求出，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ，故②正确； ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点F作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴，故④错误； 综上，正确的有①②③． 6．如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用三角形的内角和可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．已知一副三角板按如图方式摆放，其中，，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和三角形内角和定理，求出，，再利用平角求解即可． 【详解】解：， ， ，， ， ． 8．如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，当为的平分线时，将沿着翻折，得到．如下结论：①点落在上；②；③平分．结论正确的是（     ） A．①②正确 B．②③正确 C．①③正确 D．①②③都正确 【答案】D 【分析】根据三角形内角和及角平分线求出，结合翻折得到，由此判断①；根据翻折性质得到，结合①即可判断②；根据直角三角形两锐角互余判断③． 【详解】解：在中，，， ∴， 当为的平分线时，， 由翻折得， ∴， ∴点落在上，故①正确； 由翻折得， 由①知点落在上， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴平分，故③正确． 9．如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 【答案】D 【分析】甲利用三角形外角定理，乙利用平行线的性质和三角形内角和定理，丙利用三角形内角和定理分别求证即可解答． 【详解】解：甲：是的外角， ， 是的外角， ， ； 乙：， ， ，， ，， ； 丙：在中，， 在中，， ． 综上所述，甲、乙、丙都能求出． 10．如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【答案】A 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角性质求出，最后根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ． 11．如图①是停车场的地锁，图②为其示意图，若，则________． 【答案】80 【分析】根据三角形外角的性质得到，再由邻补角互补可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．若平面内两个角、的两边一边互相平行，另一边互相垂直，且，则________． 【答案】或 【分析】根据题意分两种情况画出图形，利用平行线的性质与垂直的定义，结合角度的和差关系计算的度数． 【详解】解：分两种情况讨论： (1) 当的一边与的一边平行，另一边互相垂直，得到钝角时： ，， ∴ 又 另一边互相垂直，即， ； (2) 当的一边与的一边平行，另一边互相垂直，得到锐角时： ，， ∴ 又 另一边互相垂直，即， 综上可知，或． 13．如图，若，则________． 【答案】 【分析】利用三角形内角和为求得，结合推导出的数值． 【详解】解：如图， ， ∴， ∵， ∴， ， ． 14．图①是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图②是该花窗中的部分图案．已知，，，则____________． 【答案】120 【分析】由三角形内角和定理可得，结合平行线的性质可得，最后再由多边形的外角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 15．如图，已知，，，且，则的度数为__________． 【答案】 【分析】连接，设，，，，根据平行线性质得出，求出，求出，，即可得出答案． 【详解】解：连接，设，，，， ， ， ， ， ， ， ． 16．如图，在中，，． (1)求证：为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． (2) 【分析】（1）根据，，结合三角形内角和定理可得，进而得到，即可证明； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，再根据求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 17．数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下： (1)【论证】如图1，延长至D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为，请完成上述说理过程； (2)【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作，M在射线上，且，的延长线与的延长线交于点D． ①______； ②设，请用的代数式表示； (3)【拓展】如图3，中，，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点P，．绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，与重合时再绕着点P以原速度逆时针方向旋转，当旋转一周时，运动全部停止，设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：延长至D，过点A作， ∴， ∵， ∴， 即三角形的内角和为； (2)①；② (3)t的值为15秒或秒． 【分析】（1）利用平行线的性质以及平角的性质即可证明； （2）①利用平行线的性质以及角平分线的定义求得，再推出，再利用平角的性质即可求解； ②在中，，由三角形的外角性质推出，结合①的结论即可求解． （3）当旋转一周时，运动全部停止，求得总时间为30秒，与重合时间为15秒，分情况讨论，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：∵当旋转一周运动停止， ∴总时间（秒）， 当与重合时，重合时间为秒， 当秒时，旋转了， 此时，即； 当与重合后，绕着点P逆时针方向旋转过程中，时，如图，， ∵， ∴， 整理得， 解得， 综上，t的值为15秒或秒． 18．【综合与应用】当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．如图①、图②、图③入射光线经过镜子两次镜面反射，分别反射为两条反射光线，且，．设镜子与的夹角． 【问题初探】 (1)如图①，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子后反射，，．若，则的度数是______°． 【拓展应用】 (2)如图②，是一种由两面镜子组成的反光镜，若与平行，求两面镜子的夹角的度数． 【深入探究】 (3)如图③，若，，入射光线的延长线与反射光线的反向延长线的夹角，若三角形为锐角三角形，请求出的取值范围． 【答案】(1)40； (2)当与平行时，． (3)． 【分析】（1）先由三角形内角和定理得到，由题意得，，根据平角的定义得到，，再由三角形内角和定理求解即可； （2）根据当，得到，然后根据平角的定义得到，再由，，以及三角形内角和定理求解即可； （3）由图可得，，即得，再根据锐角三角形的定义列出不等式组解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵ ∴ 由题意得， ∵，， ∴； （2）解：当时，， ∵ ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即当与平行时，两面镜子的夹角； （3）解：由图可得，， ∵， ∴， 同理可得，， ∴ ． ∵三角形为锐角三角形， ∴， ∴ 19．如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)是， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）根据得到，，结合，得到即可． （2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．如图，在中，点、分别在边、上． (1)若，，且，求的度数； (2)若，，试说明：． 【答案】(1) (2)， 且， ， ， ， ． 又， ． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，进而得出，即可求得，即可求解． （2）根据已知可得，进而得出，结合，即可得出． 【详解】（1）解：∵在中，，， ， ， ， ， ． （2）略 21．已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 【答案】(1)， (2)证明：在与中，， ∵， ∴， ， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解； （2）根据三角形内角和及对顶角相等可得，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求证； （3）由（1）得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如下图， ，， ，， 由（1）得，， 两式相加，得， 即， ． 22．【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理计算即可； （3）根据角平分线的定义求出，可知只能是或，根据三角形外角的性质得到，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和定理求出，则，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的平分线，相交于点， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分外角，， ∴，即， 因此只能是或． 根据三角形外角的性质得到， ∵平分外角，平分外角， ∴， ∴，即， ∴， 分情况讨论： 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述，的度数为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 三角形的内角与外角 目录 知识点1 三角形内角和定理（核心必考） 2 知识点2 直角三角形的性质与判定 2 知识点3 三角形外角的定义与核心性质 2 知识点4 高频角度模型结论（预习必记） 3 题型1 三角形内角和定理的证明 3 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 4 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 5 题型4 三角形折叠中的角度问题 7 题型5 三角形内角和定理的应用 8 题型6 直角三角形的两锐角互余 10 题型7 锐角互余的三角形是直角三角形 11 题型8 三角形的外角的定义及性质 12 1. 知识目标：熟练掌握三角形内角和定理的内容与标准证明方法；掌握直角三角形两锐角互余的性质及逆向判定定理；精准理解三角形外角的定义、四大核心性质及外角和结论；熟记各类角度转化的几何依据，理清内角、外角、平行线、角平分线、折叠模型的关联考点。 2. 能力目标：能规范完成三角形内角和定理的几何证明；熟练解决平行线、角平分线、折叠结合的三角形角度计算题型；掌握内角和定理的各类实际与几何综合应用；能精准判定直角三角形、灵活运用外角性质进行角度计算与大小比较。 3. 素养目标：建立数形结合、模型化解题、等量代换的几何思维，掌握方程法解角度问题的通用思路，提升几何识图、逻辑推理、步骤书写能力，夯实八年级三角形角度计算核心考点，为多边形角度学习铺垫基础。 知识点1 三角形内角和定理（核心必考） 定理内容：任意三角形的三个内角的和等于180°。 几何语言：在△ABC中，。 常用证明思路：过三角形顶点作对边平行线，利用平行线内错角相等、平角为180°完成推导，是课本标准证法。 核心用途：已知两角求第三角、设未知数列方程求角度、根据角度关系判定三角形形状。 知识点2 直角三角形的性质与判定 1. 性质定理：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。 几何语言：在Rt△ABC中，，则。 2. 判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 几何语言：在△ABC中，，则△ABC为直角三角形。 知识点3 三角形外角的定义与核心性质 1. 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 核心特征：外角与相邻内角互为邻补角（和为180°）。 2. 外角核心性质： ① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和（计算万能公式）； ② 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角（角度大小比较专用）； ③ 三角形三个外角的和为360°。 知识点4 高频角度模型结论（预习必记） 1. 角平分线模型：内角平分线夹角=90°+顶角； 2. 折叠模型：折叠前后对应角度相等，折叠产生的夹角可通过内角和、外角性质推导； 3. 平行线+三角形模型：借助同位角、内错角相等，实现角度等量代换。 题型1 三角形内角和定理的证明 解题技巧（标准平行线证法模板） 1. 辅助线作法：过三角形任意一个顶点，作对边的平行线； 2. 角度转化：利用平行线的内错角相等，将三角形三个内角等量转化为一个平角； 3. 定理推导：平角为180°，即可证得三角形内角和为180°； 4. 拓展证法：剪拼法（实操验证）、延长边构造邻补角推导（几何常用）； 5. 得分要点：证明过程必须标注辅助线、平行线性质、平角定义，步骤完整不跳步。 【典例1】．在探究三角形内角和定理时，我们通过剪拼将一个三角形的三个内角拼成一个平角，这一过程运用的数学思想主要是（     ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．方程思想 D．整体思想 【变式1】．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【变式3】．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 解题技巧（平行等角+内角和双用法） 1. 找平行关系：从题干提取平行线条件，锁定同位角、内错角相等、同旁内角互补； 2. 角度代换：将平行线得出的等角代入三角形中； 3. 套用定理：结合三角形内角和180°，计算未知角度； 4. 压轴思路：复杂图形多次平行转化，逐层代换，结合对顶角、邻补角化简求解。 【典例2】．如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．如图，，的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，，则________． 【变式3】．如图，，被直线所截，，将线段沿着直线平移得到线段，连接．在平移过程中，当时，的度数是_______． 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 解题技巧（平分倍角+模型秒杀法） 1. 基础思路：角平分线平分内角，得到两个相等小角，结合内角和列等式计算； 2. 核心秒杀模型：在△ABC中，两内角平分线交于点P，则； 3. 计算套路：已知顶角求平分夹角、已知平分夹角反求顶角，双向快速求解； 4. 综合题型：结合外角、平行线性质，多层角度代换，简化复杂计算。 【典例3】．如图，在中，，是的角平分线且，相交于点O，，求的度数（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 【变式3】．如图，，分别是的高和角平分线，若，则___________． 题型4 三角形折叠中的角度问题 解题技巧（折叠等角+整体补差法） 1. 核心原则：折叠前后对应角度完全相等； 2. 常规解法：标记折叠前后相等角，结合平角、三角形内角和列方程求解； 3. 秒杀结论：折叠产生的外角差=2倍折叠偏移角，快速求解折叠夹角； 4. 解题步骤：先标等角、再找补角、最后套内角和，步骤固定、不易出错。 【典例4】．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 【变式3】．如图，在三角形纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为．则___________． 题型5 三角形内角和定理的应用 解题技巧（方程建模万能法） 1. 比例题型：已知角度比例，设每份为，用含式子表示三个内角，列方程求解； 2. 角度关系题型：根据题干倍角、差角关系设未知数，列方程计算； 3. 形状判定：求出最大内角，锐角为锐角三角形、直角为直角三角形、钝角为钝角三角形； 4. 实际应用：结合生活场景、几何组合图形，依托内角和定理拆解求解。 【典例5】．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，为延长线一点，若，，则________． 【变式2】．综合与探究一一问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，点分别在边和上，．三角尺中，．猜想与的数量关系，并说明理由． 【问题初探】： (1)若，则_____； (2)小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法．如图2，过点作，交于点，请你根据小宇同学提供的辅助线，先确定与的数量关系，再说明理由； 【类比再探】： (3)如图3，把“”改为“”，其它条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 【变式3】．如图1，直线，直线与，分别交于点，，若过点作，平分，，交于点．设． (1)若，则________； (2)点是平面内一点，连接，，依题意回答下列问题： ①如图2，若，分别平分，，则的度数是多少？（用含的式子表示） ②若点在直线上，，且，求的值． 题型6 直角三角形的两锐角互余 解题技巧（互余速算模板） 1. 核心结论：Rt△中，两锐角和恒为90°，知一角直接求另一角； 2. 组合题型：结合角平分线、平行线、对顶角，先转化角度再用互余计算； 3. 多直角图形：多个直角三角形嵌套，反复利用互余关系等量代换； 4. 易错规避：仅限直角三角形使用，普通三角形无此性质。 【典例6】．如图，在中，，为边延长线上的一点，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，直线，的顶点在直线上，．若，则____________． 【变式3】．如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、，则下列结论正确的是________． ①；②；③；④． 题型7 锐角互余的三角形是直角三角形 解题技巧（逆向判定法） 1. 判定核心：只要三角形两个内角和为90°，即可直接判定为直角三角形； 2. 证明题型：通过平行线、角平分线、外角性质，推导两角互余，完成直角三角形求证； 3. 形状判定：无需计算具体角度，证互余即可判定三角形类型； 4. 综合应用：为后续勾股定理、直角三角形全等判定铺垫条件。 【典例7】．在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式1】．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 【变式2】．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 【变式3】．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 题型8 三角形的外角的定义及性质 解题技巧（外角三性质通解法） 1. 定义辨析：一边为三角形边、一边为边的延长线，满足即为外角； 2. 角度计算：优先用「外角=不相邻两内角和」，一步秒杀复杂角度； 3. 大小比较：用「外角＞任意不相邻内角」解决角度不等关系证明； 4. 补角关系：外角+相邻内角=180°，双向互求角度； 5. 综合拔高：多层外角嵌套，逐层拆解代换，简化几何角度推理。 【典例8】．如图，将一个含角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则的度数是（     ）          A． B． C． D． 【变式2】．如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为_____． 【变式3】．如图，在水平桌面上放置着一把直尺和一个圆规，且圆规的两脚恰好接触直尺的两边，此时圆规的张角（）为，若，则的度数为______． 1．如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 3．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，，于点，点，，分别是，，上的点，连接，，．若平分，平分，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 6．如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．已知一副三角板按如图方式摆放，其中，，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，当为的平分线时，将沿着翻折，得到．如下结论：①点落在上；②；③平分．结论正确的是（     ） A．①②正确 B．②③正确 C．①③正确 D．①②③都正确 9．如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 10．如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 11．如图①是停车场的地锁，图②为其示意图，若，则________． 12．若平面内两个角、的两边一边互相平行，另一边互相垂直，且，则________． 13．如图，若，则________． 14．图①是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图②是该花窗中的部分图案．已知，，，则____________． 15．如图，已知，，，且，则的度数为__________． 16．如图，在中，，． (1)求证：为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 17．数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下： (1)【论证】如图1，延长至D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为，请完成上述说理过程； (2)【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作，M在射线上，且，的延长线与的延长线交于点D． ①______； ②设，请用的代数式表示； (3)【拓展】如图3，中，，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点P，．绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，与重合时再绕着点P以原速度逆时针方向旋转，当旋转一周时，运动全部停止，设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求t的值：若不存在，请说明理由． 18．【综合与应用】当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．如图①、图②、图③入射光线经过镜子两次镜面反射，分别反射为两条反射光线，且，．设镜子与的夹角． 【问题初探】 (1)如图①，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子后反射，，．若，则的度数是______°． 【拓展应用】 (2)如图②，是一种由两面镜子组成的反光镜，若与平行，求两面镜子的夹角的度数． 【深入探究】 (3)如图③，若，，入射光线的延长线与反射光线的反向延长线的夹角，若三角形为锐角三角形，请求出的取值范围． 19．如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，，求的度数． 20．如图，在中，点、分别在边、上． (1)若，，且，求的度数； (2)若，，试说明：． 21．已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 22．【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $