专题01 三角形的概念 讲义-2026-2027学年人教版八年级上册数学

该初中数学讲义以“三角形的概念”为核心，通过四大知识点框架系统梳理知识体系，涵盖三角形的识别与概念、个数问题、分类及等腰三角形定义，以目录结构呈现知识脉络，突出各要点间的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层设计16道典型题，如通过第8题多边形分割三角形探究关系培养空间观念与创新意识，第13题等腰三角形周长计算强化推理意识与运算能力。基础题夯实概念，探究题提升思维，助力不同层次学生自主复习，也为教师实施精准教学提供支持。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题01 三角形的概念（四大题型16道题） 目录 知识点一三角形的识别与有关概念 1 知识点二三角形的个数问题 2 知识点三三角形的分类 6 知识点四等腰三角形的定义 8 知识点一三角形的识别与有关概念 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 3．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的边角关系，利用三角形中大边对大角的性质，确定各边对应的对角，即可比较三个角的大小． 【详解】解：在任意三角形中，大边对大角，在中，边的对角为，边的对角为，边的对角为， ， ． 4．如图，写出以为角的三角形，写出以为边的三角形． 【答案】，；，， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，根据三条线段，两两相交在一起所构成的一个密闭的平面图形叫做三角形得出所有三角形是解题关键．根据图形直接得出所有的三角形进而得出答案． 【详解】解：以为角的三角形有，， 以为边的三角形有，，． 知识点二三角形的个数问题 5．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如图， 三角形有，一共有6个． 6．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 7．仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【答案】35 【分析】按照一定的规律，寻找三角形，可以找全不遗漏． 【详解】解：如图， 图中有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 共计有个三角形． 8．小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 【答案】（1）3，6；（2），，图见详解；（3） 【分析】本题主要考查了图形规律探索，利用数形结合正确找出三角形的个数与n边形内点的个数关系是解题的关键． （1）根据三角形内有1个点时，三角形个数为3；四边形内有2个点时，三角形个数为6； （2）根据四边形内有2个点时，三角形个数为6；四边形内有1个点时，三角形个数为4；得出三角形个数为5时，多边形是三角形，三角形内的点数大于1，验证即可； （3）由（1）（2）中的规律可得n边形的规律． 【详解】解：（1）如图①，三角形内有1个点时，三角形个数为3， 即当，时，； 如图②，四边形内有2个点时，三角形个数为6， 即当，时，； 故答案为：3；6； （2）当，时，；当，时，； 故当时，， 当，时，如图，； 综上，，； （3）根据（1）（2）可知当，时，； 当，时，； 当，时，； ， 当，时，； 当，时，； 综上，． 知识点三三角形的分类 9．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的具体形状，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ， ∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角， ∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ， ∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形， 综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能． 10．在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】B 【分析】根据三角形的分类定义判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形． 11．如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 【答案】 【分析】分三种情况，当时，当时，当时，分别找出符合条件的P点的个数，即可解决问题． 本题考查了直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，分三种情况： 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 综上所述，为直角三角形，符合条件的P点的个数为（个）． 故答案为：6． 12．利用网格中的点A，B，C，D，E，在下面的方框中画三角形： （1）在第一个方框中画锐角三角形； （2）在第二个方框中画直角三角形； （3）在第三个方框中画钝角三角形． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）画图见解析 【分析】本题考查的是画三角形，三角形的分类； （1）根据锐角三角形的定义画锐角三角形的即可； （2）根据直角三角形的定义画直角三角形的即可； （3）根据钝角三角形的定义画钝角三角形的即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； 知识点四等腰三角形的定义 13．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（    ） A．17 B．20 C．22 D．17或22 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长度求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若为腰长，为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 14．已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（    ） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm 【答案】B 【分析】已知给出的9cm和15cm两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为x，分两种情况讨论：x+x=9或x+x=15． 【详解】解：设三角形的腰为x，如图： △ABC是等腰三角形，AB=AC，BD是AC边上的中线， 则有AB+AD=9或AB+AD=15，分下面两种情况解． （1）x+x=9， ∴x=6， ∵三角形的周长为9+15=24cm， ∴三边长分别为6，6，12 ∵6+6=12，不符合三角形的三边关系，故舍去； （2）x+x=15 ∴x=10 ∵三角形的周长为24cm ∴三边长分别为10，10，4． 综上可知：这个等腰三角形的腰长为10cm． 故选：B． 【点睛】主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．最后要注意利用三边关系进行验证． 15．如图，，，图中的等腰三角形有__________个． 【答案】/三 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，是等腰三角形， 综上：图中的等腰三角形有个． 故答案为： 16．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长． （2）能围成有一边的长是的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1），， （2）能围成有一边长的长是的等腰三角形．它的另外两条边长是和，或和 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形三边关系进行验证． （1）设底边长为，则腰长为，由条件列出方程，求解即可； （2）分底边长为和腰长为两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设底边长为，则腰长为， ． 解得． ∴它的三边分别为，，．（能构成三角形） （2）解：能围成有一边长的长是的等腰三角形．理由如下： ①如果长的边为底边，设腰长为，则 ． 解得． ∵， ∴此时能构成三角形； ②如果长的边为腰，则另两边长为和． ∵，符 ∴此时能构成三角形， 综上所述，能围成有一边长的长是的等腰三角形．它的另外两条边长是和，或和． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题01 三角形的概念（四大题型16道题） 目录 知识点一三角形的识别与有关概念 1 知识点二三角形的个数问题 2 知识点三三角形的分类 3 知识点四等腰三角形的定义 4 知识点一三角形的识别与有关概念 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 3．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 4．如图，写出以为角的三角形，写出以为边的三角形． 知识点二三角形的个数问题 5．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 6．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 8．小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 知识点三三角形的分类 9．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 10．在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 11．如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 12．利用网格中的点A，B，C，D，E，在下面的方框中画三角形： （1）在第一个方框中画锐角三角形； （2）在第二个方框中画直角三角形； （3）在第三个方框中画钝角三角形． 知识点四等腰三角形的定义 13．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（    ） A．17 B．20 C．22 D．17或22 14．已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（    ） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm 15．如图，，，图中的等腰三角形有__________个． 16．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长． （2）能围成有一边的长是的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $