13.2.1三角形的边（教学设计）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦“三角形的边”核心知识，涵盖三边关系（任意两边之和大于第三边、之差小于第三边）及稳定性。以哪吒路线情境导入，回顾“两点之间线段最短”，衔接小学对三角形的直观认识，搭建生活到数学的学习支架。 特色在于融入核心素养，通过观察猜想推导三边关系培养抽象能力，动手扭动木架感受稳定性发展推理意识，等腰三角形计算中渗透分类讨论强化验证习惯。实例丰富（如建筑稳定性）提升应用意识，助力教师突破重难点，培养学生严谨思维与实践能力。

13.2.1 三角形的边（教学设计） 年级 八年级 学科 数学 课时数 1课时 教师 课题 13.2.1 三角形的边 教学 目标 知识与技能 1、理解并掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”。 2、能利用三边关系判断三条线段能否组成三角形，会求已知两边时第三边的取值范围。 3、理解三角形的稳定性，能识别生活中利用三角形稳定性的实例。 4、会解决等腰三角形边长、周长的相关计算问题，掌握分类讨论和检验构三角形的解题规范。 过程与方法 1、经历观察、猜想、验证、归纳的过程，体会从特殊到一般的数学思想。 2、通过动手操作（扭动三角形/四边形木架）、小组合作探究，提升动手实践能力与合作交流能力。 3、在解决含参数的三角形边长、等腰三角形问题中，渗透分类讨论思想和方程思想，发展逻辑推理能力。 情感态度价值观 1、感受数学知识与实际生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。 2、在探究活动中体会数学的严谨性，养成解题时主动验证“能否构成三角形”的习惯，培养科学严谨的学习态度。 教材 分析 本节课是人教版八年级上册第十三章《三角形》的第一节内容，是在小学初步认识三角形的基础上，对三角形边的关系的系统学习，是全章的基础。三角形三边关系是后续学习三角形全等、相似、勾股定理等内容的重要前提，也是解决实际问题（如工程结构、路径选择）的核心依据。三角形的稳定性是对三角形性质的延伸，体现了数学在生活中的应用，为后续学习多边形内角和、镶嵌等内容做了铺垫。本节课既承接了小学阶段对图形的直观认识，又开启了初中阶段对平面几何的严谨推理，起到承上启下的作用。 学情分析 1、已有基础：学生在小学阶段已经直观认识了三角形，知道“两点之间线段最短”，对生活中的三角形结构有一定感知，具备基本的观察和简单推理能力。 2、认知特点：八年级学生正处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对直观操作的兴趣较高，但抽象概括能力和严谨的逻辑推理能力仍需培养；容易忽略“分类讨论”和“验证是否能构成三角形”的解题环节，出现漏解或错解。 3、潜在困难：对“任意”两字的理解不到位，容易误以为只需要一组两边之和大于第三边即可；在等腰三角形问题中，容易直接套用分类标准，忽略三边关系的检验；对含参数（字母表示边长）的问题存在畏难情绪。 教学重点 三角形三边关系的探究与应用；三角形的稳定性的理解。 教学难点 灵活运用三边关系解决含参数的边长、等腰三角形周长问题；理解“任意”的含义，养成解题时验证三角形的习惯。 教学器材 多媒体ppt 教学过程 教师活动 学生活动 情景导入 展示PPT“哪吒从家到太乙真人洞府的三条路线”问题： 【提问】：哪条路最短？为什么？引导学生回顾“两点之间线段最短”的公理。 【设计意图】用学生熟悉的神话人物创设情境，激发学习兴趣，自然引出三角形的边，为后续探究三边关系做铺垫。 观察图片，思考回答： 新知探究 一、三边关系 引导推导：结合路线问题，给出△ABC的三边AB、AC、BC， 【提问】由“AC是最短路径”能得到什么不等式？ 同理，BC+AB和AC是什么关系？AC+BC和AB呢？ 【归纳总结】：引导学生共同总结出“三角形任意两边之和大于第三边”。 【变形推导】：引导学生利用不等式性质，对上述三个式子进行变形，得出“三角形任意两边之差小于第三边”。 / / / 【追问】：要判断三条线段能否组成三角形，需要验证所有三组关系吗？有没有更简单的方法？ 只需验证“较短两边之和大于最长边”即可，简化判断方法 【设计意图】从实际情境到数学符号，经历从具体到抽象的归纳过程，突破“任意”的难点；通过追问优化判断方法，培养学生的优化意识。 思考回答：AB+AC＞BC， 同理可得BC+AB＞AC，AC+BC＞AB。 动手变形不等式，自主推导两边之差小于第三边的结论。 小组讨论并给出结论 新知应用 1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，3，6 （2）2，5，6 （3）15，16，2 （4）3，8，20 解：(1)∵3+3=6， ∴这三条线段不能组成一个三角形. (2)∵2+5>6， ∴这三条线段能组成一个三角形. (3)∵15+2>16， ∴这三条线段能组成一个三角形. (4)∵3+8<20， ∴这三条线段不能组成一个三角形. 【注意】：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形. 2.三条线段分别满足下列条件，其中能构成三角形的是( C ) A. B. C. D. 3.从长为的四根本条中选出其中三根组成三角形，可以选 或或 (写出所有的方案) 4.若三角形的两边分别为和，则第三条边长的取值范围为_____ 【方法总结】:已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。 【设计意图】通过练习，运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解决问题。 独立完成后口答，说明判断依据，重点解释(1)(4)不能构成的原因。 完成第2、3题，订正答案，明确比例线段要先按比例赋值，再判断。 自主推导第三边范围：1＜a＜5，总结规律 新知再探 二、三角形的稳定性 【演示实验】 （1）拿出预先做好的三角形木架，扭动它，提问：形状改变吗？ （2）拿出四边形木架，扭动它，提问：形状改变吗？ （3）在四边形木架上钉一根木条，连接一对顶点，再扭动，提问：现在形状改变吗？【总结】：三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 【设计意图】通过直观操作实验，让学生亲身体验三角形的特性，比直接讲授印象更深刻；联系生活实际，体现数学的应用价值。 观察实验，动手感受，得出结论：三角形形状不变，四边形形状可变，加木条后四边形变稳 针对训练 1.如图，在建筑工地我们常看见用木条EF固定矩形门框ABCD的情形，这种做法的根据是(　C　) A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．矩形的四个角是直角 2.下列不是利用三角形的稳定性的是（ C ） A.自行车的三角形车架 B.三角形房梁 C.四边形活动挂架 D.长方形门框的斜拉条 3.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是____三角形具有稳定性_____ 4.(1)在如图所示的图形中，哪些具有稳定性？ (2)对上图中不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 解(1)1，4，6具有稳定性 2，3，5不具有稳定 (2)如图所示 【规律与方法】怎样判断一个图形是否具有稳定性 从整体上看，如果这个图形全部是由三角形组成的，一般情况下，这个图形就具有稳定性；如果这个图形中除含有三角形外，还含有其他图形（如四边形），那么一般情况下，这个图形不具有稳定性 【设计意图】联系生活实际，体现数学的应用价值。 完成针对训练，明确生活中利用三角形稳定性的实例，总结判断稳定性的方法：全由三角形组成的图形才具有稳定性 典例分析 例1(1).已知等腰三角形的腰等于7，底边等于8，则它的周长为 22 (2).已知等腰三角形的一边等于7，另一边等于8，则它的周长为 22或23 (3).已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于8，则它的周长为 19 【易错题型】：必须验证是否能够构成三角形 例2.如果是△ABC的三边，满足 (1)求的取值范围； (2)若a为偶数，求三角形的周长. 解(1)由题意可得：解得： 将代入可得： ∵ ∴ (2)∵为偶数 ∴或或 当时，三角形的周长为：13 当时，三角形的周长为：15 当时，三角形的周长为：17 综上所述：三角形的周长为13，15或17. 例3.已知的三边长分别为,,10,求的取值范围． 解：由三角形三边关系定理得到：， 解①得， 解②得， 解③得， 不等式组的解集为． 例4.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？ （3）能围成有一边的长为9cm的等腰三角形吗？为什么？ （4）假设等腰三角形的腰长为,求的取值范围？ （5）假设等腰三角形的底边长为,求的取值范围？ （6）假设等腰三角形的最长边为,求的取值范围？ (7)三角形每条边的长度都是整数，最多可以围出几个满足条件的等腰三角形？请分别写出各等腰三角形的边长 解（1）：设等腰三角形底边长为,则腰长为 ∴ 解得 ∴此时各边的长为，， (2) 能围成，理由如下： 当为腰长时：底边长为： ∵ ∴不能围成三角形，因此腰长不能为4cm. 当为底边时：腰长为： ∵ ∴能围成底边长的等腰三角形 综上所述：能围成底边长的等腰三角形。 (3) 不能围成一边长是9cm的等腰三角形，理由如下： 分两种情况讨论，如下： ①当长为的边为腰时，设底边长为,根据题意， 得，解得， 所以腰长为时，不能围成等腰三角形； ②当长为的边为底边时，设腰长为,根据题意， 得，解得, 由，可知两条线段的和等于第三条线段，所以以为底边长不能组成三角形. 故不能围成一边长是9cm的等腰三角形； （4）由题意可知三边长为,, 当腰为短边时：解得 当腰为长边：解得 ∴取值范围为 （5）由题意可知三边长为,,, 则有 解得： ∴取值范围为 （6）由题意可知 解得： ∴取值范围为 （7）设等腰三角形的腰长为,则等腰三角形的底边长为, 由题意得：解得： , ∵取整数，∴或, 当时，;当时，; 当时，;当时，; ∴最多可以围出个满足条件的等腰三角形，等腰三角形的边长分别为或或或. 【设计意图】通过典型例题，突破教学难点，渗透分类讨论、方程、数形结合思想；重点强化“验证三角形”的解题习惯，减少出错； 1. 跟随教师思路，完成例1的计算，重点理解（2）（3）的分类逻辑，记住“算完后必须验三边”的解题规范。 2. 回顾非负数的性质，自主完成例2、例3的求解，明确含参数问题要列不等式组。 3. 分组讨论例4的不同情况，上台展示解题过程，辨析9cm作为腰时底边长为0、作为底时4.5+4.5=9不能构成三角形的原因。 4. 总结规律：等腰三角形求取值范围、整数解时，要结合三边关系和周长公式列不等式。 变式训练 1.已知三角形的三边长分别为3,,4，求的取值范围 解：由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 则：即 2.已知三角形三条边的长分别为，，，求的取值范围 解：由题意可得∴ 3.若是△ABC的三边，化简： 解：∵两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ∴,, ∴原式= 4.若等腰三角形的三边长分别为，，，求三角形的周长 解 ①当底边长为时，，解得， 此时三边长分别为，，，不符合三角形三边关系； ②当底边长为时，，解得， 此时三边长分别为，，，符合三角形三边关系； ③当底边长为时，，解得， 此时三边长分别为，不符合三角形三边关系. ∴三角形的周长为. 5.如图，是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在或上钉上一根木条，现量得，，，，试问所需的木条长度至少要多长(结果保留整厘米数) 解:当连接时,在△中: 在△中： 即 当连接时,在△中: 在△中： 即 综上所述：所需的木条长度至少要 【设计意图】通过变式训练，提升知识的综合运用能力 学生独自完成，然后教师针对讲解。 课 堂 练 习 1．下列图形中，不具有稳定性的是(　B　) 2．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条(　B　) A．0根 B．1根 C．2根 D．3根 3.若三角形的两边分别为2和3，则第三条边可能是( B ) A.1 B. 2 C.5 D.6 4.三角形ABC中，三边均为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形可能最长边是（ C ） A.7 B.6 C.5 D.4 5.若一个三角形有两边长为5和2，第三边长为奇数，则此三角形的周长为 12 6.在三角形ABC中，AB=7,BC=3，并且AC为奇数,那么三角形ABC的周长 15或17或19 。 板 书 设 计 13.2.1 三角形的边 一、三角形三边关系 (1)任意两边之和大于第三边：,, (2)任意两边之差小于第三边：,, 二、三角形的稳定性 三、例 课 堂 小 结 13.2.1 三角形的边 1.三角形的三边关系（核心考点） (1)任意两边之和大于第三边：,, (2)任意两边之差小于第三边：,, 2.判断三条线段能否围成三角形 最快方法：最短两边之和最长边​只要这一条成立，其余自动成立。 3.已知两边，求第三边的取值范围 设已知两边为 ，第三边为，则： 如果是整数边，再在这个范围内数整数解即可 作业 1. 必做题：①教材P7练习1、2。 2. 选做题：用一根长为14厘米的细铁丝围成一个等腰三角形： （1）如果腰长是底边的3倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为2厘米的等腰三角形吗？为什么？ （3）如果最长边为x，求x的取值范围？ 3. 实践题：观察生活中哪些地方用到了三角形的稳定性，拍一张照片，下节课分享 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $