专题02 三角形的边 讲义-2026-2027学年人教版八年级上册数学

该初中数学讲义围绕三角形的边，通过目录系统梳理构成条件、第三边取值范围、三边关系应用、稳定性及不稳定性四大知识点，以层层递进的逻辑呈现知识脉络，突出三边关系这一核心重难点及其内在联系。 讲义亮点在于16道题分层覆盖四大题型，如结合斜拉桥情境考查稳定性培养数学眼光，通过等腰三角形周长计算发展推理意识，用不等式确定第三边范围强化数学语言表达。基础题巩固概念，综合题提升应用能力，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题02 三角形的边（四大题型16道题） 目录 知识点一构成三角形的条件 1 知识点二确定第三边的取值范围 1 知识点三三角形三边关系的应用 2 知识点四三角形的稳定性及四边形的不稳定性 3 知识点一构成三角形的条件 1．在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．活动课上老师要求同学们用三根小棒围成一个三角形，应该选择（   ）． A． B． C． 3．已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是__________． 4．一个等腰三角形的三边长分别为7，，．那么这样的三角形有几个？它们的边长分别是多少？ 知识点二确定第三边的取值范围 5．一个三角形的三边长度分别为2，5和x，则x的值可以是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．现有两根长度分别为和的木棒，若第三根木棒能与它们围成等腰三角形，则第三根木棒的长为______． 8．已知三角形的三边分别为，和． （1）求a的取值范围； （2）若a为小于8的偶数，求该三角形的周长． 知识点三三角形三边关系的应用 9．一等腰三角形的周长为20，两条边的比为，那么其底边长为（   ） A．10 B．4 C．4或10 D．5或8 10．有两根长度分别为4cm，9cm的木棒，再确定一根长为整数（单位：cm）的木棒与已有的两根木棒钉成一个三角形木框，木棒长度的选择方案有（   ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 11．如图，，，，点是平面内一点，且满足，则的最小值是__________． 12．在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． （1）小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； （2）小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 知识点四三角形的稳定性及四边形的不稳定性 13．石家庄滹沱河特大桥（如图）是国内首创的卷轴型空间索面独塔斜拉桥，于2023年10月主体建成通车．斜拉索是三角形的结构，主要利用的是（   ） A．垂线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 14．下列图形中，不具有稳定性的是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．梯形 D．直角三角形 15． 2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了________________． 16．小明用根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上根木条，请在图中画出你的三种做法．    学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题02 三角形的边（四大题型16道题） 目录 知识点一构成三角形的条件 1 知识点二确定第三边的取值范围 2 知识点三三角形三边关系的应用 4 知识点四三角形的稳定性及四边形的不稳定性 7 知识点一构成三角形的条件 1．在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比上面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； B选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； C选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形，符合题意； D选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意． 2．活动课上老师要求同学们用三根小棒围成一个三角形，应该选择（   ）． A． B． C． 【答案】C 【分析】判断三根小棒能否围成三角形，只需验证较短两根的长度和是否大于最长边，满足条件即可围成三角形. 【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，只需比较较短两边的和与最长边的大小即可判断. 选项A中，较短两边为和，，与最长边相等，不满足三边关系，不能围成三角形， 选项B中，较短两边为和，，不满足三边关系，不能围成三角形， 选项C中，较短两边为和，，满足三边关系，可以围成三角形， 所以应选择C. 3．已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是__________． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握和运用等腰三角形的性质是解决本题的关键．分两种情况分别计算，即可求得． 【详解】解：当此等腰三角形的腰长为2，底边长为4时，，不能构成三角形，舍去； 当此等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，，能构成三角形； 则它的周长为：． 故答案为：10． 4．一个等腰三角形的三边长分别为7，，．那么这样的三角形有几个？它们的边长分别是多少？ 【答案】有三个，边长分别为4、7、7；7、7、9；7、13、13． 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，和等腰三角形的性质，需分情况讨论：情况①、情况②、情况③，据此，分别求出三种情况下的三边长； 【详解】解：根据等腰三角形的两腰相等，分情况讨论如下： 情况①：，解得，则三边分别为7，7，4； 情况②：，解得，则三边分别是7，7，9； 情况③：，解得，则三边分别是13，13，7． 上述情况下所得的三组数据均满足三角形的三边关系，即都能构成三角形． 故满足题意的三角形有3个，它们的边长分别为4、7、7；7、7、9；7、13、13． 知识点二确定第三边的取值范围 5．一个三角形的三边长度分别为2，5和x，则x的值可以是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据定理确定第三边的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得， ∴，选项中只有满足该范围． 6．已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴， 即． 7．现有两根长度分别为和的木棒，若第三根木棒能与它们围成等腰三角形，则第三根木棒的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论第三根木棒的长度：①长度为；②长度为．再根据三角形三边关系定理，检验两种情况能否构成三角形，从而确定符合条件的长度． 【详解】解：情况：第三根木棒长为， ∵三边为、、， 又∵， ∴不满足三角形三边关系，不能构成三角形． 情况：第三根木棒长为， ∵三边为、、 又∵，，，， ∴满足三角形三边关系，能构成等腰三角形． 故答案为：． 8．已知三角形的三边分别为，和． （1）求a的取值范围； （2）若a为小于8的偶数，求该三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了三角形的三边关系． （1）根据第三边大于已知两边的差，小于已知两边的和求解即可； （2）根据第三边的取值范围确定三角形的另一边，进而求出周长． 【详解】（1）解：∵两边为和， ∴， 解得； （2）解：∵，a为小于8的偶数， 当时，该三角形周长为． 知识点三三角形三边关系的应用 9．一等腰三角形的周长为20，两条边的比为，那么其底边长为（   ） A．10 B．4 C．4或10 D．5或8 【答案】B 【分析】分两种情况讨论等腰三角形底边与腰的比例，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）舍去不符合的情况，即可得到底边长． 【详解】解：∵等腰三角形两条边的比为， ∴当底边长腰长时，设底边长为，则腰长为， ∵周长为20， ∴ 解得， 此时三边长为， ∵， ∴满足三角形三边关系，符合要求； 当腰长底边长时，设腰长为，则底边长为， ∵周长为20， ∴ 解得， 此时底边长， 此时三边长为， ∵，不满足三角形三边关系，舍去这种情况． ∴该等腰三角形底边长为4． 10．有两根长度分别为4cm，9cm的木棒，再确定一根长为整数（单位：cm）的木棒与已有的两根木棒钉成一个三角形木框，木棒长度的选择方案有（   ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，再找出范围内的整数个数即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， ∵三角形三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴， 即， 又∵为整数， ∴可取6、7、8、9、10、11、12，共7种选择方案， ∴木棒长度的选择方案有7种． 11．如图，，，，点是平面内一点，且满足，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，将转化为求的最小值，当B、C、D在同一直线上时，最小值为． 【详解】解：∵， ∴， ∴当B、C、D在同一直线上时，有最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：16． 12．在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． （1）小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； （2）小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 【答案】（1）第一段的长不能为， 理由如下： 根据题意，第一段长，第二段的长，第三段的长为， 当时，，， ∵， ∴三个木棒不能制作一个三角形木框， ∴第一段的长不能为； （2）符合条件的的整数长度为或或 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）先计算出三个木棒的长度，然后根据三角形三边关系判断即可得解； （2）设，则，先求出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵、、能组成三角形， ∴且， 解得， ∴整数为或或， 即符合条件的的整数长度为或或． 知识点四三角形的稳定性及四边形的不稳定性 13．石家庄滹沱河特大桥（如图）是国内首创的卷轴型空间索面独塔斜拉桥，于2023年10月主体建成通车．斜拉索是三角形的结构，主要利用的是（   ） A．垂线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】B 【详解】解：很多大桥会采用斜拉索的设计来使其结构稳固，主要利用的是三角形具有稳定性. 14．下列图形中，不具有稳定性的是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．梯形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的特点，三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性． 【详解】解：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，都是三角形，具有稳定性； 梯形不具有稳定性， 故选：C． 15． 2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了________________． 【答案】四边形的不稳定性 【详解】解：由题意，其原理主要是运用了四边形的不稳定性. 16．小明用根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上根木条，请在图中画出你的三种做法．    【答案】作图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，利用这一特性即可解决问题．解题的关键是将七边形分成五个三角形． 【详解】解：如图所示（答案不唯一）．    学科网（北京）股份有限公司 $