专题02三角形的内角与外角暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题02三角形的内角与外角暑假预习讲义 1.掌握三角形内角和定理，能运用定理求三角形内角度数。 2.理解直角三角形两锐角互余的性质，会判定直角三角形。 3.熟记三角形外角定义、外角两条核心性质，能区分内角与外角。 4.会结合内角和、外角性质进行角度计算与简单几何说理。 5.掌握多角型、折叠、平行线搭配三角形的角度题型解题思路。 6.养成几何规范书写推理步骤的习惯，体会转化、数形结合思想。 分层要求 基础：熟记内角和、外角性质，基础角度求值； 提高：综合平行线、直角互余做角度计算； 拓展：折叠模型、多三角形叠加综合角度证明。 预习必备 知识梳理 1.三角形内角和定理 2.直角三角形的性质 3.直角三角形的判定 4.三角形的外角 5.常见几何角度模型 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.三角形内角和定理的证明 2.与平行线有关的内角和问题 3.与角平分线有关的内角和问题 4.三角形折叠中的角度问题 5.三角形内角和定理的应用 6.直角三角形的两锐角互余 7.锐角互余的三角形是直角三角形 8.三角形外角的定义及性质 强化题型 解答题7题 知识点01:三角形内角和定理 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3.三角形内角取值规律 (1)任意三角形最多 1 个直角、最多 1 个钝角； (2)最少有两个锐角； (3)三个角都小于 90为锐角三角形；一个角等于 90 为直角三角形；一个角大于 90为钝角三角形。 知识点02:直角三角形的性质（必背） 1. 角的性质：两锐角互余 在 Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ ∠A + ∠B = 90°。 2. 边的性质：勾股定理（核心） 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号：Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ a² + b² = c²。 变形： 求斜边：c=​ 求直角边：​；b=​； 3. 特殊线段性质 斜边上的中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。. 符号：CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中线 ⇒ CD = AB。 30° 角性质：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 符号：Rt△ABC 中，∠C=30° ⇒ AB= BC。 知识点03:直角三角形的判定（必考） 1. 按角判定 有一个角是 90° 的三角形是直角三角形。 有两个角互余的三角形是直角三角形（∠A+∠B=90° ⇒ ∠C=90°）。 2. 按边判定（勾股定理逆定理） 内容：若三角形三边长 a、b、c 满足a² + b² = c²，则这个三角形是直角三角形，且 c 为斜边。 注意：先找最长边，再验证平方和。 3. 中线判定 若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形（中线= 边长 ⇒ 直角三角形）。 在△ABC 中，若 D 为 AB 的中点，且 CD=AB，则∠ACB = 90°，△ABC 为直角三角形。 知识点04:三角形的外角 1.外角定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 (1)每个顶点对应 2 个相等外角，一个三角形共 6 个外角； (2)一个外角与相邻内角互为邻补角，和为 180。 2.数量：每个顶点可作 2 个外角，整图共 6 个外角，同顶点的两个外角相等；日常解题一般取每个顶点 1 个外角，共 3 个。 关系：外角和它相邻的内角互为邻补角，二者相加等于180。 3.外角解题优势 遇到求 “飞镖模型、八字模型、折叠角度” 时，用外角性质可省去多次内角和计算，简化推理步骤。 知识点05:常见几何角度模型（拓展必考） 1.八字模型：对顶三角形，两组不相邻内角之和相等； 2.飞镖（凹四边形）模型：凹处外角 = 三个分散内角相加； 3.折叠模型：折叠前后对应角相等，结合内角和、外角建立等量关系； 4.平行线 + 三角形：结合同位角、内错角、同旁内角进行角度转化。 知识点06:高频易错点 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 外角概念 把三角形内部角当成外角 外角必须是一边 + 另一边延长线构成，在三角形外部 区分相邻内角、不相邻内角 外角性质误用 外角等于所有内角和 外角只等于不相邻两个内角之和 做题圈出 “不相邻” 内角 直角三角形判定 只看见直角才判定直角三角形 两角互余也可直接判定直角三角形 两种判定方法灵活选用 角度计算 忽略方程思想，口算出错 比例、倍分类角度设未知数，用内角和列方程 含比例题型优先设 x 求解 模型混淆 飞镖、八字模型乱用结论 先推导再使用，不直接套用模型跳过推理 大题需写出推导依据 题型1.三角形内角和定理的证明 【典例】“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，，，，则________． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和等于，得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出的度数． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 【跟踪专练2】如图，，则___________． 【答案】100°/100度 【分析】根据邻补角和为180°，以及∠2，∠3的比例，可求出∠2的度数，根据∠2与∠1的比例可求出∠1的度数，进而可求出∠4的度数． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴ 故答案为：100°． 【点睛】本题考查三角形的内角和，利用比例求各部分的角的值，补角的性质，能够熟练应用比例求出各部分的具体值是解决本题的关键． 【跟踪专练3】在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（    ） A．过点作 B．延长到，过点作 C．过上一点作 D．过上一点作 【答案】D 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意． 题型2.与平行线有关的内角和问题 【典例】如图，中，，，点D，E分别在边，上，若，则的度数为___． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形的内角和问题，先根据三角形的内角和定理求出∠B，再根据两直线平行，同位角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平角以及三角形的内角和．熟练掌握平行线的性质，平角以及三角形的内角和是解题的关键． 由两直线平行，同位角相等得到，再根据平角的度数以及三角形的内角和即可得到． 【详解】解：如图， ， ， ，， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则________；若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． 根据题意得，得到，得出，继而得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：平分， ， ∵， ，， 平分， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 【跟踪专练3】数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故选：C． 题型3.与角平分线有关的内角和问题 【典例】如图，在中，、分别平分、．若，则________． 【答案】/60度 【分析】根据三角形的内角和定理求出的值，根据角平分线定义求出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义；根据三角形内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求出的度数，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， ∵是边上的高， ∴， ∴， ． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，分别平分，分别与直线交于点M，N．若，则的度数是_______． 【答案】 【分析】先求出， ，得到，， 再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵分别平分 ∴，， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，是角平分线，且，相交于点， ∴， ∴． 题型4.三角形折叠中的角度问题 【典例】如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和，以及折叠的性质，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 根据三角形的内角和得到，再根据折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：， ， 三角形纸片折叠，使得点、都与点A重合， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用折叠的性质求出，从而可利用三角形内角和定理求出，再利用折叠的性质求得． 【详解】解：∵，将沿翻折后，点A落在边上的点F处， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，把沿折叠，当点落在四边形内部时，则与，之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律：_____． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得，由平角的定义可推出，由三角形内角和定理可得，据此可得，即． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【跟踪专练3】如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现和的倍数关系是解答此题的关键．根据在中，得出，根据折叠和三角形内角和定理得出，得，求出结果即可． 【详解】解：在中， 则， 根据折叠的性质知：，， 在中，则有：， 即； ，得， 解得． 故选：D． 题型5.三角形内角和定理的应用 【典例】如图，，，，则的度数为_____ ． 【答案】 【分析】先根据垂直的定义得，由三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，已知直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质求出，进而求出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【跟踪专练2】共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，都与地面平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练3】如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记与相交于点M，根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，记与相交于点M， ∵， ∴． ∵， ∴． 题型6.直角三角形的两锐角互余 【典例】若某个直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角的度数为______． 【答案】 【详解】解：直角三角形的一个锐角为， 另一个锐角的度数为：． 【跟踪专练1】在直角中，为斜边，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边的对角是直角，故，再根据直角三角形的两个锐角互余可得答案． 【详解】解：∵在直角中，为斜边， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，将一副直角三角尺按图所示的方式摆放，，，，点在边上．若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】先利用平行线的性质，由得到一组内错角相等；再结合三角尺的已知角度，通过角的和差关系计算出的度数． 【详解】解：过点作． ∵， ∴． ∴． 在等腰直角三角形中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质和角的和差计算．解题关键是通过作辅助线构造平行线，将分散的角度关系联系起来，从而进行角度求和． 【跟踪专练3】如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记相关性质并准确识图是解题的关键．先根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 【详解】解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ． 故选：B． 题型7.锐角互余的三角形是直角三角形 【典例】在中，，若要使是直角三角形，则可以是___________（写出一个即可）． 【答案】 （或） 【分析】本题考查直角三角形的性质． 由已知可得为直角或为直角，即可得的度数． 【详解】解：在中，，要使是直角三角形，则为直角或为直角， 若为直角，则， 若为直角，即，则， ∴可以是或． 故答案为：（或）． 【跟踪专练1】具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据条件结合三角形内角和计算各角度数，判断三角形是否存在角即可求解． 【详解】解：在中，． A、∵，∴，代入内角和得，即，是直角三角形，本选项不符合题意． B、∵，∴，是直角三角形，本选项不符合题意． C、∵，设，，，则，解得，，是直角三角形，本选项不符合题意． D、∵，设，则，∴，解得，最大角，不存在90°角，不是直角三角形，本选项符合题意． 【跟踪专练2】如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【跟踪专练3】下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各条件进行分析判断即可． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， ∴不能判定为直角三角形． ∴ 能判定的条件是． 故选：A． 题型8.三角形外角的定义及性质 【典例】如图，在中，，．若为延长线上一点，则的度数为_______． 【答案】/140度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 利用三角形外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，直接计算的度数． 【详解】解：∵是的外角， ∴ ∵，， ∴ 故答案为： 【跟踪专练1】如图，，直线a平移后得到直线b，则的度数比的度数大（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对顶角相等可得，由平移的性质可得，从而得出，由三角形外角的定义及性质可得，即可得出结果． 【详解】解：如图： 由对顶角相等可得， ∵直线a平移后得到直线b， ∴， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 【答案】 【分析】因为是的平分线，且，所以可求出的度数．因为是的平分线，且，所以可求出的度数，进而得到的度数和的度数，即可计算． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，． ∵是的平分线，， ∴，． 对，， ∴． 对，， ∴． ∴ ． 【跟踪专练3】一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 解答题 1．小学阶段，我们可以通过“折叠”“剪拼”等方法，观察得到三角形内角和为，本学期利用平行线性质，就可以证明此猜想正确． (1)如图1，过的顶点作．（请将证明过程补充完整） 证明：， ，（_______） （_______） ____（等量代换） 即三角形的内角和为． (2)【学以致用】如图2是超市购物车及其侧面示意图，已知，，测量得知，，则_______． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平角的定义；； (2) 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理的证明，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）作，，由平行线的性质可得，，相加即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平角的定义；； （2）解：如图，作，则， ∵， ∴， 作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 2．如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 3．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，见解析 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：如图，记，，． ， 又平分， ， （2） 理由如下：设，， 平分 ， 又 4．如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在中，，于，平分交于，交于F． (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 【答案】(1)； (2)证明：， ， ， ， ， 平分交于， ， ， ， ． 【分析】（1）根据三角形内角和可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数； （2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，进而可知． 【详解】（1）解：，， ， 平分交于， ， ； （2）略． 6．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 7．直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． (1)如图1，平分，平分，若，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则________度（直接写出结果，不需说理） ②点、在运动的过程中，若，试求的度数． (3)如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，在中，如果某一个角是的4倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①45；② (3)或 【分析】（1）先求出，，再根据求解即可； （2）①根据，只要求出即可； ②由已知条件和角平分线的定义可得，，再根据计算即可； （3）首先证明，，再分，，，四种情形分别进行计算即可． 【详解】（1）解：， ． ， ． 平分，平分， ，， ，即的度数为． （2）解：①， 平分，平分， ，， ， ； ②， ． ， ． 平分，平分， ，， ， 点、在运动的过程中，． （3）解：由题意得，， ， ， 又， 则， ①当时，， ； ②当时． ，即， ； ③当时，即，， （不合题意舍弃）； ④当时，， （不合题意舍弃）， 综上所述，当或时，在中，有一个角的度数是的4倍． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02三角形的内角与外角暑假预习讲义 1.掌握三角形内角和定理，能运用定理求三角形内角度数。 2.理解直角三角形两锐角互余的性质，会判定直角三角形。 3.熟记三角形外角定义、外角两条核心性质，能区分内角与外角。 4.会结合内角和、外角性质进行角度计算与简单几何说理。 5.掌握多角型、折叠、平行线搭配三角形的角度题型解题思路。 6.养成几何规范书写推理步骤的习惯，体会转化、数形结合思想。 分层要求 基础：熟记内角和、外角性质，基础角度求值； 提高：综合平行线、直角互余做角度计算； 拓展：折叠模型、多三角形叠加综合角度证明。 预习必备 知识梳理 1.三角形内角和定理 2.直角三角形的性质 3.直角三角形的判定 4.三角形的外角 5.常见几何角度模型 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.三角形内角和定理的证明 2.与平行线有关的内角和问题 3.与角平分线有关的内角和问题 4.三角形折叠中的角度问题 5.三角形内角和定理的应用 6.直角三角形的两锐角互余 7.锐角互余的三角形是直角三角形 8.三角形外角的定义及性质 强化题型 解答题7题 知识点01:三角形内角和定理 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3.三角形内角取值规律 (1)任意三角形最多 1 个直角、最多 1 个钝角； (2)最少有两个锐角； (3)三个角都小于 90为锐角三角形；一个角等于 90 为直角三角形；一个角大于 90为钝角三角形。 知识点02:直角三角形的性质（必背） 1. 角的性质：两锐角互余 在 Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ ∠A + ∠B = 90°。 2. 边的性质：勾股定理（核心） 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号：Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ a² + b² = c²。 变形： 求斜边：c=​ 求直角边：​；b=​； 3. 特殊线段性质 斜边上的中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。. 符号：CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中线 ⇒ CD = AB。 30° 角性质：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 符号：Rt△ABC 中，∠C=30° ⇒ AB= BC。 知识点03:直角三角形的判定（必考） 1. 按角判定 有一个角是 90° 的三角形是直角三角形。 有两个角互余的三角形是直角三角形（∠A+∠B=90° ⇒ ∠C=90°）。 2. 按边判定（勾股定理逆定理） 内容：若三角形三边长 a、b、c 满足a² + b² = c²，则这个三角形是直角三角形，且 c 为斜边。 注意：先找最长边，再验证平方和。 3. 中线判定 若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形（中线= 边长 ⇒ 直角三角形）。 在△ABC 中，若 D 为 AB 的中点，且 CD=AB，则∠ACB = 90°，△ABC 为直角三角形。 知识点04:三角形的外角 1.外角定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 (1)每个顶点对应 2 个相等外角，一个三角形共 6 个外角； (2)一个外角与相邻内角互为邻补角，和为 180。 2.数量：每个顶点可作 2 个外角，整图共 6 个外角，同顶点的两个外角相等；日常解题一般取每个顶点 1 个外角，共 3 个。 关系：外角和它相邻的内角互为邻补角，二者相加等于180。 3.外角解题优势 遇到求 “飞镖模型、八字模型、折叠角度” 时，用外角性质可省去多次内角和计算，简化推理步骤。 知识点05:常见几何角度模型（拓展必考） 1.八字模型：对顶三角形，两组不相邻内角之和相等； 2.飞镖（凹四边形）模型：凹处外角 = 三个分散内角相加； 3.折叠模型：折叠前后对应角相等，结合内角和、外角建立等量关系； 4.平行线 + 三角形：结合同位角、内错角、同旁内角进行角度转化。 知识点06:高频易错点 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 外角概念 把三角形内部角当成外角 外角必须是一边 + 另一边延长线构成，在三角形外部 区分相邻内角、不相邻内角 外角性质误用 外角等于所有内角和 外角只等于不相邻两个内角之和 做题圈出 “不相邻” 内角 直角三角形判定 只看见直角才判定直角三角形 两角互余也可直接判定直角三角形 两种判定方法灵活选用 角度计算 忽略方程思想，口算出错 比例、倍分类角度设未知数，用内角和列方程 含比例题型优先设 x 求解 模型混淆 飞镖、八字模型乱用结论 先推导再使用，不直接套用模型跳过推理 大题需写出推导依据 题型1.三角形内角和定理的证明 【典例】“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【跟踪专练1】如图，，，，则________． 【跟踪专练2】如图，，则___________． 【跟踪专练3】在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（    ） A．过点作 B．延长到，过点作 C．过上一点作 D．过上一点作 题型2.与平行线有关的内角和问题 【典例】如图，中，，，点D，E分别在边，上，若，则的度数为___． 【跟踪专练1】如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则________；若，，则________． 【跟踪专练3】数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型3.与角平分线有关的内角和问题 【典例】如图，在中，、分别平分、．若，则________． 【跟踪专练1】如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，分别平分，分别与直线交于点M，N．若，则的度数是_______． 【跟踪专练3】如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型4.三角形折叠中的角度问题 【典例】如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则______度． 【跟踪专练1】如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，把沿折叠，当点落在四边形内部时，则与，之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律：_____． 【跟踪专练3】如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原中的度数为（   ） A． B． C． D． 题型5.三角形内角和定理的应用 【典例】如图，，，，则的度数为_____ ． 【跟踪专练1】如图，已知直线，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为______． 【跟踪专练3】如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 题型6.直角三角形的两锐角互余 【典例】若某个直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角的度数为______． 【跟踪专练1】在直角中，为斜边，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将一副直角三角尺按图所示的方式摆放，，，，点在边上．若，则的度数为_____． 【跟踪专练3】如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 题型7.锐角互余的三角形是直角三角形 【典例】在中，，若要使是直角三角形，则可以是___________（写出一个即可）． 【跟踪专练1】具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【跟踪专练3】下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 题型8.三角形外角的定义及性质 【典例】如图，在中，，．若为延长线上一点，则的度数为_______． 【跟踪专练1】如图，，直线a平移后得到直线b，则的度数比的度数大（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 【跟踪专练3】一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 解答题 1．小学阶段，我们可以通过“折叠”“剪拼”等方法，观察得到三角形内角和为，本学期利用平行线性质，就可以证明此猜想正确． (1)如图1，过的顶点作．（请将证明过程补充完整） 证明：， ，（_______） （_______） ____（等量代换） 即三角形的内角和为． (2)【学以致用】如图2是超市购物车及其侧面示意图，已知，，测量得知，，则_______． 2．如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 3．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 4．如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 5．如图，在中，，于，平分交于，交于F． (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 6．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 7．直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． (1)如图1，平分，平分，若，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则________度（直接写出结果，不需说理） ②点、在运动的过程中，若，试求的度数． (3)如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，在中，如果某一个角是的4倍，请直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $