专题03 中线、角平分线、高 讲义-2026-2027学年人教版八年级上册数学

该初中数学讲义通过专题化知识框架系统梳理了三角形中线、角平分线、高的核心内容，将六大知识点按“概念理解-性质应用-综合计算”逻辑组织，以目录式结构呈现知识脉络，突出中线与面积、高与作图等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“知识点-题型”精准对应设计，24道题涵盖选择、填空、解答，如角平分线性质证明题培养推理意识，等腰三角形高的夹角计算提升几何直观。基础题巩固概念，综合题深化应用，助力不同层次学生自主复习，为教师提供单元复习的精准教学资源。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解：题型通关》 专题03中线、角平分线、高（六大题型24道题) 目录 知识点一根据三角形中线求长度. 知识点二根据三角形中线求面积 知识点三重心的概念 知识点四三角形角平分线.. 知识点五画三角形的高.… 知识点六与三角形的高有关的计算问题 知识点一根据三角形中线求长度 1.如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,AD为△ABC的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为 A.4 B.3 C.2 D.1 2.如图，△ABC中，，AC=9cm,BC=3cm,要使△ACD和△BCD的周长的差是6cm, 则横线上加的条件为（ A,CD是AB边上的中线 B.CD是∠ACB的平分线 C.CD是AB边上的垂线 D.以上说法都不对 3.如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5cm,AC=3cm,则△ABD的周长比 △ACD cm 的周长多 D 4.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=13,AC=10. (1)边BC的取值范围是 (2)若△ABD的周长为30，求△ACD的周长. 2/9 知识点二根据三角形中线求面积 5.已知，如图所示，在△ABC中，点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，且S△ABc=8, 则阴影部分的面积为( A I B.2 C.4 D.8 6.如图，AD是△ABC中边BC上的中线，E、F分别是AB、AD的中点，若△ACD的面积为 12cm2 ，则aDEF 的面积是（ D A.6cm2 B.3cm2 C.1.5cm2 D.1cm2 7.如图，在△ABC中，点D在BC上，BD=2CD,点E是AD的中点，连接CE,BE,若△CDE 的面积为5，则△ABC的面积为 B 3/9 8.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线， B (1)若AB-AC=4,△ABD的周长为24，求△ACD的周长； (2)若ScDE+SBD=6,求△ABC的面积. 知识点三重心的概念 9.如图，有一块质地均匀的3×4的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸 片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点 是( A.点A B.点B C.点C D.点D 1O.如图所示，已知点D是△ABC的重心，连接BD并延长，交AC于点E,若AE=4,则AC 的长度为() 419 B A.6 B.8 C.10 D.12 11.如图，△ABC为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段 12.画出三角形ABC的重心O,并说明△AOB、△AOC、△BOC的面积存在什么数量关系？ 知识点四三角形角平分线 13.如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论中错误的是( 519 E A,BD是△ABC的角平分线 B.CE是△BCD的角平分线 D.CE是AABC的角平分线 14.如图，AD是∠EAC的平分线，AD‖BC,∠EAD=38°，则∠C的度数是( ) B A.16° B.30° C.38 D.76° 15.如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，若AC=24cm,则AE=12cm,若 ∠ABC=72° 则∠ABD= 度 I6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC,DE交AB于点E,DF∥AB,DF交AC于点 F.求证：∠1=∠2. 619 F E 2 知识点五画三角形的高 17.下面四个图中，线段BE是△ABC的高的是（)· E E A B A B B E D. E 18.如图，∠E=∠F=∠ADC=90°，以下说法不正确的是() D A.AD是△ABC的边BC上的高 B.CE是△ACE的边AC上的高 C.AF是△ABF的边BF上的高 719 D.BF是△ABC的边AC上的高 19.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，则BC边上的高是 B 20.图①、图②都是5×5的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称 为格点.△ABC的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图. ① (2 (1)在图①中画△ABC的中线CD. (2)在图②中画△ABC的高BE. 知识点六与三角形的高有关的计算问题 21.如图，BE是△ABC的中线，AD是△ABC的BC边上的高，DC=6,BD=4,AD=3,则 △ABE的面积是（ ) 8/9 B A,1.5 B.2 C.3 D.4.5 22.如图，已 知4-1)，B(4,C,2),B=5,点P为直线48上一动点，连接CP,则线 段CP的最小值为( 17 A. B.4 5 c.5 D.5 23.已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是68°，那么这个等腰三角形的顶角的度 数是 24.如图，E是BC的三等分点，AC=CF=FD,如果三角形CFE的面积等于6，那么三角形 ABC 的面积是多少？ D B 9192026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题03 中线、角平分线、高（六大题型24道题） 目录 知识点一根据三角形中线求长度 1 知识点二根据三角形中线求面积 4 知识点三重心的概念 7 知识点四三角形角平分线 9 知识点五画三角形的高 11 知识点六与三角形的高有关的计算问题 14 知识点一根据三角形中线求长度 1．如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线的定义，结合三角形的周长公式，得到与的周长之差为，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∴与的周长之差为 ； ∵，， ∴周长之差为. 2．如图，中，________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的平分线 C．是边上的垂线 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】先表示出和的周长，再根据其差为，可得，进而可得，从而求解． 【详解】解：的周长为，的周长为， ∵，，要使和的周长的差是， ∴， 即， ∴， ∴， ∴是边上的中线． 3．如图所示，在中，为边上的中线，若，，则的周长比的周长多__________． 【答案】2 【分析】根据三角形的周长的计算方法得到的周长和的周长的差就是与的差． 【详解】解：∵是中边上的中线， ∴， ∴ ． 4．如图，是的边上的中线，已知，． （1）边的取值范围是__________； （2）若的周长为30，求的周长． 【答案】（1） （2）27 【分析】（1）直接根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据的周长求出的长，进而得到的长，再根据三角形的周长公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵中，，， ∴，即； （2）解：∵的周长为30，， ∴， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∴， ∴的周长. 知识点二根据三角形中线求面积 5．已知，如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴． 6．如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵是中边上的中线，的面积为， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴． 7．如图，在中，点在上，，点是的中点，连接，若的面积为5，则的面积为_____． 【答案】30 【分析】利用三角形的中线平分面积，以及等高三角形的面积比等于底边之比进行求解是解题的关键． 【详解】解：点是的中点， ， ， ， ， ， 与的高相等， ∴（等高三角形的面积比等于底边的比） ． 8．如图，是的中线，是的中线． （1）若，的周长为24，求的周长； （2）若，求的面积． 【答案】（1）20 （2）8 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线等分线段，等分面积． （1）由是的中线，得到，再结合的周长，，即可得到的周长； （2）由三角形中线的性质可得，，易得，即，最后再求的面积即可． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，， ∴ ∴， ∴， ∴的周长 （2）解：是的中线， ， ， ， 又∵是的中线， ， 又， ， ， 的面积是． 知识点三重心的概念 9．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 10．如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形重心和三角形的中线的定义，关键是掌握“三角形的重心是三条中线的交点，重心在三角形的中线上”这一核心知识点．由重心的性质可知是边上的中线，即为的中点，因此的长度为的2倍，代入的数值即可计算出结果． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点，， ∴； 故选：B． 11．如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形重心的概念，掌握重心是三角形中线的交点是关键． 根据网格结构判断出点D是边的中点，从而确定是的中线，进而得出重心的位置． 【详解】解：由图可知，点在边上，且点到点、点的水平距离均为2个单位长度，垂直距离均为1个单位长度， ，即点是边的中点， 是的中线， 三角形三条中线的交点是三角形的重心， 的重心在线段上． 12．画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 【答案】如下图O是的重心． 【分析】本题主要考查了画三角形的重心，重心的性质，掌握三角形的重心定义以及性质是解题的关键． 根据三角形重心的定义画图即可，由O是的重心，可得出、、是的中线，由中线可得出，进可可得出，又由，可得出，同理可得出，即可证明． 【详解】解：理由如下： ∵O是的重心， ∴、、是的中线， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理可得， ∴． 知识点四三角形角平分线 13．如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】利用三角形角平分线的定义即可分析． 【详解】解：A、由，得是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； B、由得：是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； C、由得：，故本选项正确，不符合题意； D、由得：是的角平分线，故本选项错误，符合题意； 14．如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是的平分线可得，由得． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 15．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 16．如图，是的角平分线，，交于点E，，交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的内错角相等是解题的关键．通过分析图形中的平行线和角平分线，利用平行线的内错角相等，以及角平分线将一个角分成两个相等的角的定义，逐步推导出结论． 【详解】证明：是的角平分线， ． ， ． ， ， ． 知识点五画三角形的高 17．下面四个图中，线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．本题中是从顶点向对边作垂线，垂足为，即． 【详解】解：根据三角形高的定义：线段是的高，则需要满足，垂足落在边（或延长线）上． 选项A、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项B、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项C、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项D、，垂足为，在边上，完全符合三角形高的定义． 18．如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【答案】B 【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是的边上的高，不是边上的高，故该选项说法错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意． 19．如图，在中，，则边上的高是___________． 【答案】 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边对应的高，即可解答． 【详解】 解：已知中，可得， 顶点到边的垂线就是线段， 因此边上的高是． 20．图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． （1）在图①中画的中线． （2）在图②中画的高． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求． 【分析】（1）根据网格特征，找出中点，连接即可； （2）根据网格特征，在上找出格点，连接，使即可； 【详解】（1）解：略 （2）解：略 知识点六与三角形的高有关的计算问题 21．如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据中线的性质即可求出的面积． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的中线， ∴． 22．如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短的性质，计算出面积即可计算出的最小值． 【详解】解：点为直线上一动点，根据垂线段最短的性质，当时，线段的值最小． 已知，，，， 过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为 ， ∴，，， ，，， 观察图形可知， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 24．如图，是的三等分点，，如果三角形的面积等于6，那么三角形的面积是多少？ 【答案】18 【分析】连接，得，结合是的三等分点，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 又∵是的三等分点， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $