13.2.2 三角形的中线、角平分线、高（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦三角形的高、中线、角平分线核心知识点，从定义（如高为顶点向对边作垂线的线段）、作图步骤（如高的“一靠二移三画”）到性质（如中线等分面积、角平分线分面积比例），再到不同三角形中三线位置及交点（垂心、重心、内心），构建从概念到应用的学习支架，衔接三角形基本概念与几何计算。 资料通过“易错提醒”强化几何直观（数学眼光），如区分钝角三角形高的内外位置，“解题贴士”引导推理能力（数学思维），如中线周长差与边长差的关系，“即学即练+变式巩固”提升应用意识（数学语言）。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生通过基础与素养题查漏补缺，深化理解。

第十三章 三角形 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 课标要点 1．熟记三角形高、中线、角平分线定义，掌握标准作图步骤，能规范画出三类线段。 2．分清三类线段在锐角、直角、钝角三角形中的位置，牢记垂心、重心、内心名称。 3．熟练运用中线平分面积、等分边长等性质，解决周长、面积相关计算习题。 4．掌握角平分线分割面积比例规律，能区分三类线段交点的不同几何特征。 学习重难点 重点： 1．理解高、中线、角平分线概念，熟练作图，掌握三种三角形高线分布规律。 2．牢记中线等分面积、等分边长性质，会利用性质求解面积与周长计算题。 难点： 1．准确画出钝角三角形外部的两条高，区分不同三角形垂心所处位置。 2．区分垂心、重心、内心三个概念，灵活运用中线、角平分线面积性质解题。 知识点一 三角形的高 1．定义 从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。 例：，则线段是中边上的高。 2．高的作图步骤 ①一靠：三角尺一条直角边贴合目标对边； ②二移：平移三角尺，使另一条直角边经过对应顶点； ③三画：连接顶点与垂足，画出垂线段并标注直角符号。 3．高线数量与垂心 任意三角形都有3条高，三条高线相交于一点，该点称为垂心。 4．不同类型三角形高与垂心位置 （1）锐角三角形：三条高全部在三角形内部，垂心在三角形内部； （2）直角三角形：两条直角边本身就是高，第三条高在内部，垂心落在直角顶点； （3）钝角三角形：一条高在内部，另外两条高在三角形外部，垂心在三角形外部。 易错提醒 直角、钝角三角形画高易出错，容易遗漏三角形外部的高线，忽略垂心位置特点 即学即练 1．如图，四个图形中，线段是的高的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 2．如图，，则点到的距离为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【详解】解：设点到的距离为 ， ． ， ． ． ． 知识点二 三角形的中线 1．定义 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。 2．中线的性质 （1）若是的中线，则为中点，； （2）一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； （3）中线分割出的两个三角形周长之差，等于原三角形另外两条边长的差； （4）三角形共有3条中线，三条中线交于一点，这个交点叫做重心。 即学即练 3．如图，中，为上的一点，且，则为（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：设点到边上的高为， ， ， ， 则为中线． 4．如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 【答案】20 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18，， ∴，即， ∴， ∵， ∴的周长为． 知识点三 三角形的角平分线 1．定义 三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 2．角平分线的性质 （1）若是的角平分线，则； （2）角平分线分出的两个小三角形等高，面积之比等于对边被分割的线段之比； （3）三角形共有3条角平分线，三条角平分线交于一点，该点称为内心。 即学即练 5．如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 6．如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 题型01 三角形的高与作图解题贴士 作图注意要点： ①锐角三角形三条高全部画在图形内部； ②直角三角形两条直角边直接作为高，只需画出斜边上的高； ③钝角三角形两条高落在三角形外部，需要延长对应底边再作垂线，容易漏画。 典｜例｜精｜析 【例1】中边上的高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：三角形边上的高是从点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上 选项A：垂足在上，不符合题意； 选项B：垂足在上，但不是从点作的垂线，不符合题意； 选项C：垂足在上，不符合题意； 选项D：从点向的延长线作垂线，垂足在延长线上，符合题意． 【例2】如图，的边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，边为底边，从顶点C向所在直线作垂线，垂足为F，因此边上的高是线段． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， ∴是的高线． 【变式1-2】如图，，，垂足分别为C，E，则下列说法正确的是（    ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【详解】解：A、不是的高，不符合题意； B、是的高，不是的高，不符合题意； C、不是的高，不符合题意； D、是的高，符合题意； 【变式1-3】下图中，的边上的高画得对吗？边上的高呢？若不对，请改正． 【答案】解：的边上的高画得对，边上的高不对，正确的画法如图所示： ． 【详解】略 题型02 与三角形的高有关的计算问题 解题贴士 解题步骤：①先写出三角形两种底高组合的面积表达式；②联立等式，代入已知边长、高，求解未知的高或者边长 典｜例｜精｜析 【例3】如图，在中，，，，，则点到边的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作，如图， ， ， ． 【例4】如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（   ） A．4 B．4.8 C． D．8 【答案】B 【详解】解：由题意得，， 即， 解得， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，，经测量的长度为5，则原点O到的最短距离为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵点，，经测量的长度为5， ∴， ∴， ∴原点O到的最短距离为. 【变式2-2】如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，为边上的高，， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为． 【变式2-3】如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【详解】解：过点A作于点E， 连接，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值， 故当点P与点E重合时，最小， 在中，， ， ， ∴的最小值是． 题型03 三角形的中线与面积 典｜例｜精｜析 【例5】已知点D、E分别在的边、上，D是的中点，，若，则的值为（     ） A．16 B．0 C．24 D．28 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，即， ∵和同高， ∴， ∵， ∴ ， ∵是的中点，即，且和同高， ∴， ∴． 【例6】如图，在 中，点在上，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，若的面积是，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵点E是的中点，的面积是2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如图，一张锐角三角形纸片，点，分别在边，上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为________． 【答案】3 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵沿将剪成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， 【变式3-2】如图，D、E、F分别为、、的中点，的面积是8，则图中阴影部分的面积等于___________． 【答案】2 【详解】解：∵点D为边的中点， ∴， 同理可得：， ， ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 即：阴影部分的面积为2． 【变式3-3】如图，在中，已知点，，，分别是线段，，，的中点．若的面积为3，则的面积为（     ）．    A．18 B．21 C．36 D．42 【答案】D 【详解】解：连接、，如图所示，    ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴． 题型04 三角形的中线与边长 解题贴士 中线分割得到的两个小三角形周长之差，等于原三角形另外两条边的长度之差。 典｜例｜精｜析 【例7】如图，中，________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的平分线 C．是边上的垂线 D．以上说法都不对 【答案】A 【详解】解：的周长为，的周长为， ∵，，要使和的周长的差是， ∴， 即， ∴， ∴， ∴是边上的中线． 【例8】如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则___． 【答案】6 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长是，， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 【答案】C 【详解】解：， ， ， 、是的两条中线， ， 的周长是． 【变式4-2】已知等腰三角形的底边长为，一边的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么三角形的腰长为________． 【答案】或 【详解】解：根据题意，得， 当时，根据题意，得分成的两部分为，与其中一部分比另一部分长，不一致，不符合题意； 当时，根据题意，得分成的两部分为， 设，则， 根据题意，得， 故， 由其中一部分比另一部分长， 故或， 解得或， 故三角形的腰长为或． 【变式4-3】如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【答案】 4 2 【分析】 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵，， ∴的周长与的周长的差为； 故答案为：4 （2）为的中线， ， 同理， ， ， ∴． 故答案为：2． 题型05 重心问题 解题贴士 重心分每条中线的长度比为，顶点到重心的线段长度是重心到中点线段的2倍 典｜例｜精｜析 【例9】如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 【例10】如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 【答案】/ 【分析】 【详解】解：由图可知，点在边上，且点到点、点的水平距离均为2个单位长度，垂直距离均为1个单位长度， ，即点是边的中点， 是的中线， 三角形三条中线的交点是三角形的重心， 的重心在线段上． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】B 【详解】解：∵ 匀质三角形薄板平衡时支点对应三角形的重心，三角形重心是三条中线的交点， ∴ 这个支点一定是三角形三条中线的交点. 【变式5-2】如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴． 【变式5-3】重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型06 三角形的角平分线问题 解题贴士 1.角度平分性质：为角平分线，则，可用于角度计算。 2.面积比例结论：角平分线分割出的两个小三角形等高，面积之比等于底边被分割线段之比，即。 典｜例｜精｜析 【例11】如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【详解】解：A、由，得是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； B、由得：是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； C、由得：，故本选项正确，不符合题意； D、由得：是的角平分线，故本选项错误，符合题意； 【例12】如图，在中，是的角平分线，交于点，交于点．求证：平分． 【答案】见解析 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】请你在图中画出的角平分线，并填空：． 【答案】见解析，2；2； 【分析】 【详解】解：根据题意，作图如下： ∵是的平分线， ∴，， 故答案为：2；2；． 【变式6-2】如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为______． 【答案】 【分析】 【详解】解：、CP分别平分、， ，， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为10， ， ． 故答案为：． 【变式6-3】把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，是的角平分线，试说明：． 解：∵是的角平分线（已知） ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴ （ ）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（ ）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【答案】角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；同角的补角相等 【详解】解：∵是的角平分线（已知） ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 题型07 三角形的高、中线、角平分线的综合应用 典｜例｜精｜析 【例13】如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：∵是中线， ∴， ∵， 即， ∴． 【例14】如图，在中，为边上的中线，．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：为边上的中线， ， ， ， ． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】在一个锐角三角形中，，线段，，分别是的角平分线、高、中线，则点A到直线的距离是（     ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】B 【详解】点到直线的距离的定义为：从点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离， ∵是中边上的高， ∴，是点到直线的垂线段， ∴点到直线的距离是线段的长度． 【变式7-2】中，是边上的高， 是的角平分线，若，则为 _______度． 【答案】或 【详解】解：①如图所示，点在之间时， ∵，平分． ∴， ∵， ∴； ②如图所示，点在之间时， ∵，平分． ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 【变式7-3】如图，为的中线，为的中线．若的面积为130，，则中边上的高为______． 【答案】 13 【详解】解：作， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∵的面积为130，， ∴， 解得， 故中边上的高为13． 基础通关 1．下列叙述正确的个数为（　　）． ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，故①不正确； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，故②正确； ③三角形的三条高是线段，不一定交于一点，故③不正确； ④三角形的三条角平分线交于一点，故④正确． 2．下列四个图形中，正确画出的边上的高的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据三角形高的定义可知，的边上的高，应是过顶点向边所在的直线作垂线段． 过点作延长线的垂线，垂足为． 观察四个选项，只有D选项符合题意． 3．如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知边、边上的中线交于点G， 即正好与的重心位置重合的白棋是G． 4．如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，则的面积是（   ） A．15 B．10 C．7.5 D．5 【答案】C 【详解】解：∵为的中线，， ∴， ∵为的中线， ∴． 5．如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作于点， ∵为的角平分线，于点， ∴， ∵点为边上的动点，， ∴点与点重合时，，，此时有最小值，即， ∴． 6．如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 7．如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 【答案】26 【详解】解：的周长为24， ， ， 是的中线， ， ， ， 即的周长为26． 8．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 【答案】8 【详解】解：点、、分别是、、的中点， 、、， 是的中线， ， ， ． 9．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 10．分别指出图中的三条高． 【答案】在图（1）中的三条高分别为，，；在图（2）中的三条高分别为，，． 【详解】略 11．如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 【答案】17 【详解】解：∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长为20， ∴，即， ∴， ∴的周长． 12．（ 2025·26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 【答案】6 【详解】解：∵是中线，，， ∴，， ∵是高， ∴，即， ∴． 素养提升 13．如图，在中，已知点E、F分别是、边上的中点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据点、分别是、的中点， 得到，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 14．如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】解：∵点，是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 15．如图，已知的面积为1，分别倍长（延长一倍）边，，得到，再分别倍长边，，得到…按此规律，倍长次后得到的的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， 由题意可得，，，， ， ， ， 同理可得，，， ，即倍长次后，面积变为原来的倍， 倍长次后，面积变为原来的倍， 倍长次后，面积变为原来的倍． 16．如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为_______． 【答案】4或11 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 当点P在边上时，如图， ∵的面积为6， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为4； 当点P在边上时，如图， ∵为的中点，的面积为6， ∴， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为； 综上所述，点运动的路程长为4或11． 17．（ 2025·26八年级下·上海浦东新·期末）如图，的中线、相交于点，已知，，则点到直线的距离为________． 【答案】 【详解】解：连接并延长交于点，过点作交于点， 由题意知，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，即点到直线的距离为． 18．如图，在中，点，分别是和上的点，，，，则_______． 【答案】36 【详解】解：∵， ∴， 设边上的高为h ， ∴， ∴， ∴． 19．如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点、分别为、的中点，连接，．若△的面积为9，则阴影部分的面积为 _____ ． 【答案】3 【详解】解：， ， ， 点 、 分别为 、 的中点， ，， ， 即阴影部分的面积 ． 迁移创新 20．如图，在中，点D在上，，点E是的中点，连接并延长交延长线于点F，若的面积是2，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵点E是的中点，的面积是2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 21．设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为依此类推，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：由题意得：， ∵，分别是，的中点， ，， ． 同理可得：． 则，，……， ． ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 课标要点 1．熟记三角形高、中线、角平分线定义，掌握标准作图步骤，能规范画出三类线段。 2．分清三类线段在锐角、直角、钝角三角形中的位置，牢记垂心、重心、内心名称。 3．熟练运用中线平分面积、等分边长等性质，解决周长、面积相关计算习题。 4．掌握角平分线分割面积比例规律，能区分三类线段交点的不同几何特征。 学习重难点 重点： 1．理解高、中线、角平分线概念，熟练作图，掌握三种三角形高线分布规律。 2．牢记中线等分面积、等分边长性质，会利用性质求解面积与周长计算题。 难点： 1．准确画出钝角三角形外部的两条高，区分不同三角形垂心所处位置。 2．区分垂心、重心、内心三个概念，灵活运用中线、角平分线面积性质解题。 知识点一 三角形的高 1．定义 从三角形的一个顶点向它的________作垂线，顶点和________之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。 例：，则线段是中边上的高。 2．高的作图步骤 ①一靠：三角尺一条________贴合目标对边； ②二移：平移三角尺，使另一条直角边经过对应________； ③三画：连接顶点与垂足，画出垂线段并标注直角符号。 3．高线数量与垂心 任意三角形都有3条高，三条高线相交于一点，该点称为________。 4．不同类型三角形高与垂心位置 （1）锐角三角形：三条高全部在三角形________，垂心在三角形________； （2）直角三角形：两条________本身就是高，第三条高在________，垂心落在________； （3）钝角三角形：一条高在内部，另外两条高在三角形________，垂心在三角形________。 易错提醒 直角、钝角三角形画高易出错，容易遗漏三角形外部的高线，忽略垂心位置特点 即学即练 1．如图，四个图形中，线段是的高的图是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，则点到的距离为（   ） A． B．4 C． D．6 知识点二 三角形的中线 1．定义 连接三角形一个顶点和它对边________的线段，叫做三角形的中线。 2．中线的性质 （1）若是的中线，则为中点，； （2）一条中线将三角形分成面积________的两个小三角形； （3）中线分割出的两个三角形周长之差，等于原三角形另外两条边长的差； （4）三角形共有3条中线，三条中线交于一点，这个交点叫做________。 即学即练 3．如图，中，为上的一点，且，则为（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定 4．如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 知识点三 三角形的角平分线 1．定义 三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 2．角平分线的性质 （1）若是的角平分线，则； （2）角平分线分出的两个小三角形________，面积之比等于________被分割的线段之比； （3）三角形共有3条角平分线，三条角平分线交于一点，该点称为________。 即学即练 5．如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型01 三角形的高与作图解题贴士 作图注意要点： ①锐角三角形三条高全部画在图形内部； ②直角三角形两条直角边直接作为高，只需画出斜边上的高； ③钝角三角形两条高落在三角形外部，需要延长对应底边再作垂线，容易漏画。 典｜例｜精｜析 【例1】中边上的高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】如图，的边上的高是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【变式1-2】如图，，，垂足分别为C，E，则下列说法正确的是（    ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【变式1-3】下图中，的边上的高画得对吗？边上的高呢？若不对，请改正． 题型02 与三角形的高有关的计算问题 解题贴士 解题步骤：①先写出三角形两种底高组合的面积表达式；②联立等式，代入已知边长、高，求解未知的高或者边长 典｜例｜精｜析 【例3】如图，在中，，，，，则点到边的距离是（     ） A． B． C． D． 【例4】如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（   ） A．4 B．4.8 C． D．8 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，，经测量的长度为5，则原点O到的最短距离为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【变式2-3】如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 题型03 三角形的中线与面积 典｜例｜精｜析 【例5】已知点D、E分别在的边、上，D是的中点，，若，则的值为（     ） A．16 B．0 C．24 D．28 【例6】如图，在 中，点在上，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，若的面积是，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．6 D．9 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如图，一张锐角三角形纸片，点，分别在边，上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为________． 【变式3-2】如图，D、E、F分别为、、的中点，的面积是8，则图中阴影部分的面积等于___________． 【变式3-3】如图，在中，已知点，，，分别是线段，，，的中点．若的面积为3，则的面积为（     ）．    A．18 B．21 C．36 D．42 题型04 三角形的中线与边长 解题贴士 中线分割得到的两个小三角形周长之差，等于原三角形另外两条边的长度之差。 典｜例｜精｜析 【例7】如图，中，________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的平分线 C．是边上的垂线 D．以上说法都不对 【例8】如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则___． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 【变式4-2】已知等腰三角形的底边长为，一边的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么三角形的腰长为________． 【变式4-3】如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 题型05 重心问题 解题贴士 重心分每条中线的长度比为，顶点到重心的线段长度是重心到中点线段的2倍 典｜例｜精｜析 【例9】如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【例10】如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【变式5-2】如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 【变式5-3】重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 题型06 三角形的角平分线问题 解题贴士 1.角度平分性质：为角平分线，则，可用于角度计算。 2.面积比例结论：角平分线分割出的两个小三角形等高，面积之比等于底边被分割线段之比，即。 典｜例｜精｜析 【例11】如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【例12】如图，在中，是的角平分线，交于点，交于点．求证：平分． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】请你在图中画出的角平分线，并填空：． 【变式6-2】如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为______． 【变式6-3】把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，是的角平分线，试说明：． 解：∵是的角平分线（已知） ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴ （ ）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（ ）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 题型07 三角形的高、中线、角平分线的综合应用 典｜例｜精｜析 【例13】如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例14】如图，在中，为边上的中线，．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】在一个锐角三角形中，，线段，，分别是的角平分线、高、中线，则点A到直线的距离是（     ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式7-2】中，是边上的高， 是的角平分线，若，则为 _______度． 【变式7-3】如图，为的中线，为的中线．若的面积为130，，则中边上的高为______． 基础通关 1．下列叙述正确的个数为（　　）． ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列四个图形中，正确画出的边上的高的是（） A． B． C． D． 3．如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 4．如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，则的面积是（   ） A．15 B．10 C．7.5 D．5 5．如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 8．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 9．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 10．分别指出图中的三条高． 11．如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 12．（ 2025·26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 素养提升 13．如图，在中，已知点E、F分别是、边上的中点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 14．如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 15．如图，已知的面积为1，分别倍长（延长一倍）边，，得到，再分别倍长边，，得到…按此规律，倍长次后得到的的面积为（     ） A． B． C． D． 16．如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为_______． 17．（ 2025·26八年级下·上海浦东新·期末）如图，的中线、相交于点，已知，，则点到直线的距离为________． 18．如图，在中，点，分别是和上的点，，，，则_______． 19．如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点、分别为、的中点，连接，．若△的面积为9，则阴影部分的面积为 _____ ． 迁移创新 20．如图，在中，点D在上，，点E是的中点，连接并延长交延长线于点F，若的面积是2，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 21．设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为依此类推，则的值为_____． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $