第50讲 椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦椭圆的定义、标准方程及几何性质等高考核心考点，按定义理解、方程求解、性质应用（离心率、焦点三角形、最值等）的逻辑层次构建知识体系，通过基础回顾梳理概念，题型分类精讲方法，真题演练强化应用，形成系统性复习路径。 资料以题型突破为特色，如焦点三角形问题结合定义与余弦定理培养数学思维，离心率求解通过公式法、齐次式法提升运算能力。设置分层例题与真题训练，帮助学生在有限时间内掌握解题策略，既提升学生的数学眼光与应用意识，也为教师提供精准复习节奏的教学指导。

第50讲 椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质 题型一 椭圆的标准方程 2 题型二 利用椭圆的定义求轨迹方程 4 题型三 利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 6 题型四 椭圆的长轴、短轴、焦距 6 题型五 椭圆离心率 8 题型六 与椭圆几何性质有关的最值问题 10 【真题回顾】 12 【基础回顾】 知识点1．椭圆的定义 (1)文字语言：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距． (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a＞c＞0，且a，c为常数． 注意：若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜|F1F2|，则动点的轨迹不存在． 知识点2．椭圆的标准方程及简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 说明：离心率表示椭圆的扁平程度，当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁平；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近于圆． 【必备知识】 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ． (1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大． (2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|． (3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c． (4)|PF1|·|PF2|≤ ＝a2． (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ． (6)焦点三角形的周长为2(a＋c)． (7)（用极化恒等式） (8)垂径定理：任意弦的斜率与其中点与原点所在直线的斜率乘积是 (9)焦半径公式：P（），则 , 题型一 椭圆的标准方程 1．求椭圆方程的常用方法 (1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． (2)待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤： 注意：一定先判断椭圆的焦点位置，即先定型后定量． 2．椭圆标准方程的两个应用 (1)椭圆＋＝1(a>0，b>0)与＋＝λ(a>0，b>0，λ>0)有相等的离心率． (2)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)．恰当选用椭圆系方程，可使运算更简便． 【例题精讲】 1．（2026高二·全国·专题练习）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高二上·青海海东·期末）已知椭圆：的焦距为8，且其短轴长、焦距、长轴长依次成等差数列，则（   ） A． B． C．的方程为 D．的方程为 9．（多选）（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法不正确的是（ ） A．椭圆的方程为 B．椭圆的焦距为1 C． D．的周长为 10．（多选）（25-26高二上·浙江温州·期中）已知以、为左右焦点的椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一个动点，且点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，连接，并延长与椭圆相交于点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．三角形的面积的最大值为 C．三角形的周长为 D． 题型二 利用椭圆的定义求轨迹方程 在求动点的轨迹时，如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义，那么可以直接求解其轨迹方程． 【例题精讲】 1．（2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东滨州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 5．（25-26高二上·江苏镇江·期末）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州遵义·期末）设是平面内的一个动点，，，点到，的距离之和为6，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·湖南常德·阶段检测）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是______. 9．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为______．    10．（2025高三·全国·专题练习）椭圆上的两点为原点，连接，若，则线段中点的轨迹方程为______． 题型三 利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题． 题型四 椭圆的长轴、短轴、焦距 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系． 【例题精讲】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 2．（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 4．（25-26高一下·重庆·期中）椭圆的左､右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为8，则该椭圆的焦半径范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河北雄安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的左、右顶点，直线过与椭圆交于两点（不同于点），的周长为，直线与的斜率分别为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（   ） A．24 B．26 C． D． 7．（2026·山东济南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为，，是椭圆上的动点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则（    ） A．1 B． C．2 D．3 8．（多选）（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（    ） A．当时，的面积为 B．的周长为 C．当时，中 D．椭圆上有且仅有个点，使得为直角三角形 9．（多选）（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．若 ，则的面积为 C．记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D．若M是圆 上任一点，则的最小值为 10．（多选）（23-24高二下·山西晋中·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（     ） A．的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 题型五 椭圆离心率 求椭圆离心率的方法 方法一 直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解 方法二 由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解 方法三 构造a，c的齐次式，可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e 注意：解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式，转化为e的关系式． 【例题精讲】 1．（2026·云南曲靖·二模）经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·陕西·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北保定·模拟预测）已知椭圆的上、下顶点分别为，为坐标原点，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 7．（2026·河南·三模）椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为A，P为C上一点，，以为直角顶点的直角三角形的面积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（2026·辽宁锦州·二模）椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，为双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点，椭圆与轴交于，两点，则（） A．与有且只有两个公共点 B． C．若，则 D．使成立的值不存在 9．（多选）（25-26高二下·广东揭阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，则下列说法正确的是（     ） A．若的最大值为5，最小值为1，则椭圆的离心率为 B．若，，则的面积为2 C．若，，，则内切圆的半径为 D．若，，则椭圆的离心率为 10．（多选）（2026·陕西咸阳·三模）已知椭圆C：()的左、右焦点分别为，，离心率，P是C上一动点，且的周长为6，直线l与C交于A，B两点(异于点P)，则下列说法正确的有(   ) A．若点P到直线的距离为3，则 B．若的中点M的坐标为，则直线l的方程为 C．若A，B关于原点对称，直线，的斜率分别为，，则 D．记的中点为N，则点N的轨迹方程为 题型六 与椭圆几何性质有关的最值问题 与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题的求解策略 【例题精讲】 1．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知，分别为椭圆：的左、右顶点，为上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江温州·期中）已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于、两点，那么的周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（25-26高二上·浙江宁波·期末）设F是椭圆的右焦点，A是椭圆上的动点，B是直线上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26高二上·全国·期末）已知椭圆：的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（多选）（2026·山西吕梁·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．内切圆半径的最大值为 C．椭圆C内接矩形面积的最大值为 D．若，则的最小值是1 9．（多选）（2026·广西崇左·一模）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为7 C．的最大值为8 D．的最大值为9 10．（多选）（2026·广西南宁·二模）已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，M为AC的中点，则（    ） A．直线OM与AC的斜率之积为 B．点B到点的距离与到点F的距离之和的最大值为 C． D．B，F，M三点共线 【真题回顾】 【例题精讲】 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 5．（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 6．（2026·北京·高考真题）已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为． (1)求的方程； (2)过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求． 7．（2026·全国二卷·高考真题）已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率． (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为．当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第50讲 椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质 题型一 椭圆的标准方程 2 题型二 利用椭圆的定义求轨迹方程 8 题型三 利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 14 题型四 椭圆的长轴、短轴、焦距 14 题型五 椭圆离心率 21 题型六 与椭圆几何性质有关的最值问题 28 【真题回顾】 36 【基础回顾】 知识点1．椭圆的定义 (1)文字语言：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距． (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a＞c＞0，且a，c为常数． 注意：若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜|F1F2|，则动点的轨迹不存在． 知识点2．椭圆的标准方程及简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 说明：离心率表示椭圆的扁平程度，当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁平；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近于圆． 【必备知识】 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ． (1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大． (2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|． (3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c． (4)|PF1|·|PF2|≤ ＝a2． (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ． (6)焦点三角形的周长为2(a＋c)． (7)（用极化恒等式） (8)垂径定理：任意弦的斜率与其中点与原点所在直线的斜率乘积是 (9)焦半径公式：P（），则 , 题型一 椭圆的标准方程 1．求椭圆方程的常用方法 (1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． (2)待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤： 注意：一定先判断椭圆的焦点位置，即先定型后定量． 2．椭圆标准方程的两个应用 (1)椭圆＋＝1(a>0，b>0)与＋＝λ(a>0，b>0，λ>0)有相等的离心率． (2)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)．恰当选用椭圆系方程，可使运算更简便． 【例题精讲】 1．（2026高二·全国·专题练习）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 2．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由已知条件和椭圆定义表示出，，，由勾股定理求得与的关系，结合平行四边形的面积为12，求得答案. 【详解】如图，由，得， 由，得三点共线，连接，设， 则，，， 在中，由勾股定理得，即， 在中，由勾股定理得，化简得， 所以，即， 因为以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，所以， ，即，得， 所以，即的方程为. 3．（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的焦距为. 由题意得，则， 所以，即， 结合选项依次判断，只有A选项满足. 4．（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知为等边三角形，结合长度关系可得，，即可得椭圆方程. 【详解】因为分别为，的中点，则， 且，则，即，可得， 又因为，则，可知为等边三角形， 且，则，， 可得，，即，， 则，所以椭圆的标准方程为. 5．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标后，列方程组求得得椭圆方程. 【详解】抛物线的焦点为， 双曲线的焦点为， 所以，又，则， 所以椭圆方程为. 6．（25-26高三·全国·一轮复习）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，即m的取值范围为． 7．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简方程为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【详解】将方程变形可得， 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 8．（多选）（25-26高二上·青海海东·期末）已知椭圆：的焦距为8，且其短轴长、焦距、长轴长依次成等差数列，则（   ） A． B． C．的方程为 D．的方程为 【答案】ABD 【分析】焦距为，短轴长、焦距、长轴长成等差数列得，联立，计算，. 【详解】椭圆焦距为，因此，短轴长、焦距、长轴长成等差数列，所以 代入得 ， 将和代入 得 展开，化简得，解得，选项B正确. 又因为 得，选项A正确. 椭圆方程为代入得 ，选项D正确. 故选：ABD 9．（多选）（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法不正确的是（ ） A．椭圆的方程为 B．椭圆的焦距为1 C． D．的周长为 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的短轴长以及离心率求得，即可求得椭圆方程，判断A；求出焦距判断B；求出椭圆的通径长判断C；结合的周长为4a，判断D. 【详解】对于A，由题意，可设椭圆方程为：， 则有解得，则椭圆方程为：，故A错误； 对于B，椭圆的焦距为，故B错误； 对于C，依题意，点，把代入椭圆方程得，解得， 即，故，故C正确； 对于D，的周长为，故D错误. 故选：ABD. . 10．（多选）（25-26高二上·浙江温州·期中）已知以、为左右焦点的椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一个动点，且点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，连接，并延长与椭圆相交于点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．三角形的面积的最大值为 C．三角形的周长为 D． 【答案】ACD 【分析】对于选项A，根据条件求出，可确定椭圆方程；对于选项B，椭圆焦点三角形面积最大值是短轴顶点与两焦点所成的三角形的面积；对于选项C，利用椭圆的定义求解即可；对于选项D，设，，通过椭圆定义即可求得，，通过余弦定理可求得，之间的关系，即可求解. 【详解】如图，    对于选项A，因为短轴长为，所以，又因为点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，所以，解得，代入，解得，，故椭圆方程为，故A正确； 对于选项B，椭圆焦点三角形面积最大值是短轴顶点与两焦点所成的三角形的面积，所以，故B错误； 对于选项C，通过椭圆定义可知，三角形的周长为，故C正确； 对于D选项，设，，所以，，， 所以在中， ， 即，解得， 同理在中，，，即， 将代入，可得 ，所以，故D正确. 故选：ACD 题型二 利用椭圆的定义求轨迹方程 在求动点的轨迹时，如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义，那么可以直接求解其轨迹方程． 【例题精讲】 1．（2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由题意，因为是的中点，且轴，则有，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，因为是的中点，且轴，则有，如图： 又在圆上，将代入其中可得 ，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A. 2．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，即，所以动点P的轨迹为椭圆，再设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点P的轨迹方程． 【详解】如图，分别过点作直线l的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， ∵，，∴O是AB中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 又∵圆C的方程为，半径， ∴，∴，即， ∴动点P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为，则，， ∴，，， ∴动点P的轨迹方程为. 故选：D 3．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 4．（25-26高二上·山东滨州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【分析】由的意义及椭圆的定义即可求解. 【详解】由点满足可知， 动点到定点的距离之和为， 即，且， 根据椭圆的定义可知动点的轨迹是椭圆， 故选：A. 5．（25-26高二上·江苏镇江·期末）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在圆上任取点，依题意得到变换之后的点，满足，反求得到，回代入圆的方程即得所求. 【详解】在圆上任取一点，将该点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到点， 则，则，因是圆上的点，故， 即，故所得曲线的方程是. 故选：A. 6．（24-25高二上·贵州遵义·期末）设是平面内的一个动点，，，点到，的距离之和为6，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆定义即可求解. 【详解】由题可得， 所以点的轨迹是以，为焦点长轴长为6的椭圆， 则，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：D 7．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两圆方程化成标准方程，求出两圆的圆心和半径；然后根据动圆与圆外切，与圆内切，得到，由此可判断圆心的轨迹为椭圆；求出长半轴长和短半轴长即可得到动圆圆心的轨迹方程. 【详解】依题意，，圆心为，半径为，，圆心为，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切，所以，所以； 所以圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，所以椭圆的短半轴长，所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C. 8．（25-26高二上·湖南常德·阶段检测）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是______. 【答案】 【分析】利用圆心距与半径之差的关系式可判断出圆和圆为内含关系，根据圆与圆的位置关系可得出，根据椭圆的定义可确定动点的轨迹是椭圆，根据焦点和长轴求出标准方程即可. 【详解】由题意，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为，所以圆和圆为内含关系. 设动圆的圆心，半径为，则，即， 所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则， 故其轨迹方程为. 故答案为：. 9．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为______．    【答案】 【分析】根据已知条件得到向量，然后用坐标表示出来，根据线段的长度即可求得点的轨迹方程. 【详解】设， 由题意，又， 所以，即， 所以，所以， 所以曲线C的方程为. 故答案为：. 10．（2025高三·全国·专题练习）椭圆上的两点为原点，连接，若，则线段中点的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】设，，由条件可得，构造参数方程求解. 【详解】，，则，整理得，线段中点的坐标为 所以有，即线段中点的轨迹方程为． 故答案为：． 题型三 利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题． 题型四 椭圆的长轴、短轴、焦距 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系． 【例题精讲】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 2．（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 3．（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由椭圆定义可知，焦距， 则，离心率， 联立，解得， ， ， 椭圆上，，当时，的面积最大， 最大值为． 4．（25-26高一下·重庆·期中）椭圆的左､右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为8，则该椭圆的焦半径范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用椭圆定义得出，又，得出焦半径范围即可. 【详解】由题意及椭圆的定义可知， 即，又， . 则椭圆焦半径范围为. 5．（2026·河北雄安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的左、右顶点，直线过与椭圆交于两点（不同于点），的周长为，直线与的斜率分别为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 的周长为， 则，.设点 ， 整理得.又，解得， 椭圆的离心率. 6．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（   ） A．24 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义及中垂线的性质求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式列出方程，进而求出三角形周长. 【详解】因为椭圆离心率为，故，则， 又，故， 故为等边三角形，为的垂直平分线， 所以，，则的周长等于， 其中，则的周长为， 直线的斜率为，故直线的斜率为， 故直线为，联立，得， 又，故， 设，则， 故，解得， 故，则的周长为. 7．（2026·山东济南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为，，是椭圆上的动点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据几何关系，以及椭圆的定义，转化向量的数量积，即可求解. 【详解】， 其中，， ， 所以. 8．（多选）（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（    ） A．当时，的面积为 B．的周长为 C．当时，中 D．椭圆上有且仅有个点，使得为直角三角形 【答案】ABD 【分析】根据已知及椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，三角形面积公式的计算，逐项判断即可． 【详解】根据椭圆方程可得，，． 对于A，当时，设，， 则有 所以，， 则的面积，故A正确； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，当时， 由，解得， 的边，故C错误； 对于，设，， 当时， 则有，解得，此时点为上下顶点， 当时，有两个点， 当时，有两个点， 所以一共有6个点，使得为直角三角形，故D正确． 9．（多选）（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．若 ，则的面积为 C．记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D．若M是圆 上任一点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对A：得到以为直径的圆的方程后，联立椭圆方程，得到是否有解即可得；对B：法一：可借助椭圆定义与余弦定理得到的值，再利用面积公式计算即可得；法二：利用焦点三角形面积公式计算即可得；对C：设，结合斜率公式计算即可得；对D：借助椭圆定义及圆的性质计算即可得. 【详解】对A：由椭圆 可得、， 则以为直径的圆的方程为 ， 联立，解得， 即以为直径的圆与椭圆存在交点， 故存在点，使得 ，故A正确； 对B：法一：设 、 ，则由椭圆定义可得， 则由余弦定理可得 ，即 ， 又 ，故， 则的面积为； 法二：，故B错误； 对C：由题意可得，设，则，且 ， 则， 即直线 与的斜率之积为，故C正确； 对D：由椭圆定义可得， 圆 的圆心坐标为，半径， 又 ，故在椭圆外， 则 ， 当且仅当、、、四点共线，且在、之间时成立， 故的最小值为，故D正确. 10．（多选）（23-24高二下·山西晋中·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（     ） A．的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】根据椭圆方程标准形式可判断A，根据椭圆定义可判断B，根据焦半径范围判断C，根据基本不等式可判断D即可. 【详解】由椭圆，可得， 所以，故离心率为，故A错误； 根据椭圆的定义可知的周长为，故B正确； 根据椭圆焦半径的取值范围可知，故C错误； 根据基本不等式可得， 取等号条件是，故D正确. 题型五 椭圆离心率 求椭圆离心率的方法 方法一 直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解 方法二 由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解 方法三 构造a，c的齐次式，可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e 注意：解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式，转化为e的关系式． 【例题精讲】 1．（2026·云南曲靖·二模）经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知左顶点，上顶点，则， 所以， 所以椭圆的焦点在y轴上， 所以. 2．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，，结合椭圆定义求离心率即可. 【详解】因为，，则， 则，， 所以椭圆的离心率为. 3．（25-26高三下·陕西·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件可得，再利用直角三角形边角关系及椭圆的定义列式求解. 【详解】由直线的斜率分别为，得，则，即， 又，因此，而， 于是，即，所以的离心率． 4．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设是椭圆上异于A，B的点，，，把代入椭圆方程， 得，， 又，，又，，， ， 故B选项正确. 5．（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义可得，，利用比例关系求得，，由，在，中，利用余弦定理建立方程求出，得解. 【详解】由椭圆的定义，，，且，， 所以设，，则，， 所以，，所以，， 设椭圆的半焦距为， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， ，即， 化简得，即， 所以椭圆的离心率. 6．（2026·河北保定·模拟预测）已知椭圆的上、下顶点分别为，为坐标原点，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的直线方程，然后求出的坐标，根据结合倾斜角的关系可得关于的方程，化简后可得，故可求离心率. 【详解】 因为分别为椭圆的上下顶点，故， 故的直线方程为， 由可得即， 因为，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，故， 整理得，故离心率. 7．（2026·河南·三模）椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为A，P为C上一点，，以为直角顶点的直角三角形的面积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据三角形面积公式求解，通过椭圆的几何性质即可得到，结合余弦定理求解得到椭圆离心率. 【详解】已知椭圆，则左、右焦点分别为，，点坐标， 因为是以为直角顶点的直角三角形，所以， 直角边， 而，因此， 而，因此， 在中，，，由余弦定理得， 即， 化简得，而， 因此离心率.    8．（多选）（2026·辽宁锦州·二模）椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，为双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点，椭圆与轴交于，两点，则（） A．与有且只有两个公共点 B． C．若，则 D．使成立的值不存在 【答案】ACD 【分析】先由写出椭圆、双曲线的基本量与离心率，联立两曲线方程得仅有两个横轴交点判定A正确；代入离心率表达式化简验证不等于1知B错误；由平方求解得，算出判定C正确；再联立双曲线渐近线与椭圆求得交点，利用向量运算表示并与列方程，解得与矛盾，故满足条件的不存在，D正确. 【详解】已知椭圆，双曲线. 椭圆参数：，，，离心率. 双曲线参数：，，，离心率 选项A:联立与方程：， 两式相加得，代入得，公共点为，，共2个，故A正确. 选项B:，故B错误. 选项C,， 平方得，，故C正确. 选项D:双曲线的渐近线：，第一象限渐近线. 联立椭圆：，，即. 椭圆顶点，，， ，， ，, 由，平方得，与矛盾，故不存在，D正确. 9．（多选）（25-26高二下·广东揭阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，则下列说法正确的是（     ） A．若的最大值为5，最小值为1，则椭圆的离心率为 B．若，，则的面积为2 C．若，，，则内切圆的半径为 D．若，，则椭圆的离心率为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆上的点到焦点距离的取值范围，可求的值，即可判断A；利用焦点三角形的面积公式求的面积，即可判断B；结合三角形面积，可求内切圆的半径，即可判断C；利用正弦定理，结合比例的性质和椭圆的定义，即可判断D. 【详解】对于A：由，所以，所以，故A正确； 对于B：由，所以，所以， 又，所以， 所以，即， 所以，故B错误； 对于C：由，由余弦定理得： ， 所以， 所以， 设内切圆的半径为， 又， 又，所以，故C正确； 对于D：由，，得， 由正弦定理得：， 所以， 所以， 所以，故D正确. 10．（多选）（2026·陕西咸阳·三模）已知椭圆C：()的左、右焦点分别为，，离心率，P是C上一动点，且的周长为6，直线l与C交于A，B两点(异于点P)，则下列说法正确的有(   ) A．若点P到直线的距离为3，则 B．若的中点M的坐标为，则直线l的方程为 C．若A，B关于原点对称，直线，的斜率分别为，，则 D．记的中点为N，则点N的轨迹方程为 【答案】AB 【分析】先根据已知条件求出椭圆方程，再分别利用椭圆的第二定义、点差法(对称点)、中点坐标代入法逐一验证选项. 【详解】由离心率及的周长为6，得，， 解得，，，椭圆方程为. 对于选项A，椭圆右准线为，由点到直线的距离为3，得的横坐标为1. 将代入椭圆方程，得，即. 所以，故A正确. 对于选项B，设，，代入椭圆方程得，， 两式相减得. 由中点，得，，代入得直线斜率， 故直线方程为，即，故B正确. 对于选项C，设，，则，斜率， ，故.由椭圆方程得，， 代入化简得，故C错误. 对于选项D，设，而，则， 代入椭圆方程得，整理得，故D错误. 题型六 与椭圆几何性质有关的最值问题 与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题的求解策略 【例题精讲】 1．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知，分别为椭圆：的左、右顶点，为上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数量积求出的代数式，结合导数与单调性、最值求解即可. 【详解】椭圆左顶点，右顶点. 当与或重合时，不存在. 设（），则，即. ，. . ， . 所以 . 令，则，所以. 令，， 则 . 当时，，， 所以，所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，. 故选：A. 2．（25-26高二上·浙江温州·期中）已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 3．（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于、两点，那么的周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的对称性、椭圆的定义可得，结合的范围求的周长的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，， 的周长， 又因为、两点为过原点的动直线与椭圆的交点， 所以、两点关于原点对称，椭圆的左焦点为， 易知为的中点，所以，四边形为平行四边形， 所以，，所以， 又因为、、三点不共线， 不妨设点，则，其中，且，可得， 所以，， 所以的周长的取值范围为， 故选：A. 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据椭圆定义，，则当三点共线时，取得最小值. 【详解】根据题意，，且点为椭圆右焦点， 根据椭圆定义，， 即如图，当三点共线时，取得最小值. 5．（25-26高二上·浙江宁波·期末）设F是椭圆的右焦点，A是椭圆上的动点，B是直线上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义将转化为，进而转化为到直线的距离减去6，再用点到直线的距离公式解得. 【详解】如图：由F是椭圆的右焦点，所以，设. 由椭圆的定义，所以， ， 所以的最小值就等价于的最小值， 就等价于到直线的距离减去6， ，所以的最小值为4. 故选：C. 6．（25-26高二上·全国·期末）已知椭圆：的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】椭圆的左焦点为，求出椭圆的两个焦点的坐标，根据椭圆定义得，结合得，根据几何关系求出的范围，从而可得到一个不等式组，进行求解可得m的一个范围；再根据A在椭圆内可得m的另外一个范围；综合两个范围即可得到答案． 【详解】设椭圆的左焦点为， 因，则，则，则，， 由椭圆的定义可知，，∴， ∴，∴， ∵， ∴，当三点共线时，等号成立， ∵椭圆上存在一点，使得， ∴，解得， 又∵点为椭圆内一点， ∴，解得或， 综上可得的取值范围为， 故选：B． 7．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义和圆上点的位置关系确定最值即可. 【详解】由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1， 设椭圆的上焦点为，下焦点为， 则， 故要求的最大值，即求的最小值， 所以的最小值等于：， 即的最大值为：. 故选：B.    8．（多选）（2026·山西吕梁·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．内切圆半径的最大值为 C．椭圆C内接矩形面积的最大值为 D．若，则的最小值是1 【答案】ABD 【分析】对A，直接利用离心率公式即可判断；对B，写出半径表达式即可判断；对C，利用基本不等式即可判断；对D，利用椭圆定义结合三点共线即可判断. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，记内切圆半径为，由，得， 则，所以当时，，故B正确； 对于C选项，不妨取P为第一象限点，设，则由，得， 当且仅当时取等，所以，故C错误； 对于D选项，，当为线段与椭圆的交点时，等号成立，故D正确． 9．（多选）（2026·广西崇左·一模）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为7 C．的最大值为8 D．的最大值为9 【答案】BD 【分析】确定，为C的两个焦点，由椭圆的定义结合圆外一点到圆的最值求解即可. 【详解】圆的圆心为，则，为C的两个焦点， 由椭圆的定义知，，如图， 由Q为圆M上的动点，得，即， 则， 即，故的最小值为7，最大值为9. 10．（多选）（2026·广西南宁·二模）已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，M为AC的中点，则（    ） A．直线OM与AC的斜率之积为 B．点B到点的距离与到点F的距离之和的最大值为 C． D．B，F，M三点共线 【答案】ABD 【分析】设，，利用斜率公式计算判断选项A；B选项，问题转化为点B到点的距离与到左焦点的距离之差的最大值；由向量与的关系判断CD选项. 【详解】椭圆的右焦点为，右顶点为， 过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，设， 则有，满足，有， M为AC的中点，则， ，A选项正确； 椭圆的左焦点为，则， 点在椭圆内，， ， 当且仅当三点共线，在之间时等号成立，B选项正确； ，，，则，C选项错误； 与共线，且与有公共点，所以B，F，M三点共线，D选项正确； 【真题回顾】 【例题精讲】 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可. 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 5．（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的离心率可知，，然后将代入椭圆方程即可求解； （2）根据直线与圆相切即可求出，分类讨论即可. 【详解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即， 由于，所以， 将代入椭圆方程，得，即，解得，即， 由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，所以圆的方程为， 设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示， 则圆心到直线的距离，解得， 椭圆上顶点，分两种情况讨论： ①当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 则当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时； ②当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时. 综上所述，的值为. 6．（2026·北京·高考真题）已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为． (1)求的方程； (2)过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用顶点坐标及离心率计算即可得； （2）设出直线，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合题目所给条件计算可得点、点坐标，再利用点到直线距离公式与两点间距离公式可表示出与，结合题目所给条件与韦达定理计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得，则，即，故的方程为； （2）由题意可得，设、， 由关于直线对称的点为，则， 联立，消去得：， 由，故在椭圆内部，故恒成立，有、， 则， ， ，联立， 则，即， 整理得，即， 点到直线的距离，点到直线的距离， 又，则，， 故 ， 即有，若，则，无解，不符； 则，有，解得； 故. 7．（2026·全国二卷·高考真题）已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率． (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为．当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 【答案】(1) (2)（i）的方程为； （ii）当时，有对称中心； 当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 【分析】（1）利用过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为 ，通过求出坐标解出线段的长，求得再求出离心率； （2）(i)通过联立方程求出点的坐标，再反解出点的坐标代入椭圆方程，从而求出的轨迹的方程； （ii）先对曲线方程配方，再讨论在不同取值时，中心存在的情况；再通过平移规律求出的方程，再讨论不同情况下的形状. 【详解】（1）设椭圆 的右焦点为，其中 ， 那么过右焦点且垂直于 轴的直线为，代入椭圆得 ，即 ， 所以 ，由于截线段长为 ，解得 ， 故 ，离心率 . （2）(i)  方法一： 由（1）知椭圆方程为 ，由于点满足 ，且 ，过作轴的垂线，交 轴于点 ， 那么当时，点，点与点重合； 当时，直线 方程为：，直线方程为： ， 即 ， 联立，解得，即点， 设，则由， 代入椭圆方程得，即， 两边乘以得， 整理得， 把点代入，仍然成立， 故轨迹的方程为； 方法二： 由于，点在轴，故直线必有斜率； 设直线方程为，，那么点， 由于轴，则， 由于点三点共线，则， 因为点在直线上，所以，， 把代入椭圆方程： ，得，即， 整理化简，得 ， 故轨迹的方程为； (ii)由（i）得轨迹的方程为， 当即时，轨迹的方程为 ，为抛物线去掉与x轴交点，无对称中心； 当 即 且0时， 化简轨迹的方程为， 将轨迹向左或向右平移个单位得到的方程为，即， 所以当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 综上，当时，轨迹无对称中心； 当时，有对称中心； 当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $