01直线的倾斜角与斜率、直线的方程讲义—2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦解析几何中直线的倾斜角与斜率、直线方程等核心考点，按定义-公式-关系-方程形式的逻辑层次梳理知识，通过表格化知识梳理、教材例题夯实基础、考点题型分类突破、跟踪练习分层训练的教学流程，帮助学生构建系统知识网络，突破斜率与倾斜角关系、直线方程适用范围等难点。 讲义以回归教材为根基，创新采用知识结构化与方法程序化教学，如结合正切函数图象分析斜率与倾斜角的变化关系，培养数学思维；对比归纳直线方程五种形式的适用条件，规范数学语言表达。分层练习覆盖基础到综合应用，助力学生高效提升解题能力，为教师提供精准复习框架，有效把控备考节奏。

2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——01 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 知识梳理： 一、直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，我们以轴为基准，把轴正方向与直线向上的方向之间所成的角叫作直线的倾斜角 规定 当直线与轴平行或重合时，直线的倾斜角为0.因此直线的倾斜角的取值范围为 二、斜率公式 定义式 当直线的倾斜角为时，斜率 ，当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在 坐标式 若,在直线上，且,则的斜率为.若,则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 三、直线的方向向量与斜率的关系 定义 经过两点,的直线，其方向向量为 ，因此，当直线的斜率存在时，直线的一个方向向量为 关系 当直线的一个方向向量为时，直线的斜率 四、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 【提醒】 1、当直线与轴不垂直时，可设直线的方程为；当直线不与轴平行且不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为. 2、几种特殊位置的直线方程 （1）轴：. （2）轴：. （3）平行于轴的直线：. （4）平行于轴的直线：. （5）过原点且斜率存在的直线：. 3.直线的斜率与倾斜角：由正切函数的概念可知，倾斜角不是的直线，它的斜率和它的倾斜角满足（其中）． 结合正切函数的图象与性质，斜率与倾斜角有如下关系： 当时，斜率，且随倾斜角的增大而增大； 当时，斜率，且随倾斜角的增大而增大； 当时，直线与轴垂直，此时直线的斜率不存在． 回归教材： 例、【人教A版选择性必修一第2.1.1节例1】如图，已知，，，求直线，，斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 解：直线的斜率；直线的斜率； 直线的斜率．由及可知，直线与的倾斜角均为锐角；由可知，直线的倾斜角为钝角． 例、【人教A版选择性必修一第2.1.1节练习第4题】已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角. （1）， （2）， （3），． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）先计算出斜率值，再根据倾斜角的正切值等于斜率求解出倾斜角； （2）根据横坐标相等判断出直线轴，由此分析得到直线的倾斜角； （3）先计算出斜率值，再根据倾斜角的正切值等于斜率求解出倾斜角. 【详解】（1）因为，所以，所以，所以直线的倾斜角为； （2）因为的横坐标相等，所以直线轴，所以直线的倾斜角为； （3）因为，所以，所以，所以直线的倾斜角为. 例、【人教A版选择性必修一第2.1.1节练习第5题】经过，两点的直线的方向向量为，求k的值． 【答案】. 【解析】 【分析】根据直线的方向向量得到的含义，结合斜率的计算公式求解出的值. 【详解】因为直线的方向向量为，则为直线的斜率，所以，所以的值为. 例、【人教A版选择性必修一习题2.1第2题】已知四边形ABCD的四个顶点是，，，，求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率． 【答案】，，，. 【解析】 【分析】根据斜率的计算公式分别求解出四条边的斜率即可. 【详解】，，，. 例、【人教A版选择性必修一习题2.1第3题】 m为何值时， （1）经过，两点的直线的斜率是12？ （2），两点的直线的倾斜角是？ 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据斜率的计算公式列出关于的方程，由此求解出的值； （2）先根据倾斜角计算出斜率，然后根据斜率的计算公式列出关于的方程，由此求解出的值. 【详解】（1）因为，所以， （2）因为倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，所以. 例、【人教A版选择性必修一习题2.1第4题】已知，，三点，这三点是否在同一条直线上？为什么？ 【答案】在一条直线上，理由见解析. 【解析】 【分析】根据点的坐标计算，若相等则说明在同一条直线上，反之则不在同一条直线上. 【详解】因为，所以，且直线有公共点，所以三点在一条直线上. 例、【人教A版选择性必修一习题2.1第7题】过，两点的直线l的倾斜角为，求的值． 【答案】. 【解析】 【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出的值. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又，整理得，解得或， 当时，，不符合，当时，，符合， 综上：. 例、【人教A版选择性必修一第2.2.1节例1】直线l经过点且倾斜角，求直线l的点斜式方程，并画出直线l. 解：直线l经过点，斜率，代入点斜式方程得. 画图时，只需再找出直线l上的另一点，例如，取，则，得点的坐标为，过，两点的直线即为所求，如图. 例、【人教A版选择性必修一第2.2.1节练习第3题】写出下列直线的斜截式方程. （1）斜率是，在y轴上的截距是；（2）斜率是，在y轴上的截距是4． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】由直线的斜截式方程求解即可. 【详解】(1) 因为直线斜率是，在y轴上的截距是，所以直线的斜截式方程为； （2）因为直线斜率是，在y轴上的截距是4，所以直线的斜截式方程为； 例、【人教A版选择性必修一第2.2.2节例3】如图，已知直线l与x轴的交点为，与y轴的交点为，其中，. 求直线l的方程. 解：将两点，坐标代入两点式，得，即. 例、【人教A版选择性必修一第2.2.2节例4】已知的三个顶点，，，求边所在直线的方程，以及这条边上的中线所在直线的方程. 解：如图，过，的两点式方程为，整理得. 这就是边所在直线的方程. 边上的中线是顶点A与边中点M所连线段，由中点坐标公式，可得点M的坐标为，即.过，两点的直线方程为 ，整理可得.这就是边上中线所在直线的方程. 例、【人教A版选择性必修一第2.2.2节练习第3题】根据下列条件，求直线的方程. （1）过点，且在两坐标轴上的截距之和为2； （2）过点，且在两坐标轴上的截距之差为2． 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意求出直线在轴上的截距，再利用截距式即可写出答案. （2）根据题意求出直线在轴上的截距，再利用截距式即可写出答案. 【详解】（1）因为直线在轴上的截距为5，则在轴上的截距为. 则直线为. （2）因为直线在轴上的截距为5，则在轴上的截距为或. 则直线为或. 所以直线为或。 例、【人教A版选择性必修一第2.2.3节例6】把直线l一般式方程化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形. 分析：求直线l在x轴上的截距，即求直线l与x轴交点的横坐标，只要在直线l的方程中令即可得x的值. 解：把直线l的一般式方程化为斜截式.因此，直线l的斜率，它在y轴上的截距是3. 在直线l的方程中，令，得，即直线l在x轴上的截距是. 由上面可得直线l与x轴､y轴的交点分别为，，过A，B两点作直线，就得直线l 例、【人教A版选择性必修一第2.2.3节练习第3题】已知直线l的方程是． （1）当时，直线l的斜率是多少？当时呢？ （2）系数A，B，C取什么值时，方程表示经过原点的直线？ 【答案】（1）时，斜率；当时，直线l的斜率不存在；（2）且不同时为0. 【解析】 【分析】（1）当时，直接由直线方程求出斜率；当时，直线l的斜率不存在； （2）由直线过原点可得，再由不同时为0即可得解. 【详解】（1）当时，直线l的斜率是；当时，直线l的斜率不存在； （2）因为直线过原点，所以， 所以当且不同时为0时，方程表示经过原点的直线. 例、【人教A版选择性必修一习题2.2第6题】菱形的两条对角线分别位于x轴和y轴上，其长度分别为8和6，求菱形各边所在直线的方程． 【答案】；；； 【解析】 【分析】根据菱形的结构特征可确定直线经过点，再由点斜式即可求解. 【详解】由题意作出菱形图形，如图， 直线的方程：，即， 直线的方程：，即， 直线的方程：，即， 直线的方程：，即 例、【人教A版选择性必修一习题2.2第7题】求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 【答案】或 【解析】 【分析】讨论截距为不为0,分别求出直线即可. 【详解】（1）当截距为0时：直线为。 （2）当截距不为0时，设截距为,则直线为，将代入解得， 所以直线为.综上所述：直线为或. 例、【人教A版选择性必修一习题2.2第10题】求直线（A，B不同时为0）的系数A，B，C分别满足什么关系时，这条直线有以下性质： （1）与两条坐标轴都相交； （2）只与x轴相交； （3）只与y轴相交； （4）是x轴所在的直线； （5）是y轴所在的直线． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），，； （5），，； 【解析】 【分析】（1）根据直线与坐标轴相交的性质可得；（2）根据直线只与x轴相交的性质可得； （3）根据直线只与y轴相交的性质可得；（4）由x轴所在的直线方程即可得解； （5）由y轴所在的直线方程即可得解. 【详解】（1）直线（A，B不同时为0）与x轴相交时，方程组有唯一解，所以，同理直线（A，B不同时为0）与y轴相交时，方程组有唯一解，所以，所以当，时，直线与两条坐标轴都相交； （2）已知直线只与x轴相交，所以直线与y轴平行或重合，所以当，时，直线只与x轴相交； （3）已知直线只与y轴相交，所以直线与x轴平行或重合，所以当，时，直线只与y轴相交； （4）当，，时，直线是x轴所在的直线； （5）当，，时，直线是y轴所在的直线； 例、【人教A版选择性必修一习题2.2第13题】一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程. 【答案】入射光线的直线方程为,反射光线的直线的方程为. 【解析】 【分析】设入射光线的直线方程为，则点在直线方程上，利用待定系数法可得k、b的值，可得入射光线与反射光线关于直线x=2对称，可得反射光线的直线的方程. 【详解】设入射光线的直线方程为，则点在直线方程上，， ，入射光线的直线方程为，入射光线与反射光线关于直线x=2对称， 反射光线的斜率为，且经过点，反射光线的直线的方程为. 【点睛】本题主要考查直线方程的求法-待定系数法，及关于直线对称的直线方程的求法，相对简单，注意运算的准确性. 考点梳理： 例、【人教A版选择性必修一复习参考题2第1（2）题】设直线 l 的方程为，则直线 l 的倾斜角的范围是（ ） A. [0, ] B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，当时，；当时，结合的范围，可得斜率的取值范围，进而得到倾斜角的范围. 【详解】直线l的方程为，当时直线方程为，倾斜角 当时，直线方程化为，斜率，因为， 所以，即，又因为， 所以，综上可得故选：C 例、已知直线,则直线的倾斜角 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C [解析]当时,;当时,斜率. ,, .综上,.故选. 例、已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　) A． B．(－∞，－2] C．(－∞，－2]∪ D． 答案：D 解析：由题意，知直线l：y＝k(x－2)＋1过点P(2，1)，连接点P与线段AB上的点A(1，3)时直线l的斜率最小，为kPA＝＝－2，连接点P与线段AB上的点B(－2，－1)时直线l的斜率最大，为kPB＝＝，所以k的取值范围是.故选D. 例、【人教A版选择性必修一习题2.1第8题】经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由． 【答案】，，理由见解析. 【分析】根据题意作出图示，根据图示结合临界位置分析直线与线段有交点时倾斜角和斜率的取值范围. 【详解】如下图所示，当直线经过点时，斜率为，此时倾斜角为 ；当直线经过点时，斜率为， 此时倾斜角为，由题意可知，当直线从过点的位置开始，逆时针旋转至过点的位置，经过图中阴影部分时都能满足题意，旋转过程中，倾斜角先从变化到，再从变化到，所以倾斜角的取值范围是：；旋转过程中，斜率先从变化到，再从变化到，所以斜率的取值范围是：. 例、求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P(1，2)，倾斜角α的正弦值为； (2)经过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等； (3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量为v＝(－3，2)． 解：(1)由题意可知，sinα＝，则tanα＝±，∵直线经过点P(1，2)， ∴所求直线的方程为y－2＝±(x－1)，即y＝±(x－1)＋2，整理得4x－3y＋2＝0或4x＋3y－10＝0. (2)解法一：①当截距为0时，直线过点(0，0)，(2，3)，则直线的斜率为k＝＝， ∴所求直线的方程为y＝x，即3x－2y＝0. ②当截距不为0时，可设直线的方程为＋＝1. ∵直线过点P(2，3)，∴＋＝1，∴a＝5.∴所求直线的方程为x＋y－5＝0. 综上可知，所求直线的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0. 解法二：由题意可知所求直线的斜率存在，则可设直线方程为y－3＝k(x－2)，且k≠0. 令x＝0，得y＝－2k＋3.令y＝0，得x＝－＋2. 于是－2k＋3＝－＋2，解得k＝或k＝－1. 则所求直线的方程为y－3＝(x－2)或y－3＝－(x－2)，即3x－2y＝0或x＋y－5＝0. (3)联立解得∴直线过点(1，1)， ∵直线的一个方向向量为v＝(－3，2)，∴直线的斜率k＝－. 则所求直线的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0. 例、 【人教A版选择性必修一习题2.2第1题】写出满足下列条件的直线的方程. （1）经过点，斜率是； （2）经过点，且与x轴垂直； （3）斜率是，在y轴上的截距是7； （4）经过，两点； （5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行； （6）在x轴、y轴上的截距分别是4，． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。 【解析】 【分析】（1）利用点斜式求出直线方程； （2）依题意直接得到直线方程为； （3）利用斜截式求出直线方程； （4）首先求出斜率，再利用点斜式求出直线方程； （5）依题意可知斜率为，即可得到直线方程； （6）利用截距式求出直线方程； 【详解】解：（1）经过点，斜率是；则直线方程为，即 （2）经过点，且与x轴垂直；则直线方程为 （3）斜率是，在y轴上的截距是7；则直线方程为，即 （4）经过，两点；则斜率，所以直线方程为， 即 （5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；则直线方程为 （6）在x轴、y轴上的截距分别是4，．则直线方程为，即。 例、设直线的方程为. （1）求证：不论为何值，直线恒过点. （2）若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当的面积取得最小值时，求此时的周长及直线的方程； （3）当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且也为正整数时，求直线的方程. [解析]（1）由,得，则，解得 不论为何值，直线恒过点. （2）由得，当时，，当时，，由得，， 当且仅当，即舍去时取等号，，， 的周长为,直线的方程为. （3）直线在两坐标轴上的截距均为正整数， 即，均为正整数，而也为正整数， ,, 直线的方程为. 小结： 1、求直线方程的两种方法 注意：（1）当选用点斜式和斜截式时，注意讨论斜率是否存在； （2）当选用截距式时，注意讨论直线是否过原点，即截距是否为0； （3）当选用一般式确定直线的斜率时，要注意讨论是否为0.求直线方程时，如果没有特别要求，那么求出的直线方程应化为一般式，且. 2、求倾斜角的取值范围的步骤 （1）求出斜率 的取值范围，但需要注意斜率不存在的情况； （2）利用正切函数的单调性，借助函数图象或单位圆，数形结合确定倾斜角 的取值范围. 【注意】倾斜角的取值范围是，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为，此时直线垂直于轴. 跟踪练习： 1. 若,,三点在同一条直线上，则实数的值为( ) A. B. C. 6 D. 12 【答案】C [解析]因为，,，所以，解得.故选. 2．如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【详解】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角，则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数，且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小.故选：B. 3．经过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－3＝0 答案：A 解析：由于直线的方向向量为(1，2)，故直线的斜率为＝2，故直线的方程为y－1＝2(x－1)， 即2x－y－1＝0.故选A. 4．(2025·湖南长沙模拟)已知两点M(a，6)，N(a＋2，3)，下列各点一定在直线MN上的是(　　) A．(a＋4，0) B．(a＋4，2) C．(a＋4，4) D．(a＋4，6) 答案：A 解析：因为M(a，6)，N(a＋2，3)，所以kMN＝＝－，所以直线MN的方程为y－6＝－(x－a)，即y＝－x＋a＋6，当x＝a＋4时，y＝－(a＋4)＋a＋6＝－a－6＋a＋6＝0，所以点(a＋4，0)在直线MN上．故选A. 5．已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直线平行得出正切值为，再应用二倍角正弦及余弦公式结合齐次式计算求值. 【详解】因为角的终边与直线平行，即角的终边在直线上，所以. 所以.故选：D. 6．已知△ABC的顶点C的坐标为(1，1)，AC所在直线的方向向量为(1，2)，AC边上的中线所在的直线方程为x＋y－1＝0，则点A的坐标为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：设A(x0，y0)，AC所在直线的方向向量为(1，2)，则AC所在直线的斜率k＝＝，∴1×(1－y0)－2(1－x0)＝0，得y0＝2x0－1，∴A(x0，2x0－1)，又C(1，1)，则AC的中点坐标为，∵AC边上的中线所在的直线方程为x＋y－1＝0，则AC的中点在直线x＋y－1＝0上，∴＋x0－1＝0，解得x0＝，∴点A的坐标为.故选A. 7．已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【详解】当三角形为直角三角形时，或，此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，，故选：C. 8、过点A(1，4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　) A．x－y＋3＝0 B．x＋y－5＝0 C．4x－y＝0或x＋y－5＝0 D．4x－y＝0或x－y＋3＝0 答案：D 解析：①当直线过原点时，在两坐标轴上的截距都为0，满足题意，因为直线过点A(1，4)，所以直线的斜率为＝4，所以直线方程为y＝4x，即4x－y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，因为点A(1，4)在直线上，所以＋＝1，解得a＝－3，所以直线方程为x－y＋3＝0.故所求直线方程为4x－y＝0或x－y＋3＝0.故选D. 9．设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为直线过定点，直线与线段没有交点，转化为过定点的直线与线段无公共点，画出图像，结合图像，即可求得答案. 【详解】 直线与线段没有交点，即直线与线段没有交点， 对于直线，令，则，则直线恒过点 .根据题意，作出如下图像： ，， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， ， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， 直线的斜率为，若直线与线段没有交点，则. 10．（多选）若点在曲线上，且曲线在点处的切线的倾斜角为，则可以取（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】设，则，所以在点处的切线斜率，则，又，所以得，对照选项，只有选项AC符合题意． 11．（多选）已知直线xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　) A．直线的倾斜角是π－α B．无论α如何变化，直线不过原点 C．直线的斜率一定存在 D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 答案：BD 解析：直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，A不正确；当x＝y＝0时，xsinα＋ycosα＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝时，直线的斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝≥1，D正确．故选BD. 12．（多选）下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系可以判断A；根据截距是否为0进行分类讨论求解直线方程可以判断B；根据两点式的使用条件可以判断C；根据斜率和倾斜角的关系，结合余弦函数的值域求解范围可以判断D. 【详解】对于A，直线可得，则斜率，所以直线倾斜角满足，且，即，故正确； 对于B，当截距不为0时，由直线截距式可设直线方程为，代入得，解得； 当截距为0时，可设直线方程为，代入得，即，故错误； 对于C，根据直线方程两点式可知，且，故错误； 对于D，由直线的方程为可得，斜率，由得，设倾斜角为，则，由，得,故正确，故选：AD. 13．（多选）已知点，则下列命题正确的是（    ） A．过点且与线段有公共点的直线的斜率的取值范围为 B．过点且与直线平行的直线的方程为 C．过点且与直线垂直的直线的方程为 D．点关于直线的对称点的坐标为 【答案】ABC 【分析】对于A，先求出，再结合图形求解判断即可；对于B，根据直线平行得到所求直线的斜率，进而根据点斜式写出方程即可判断；对于C，根据直线垂直得到所求直线的斜率，进而根据点斜式写出方程即可判断；对于D，先求出直线的方程，设，进而列式计算即可判断. 【详解】对于A，由， 如图，要使直线过点且与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为，故A正确； 对于B，由于，则所求直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即，故B正确； 对于C，由于，则所求直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即，故C正确； 对于D，由于，则直线的方程为，即，设，则，解得，则点的坐标为，故D错误.故选：ABC 14．已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 【答案】 【详解】令直线的倾斜角为，则，而直线绕点逆时针旋转得到直线， 所以直线的倾斜角为，则其斜率为. 15．若直线l的一个方向向量为a＝，则直线l的倾斜角θ＝________． 答案： 解析：∵直线l的一个方向向量为a＝，∴直线l的斜率k＝＝＝＝tan，∴直线l的倾斜角θ＝. 16、用适当方法求下列直线的方程. （1） 直线的斜率为2，且经过点； （2） 斜率为，且在轴上的截距为4； （3） 经过，两点； （4） 过点，且在轴和轴上的截距互为相反数; （5） 已知直线的一个方向向量为，且过点. [解析]（1）因为，且经过点，由直线的点斜式可得，整理可得，所以直线的一般式方程为. （2）由直线的斜率，且在轴上的截距为4，得直线的斜截式为，整理可得直线的一般式方程为. （3）由直线的两点式可得，整理得直线的一般式方程为. （4）当截距为0时，设直线方程为，代入点，解得，则直线方程为，即;当截距不为0时，设直线方程为，代入点，解得，则直线方程为.综上，直线方程为或. （5）因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，故直线的方程为，即. 17．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标； （2）先求出点C的坐标，进而可求解. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：.所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：，有，解得：，所以. 又∵，∴，即，所以BC所在直线方程为：． 18、已知直线. （1） 求证：直线过定点. （2） 若直线不经过第四象限,求实数的取值范围. （3） 若直线交轴的负半轴于点,交轴的正半轴于点,的面积为,求的最小值并求此时直线的方程. [解析]（1）由,得,联立解得 直线过定点. （2） 由,得,要使直线不经过第四象限,则 解得,的取值范围是. （3）如图,由题意可知, 在中,取,得,取,得, , 当且仅当,即（负值舍去）时,上式“”成立， 的最小值为4,此时直线的方程为,即. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——01 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 知识梳理： 一、直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，我们以轴为基准，把轴正方向与直线向上的方向之间所成的角叫作直线的倾斜角 规定 当直线与轴平行或重合时，直线的倾斜角为0.因此直线的倾斜角的取值范围为 二、斜率公式 定义式 当直线的倾斜角为时，斜率 ，当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在 坐标式 若,在直线上，且,则的斜率为.若,则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 三、直线的方向向量与斜率的关系 定义 经过两点,的直线，其方向向量为 ，因此，当直线的斜率存在时，直线的一个方向向量为 关系 当直线的一个方向向量为时，直线的斜率 四、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 【提醒】 1、当直线与轴不垂直时，可设直线的方程为；当直线不与轴平行且不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为. 2、几种特殊位置的直线方程 （1）轴：. （2）轴：. （3）平行于轴的直线：. （4）平行于轴的直线：. （5）过原点且斜率存在的直线：. 3.直线的斜率与倾斜角：由正切函数的概念可知，倾斜角不是的直线，它的斜率和它的倾斜角满足（其中）． 结合正切函数的图象与性质，斜率与倾斜角有如下关系： 当时，斜率，且随倾斜角的增大而增大； 当时，斜率，且随倾斜角的增大而增大； 当时，直线与轴垂直，此时直线的斜率不存在． 回归教材： 例、【人教A版选择性必修一第2.1.1节例1】如图，已知，，，求直线，，斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 例、【人教A版选择性必修一第2.1.1节练习第4题】已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角. （1）， （2）， （3），． 例、【人教A版选择性必修一第2.1.1节练习第5题】经过，两点的直线的方向向量为，求k的值． 例、【人教A版选择性必修一习题2.1第2题】已知四边形ABCD的四个顶点是，，，，求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率． 例、【人教A版选择性必修一习题2.1第3题】 m为何值时， （1）经过，两点的直线的斜率是12？ （2），两点的直线的倾斜角是？ 例、【人教A版选择性必修一习题2.1第4题】已知，，三点，这三点是否在同一条直线上？为什么？ 例、【人教A版选择性必修一习题2.1第7题】过，两点的直线l的倾斜角为，求的值． 例、【人教A版选择性必修一第2.2.1节例1】直线l经过点且倾斜角，求直线l的点斜式方程，并画出直线l. 例、【人教A版选择性必修一第2.2.1节练习第3题】写出下列直线的斜截式方程. （1）斜率是，在y轴上的截距是；（2）斜率是，在y轴上的截距是4． 例、【人教A版选择性必修一第2.2.2节例3】如图，已知直线l与x轴的交点为，与y轴的交点为，其中，. 求直线l的方程. 例、【人教A版选择性必修一第2.2.2节例4】已知的三个顶点，，，求边所在直线的方程，以及这条边上的中线所在直线的方程. 例、【人教A版选择性必修一第2.2.2节练习第3题】根据下列条件，求直线的方程. （1）过点，且在两坐标轴上的截距之和为2； （2）过点，且在两坐标轴上的截距之差为2． 例、【人教A版选择性必修一第2.2.3节例6】把直线l一般式方程化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形. 例、【人教A版选择性必修一第2.2.3节练习第3题】已知直线l的方程是． （1）当时，直线l的斜率是多少？当时呢？ （2）系数A，B，C取什么值时，方程表示经过原点的直线？ 例、【人教A版选择性必修一习题2.2第6题】菱形的两条对角线分别位于x轴和y轴上，其长度分别为8和6，求菱形各边所在直线的方程． 例、【人教A版选择性必修一习题2.2第7题】求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 例、【人教A版选择性必修一习题2.2第10题】求直线（A，B不同时为0）的系数A，B，C分别满足什么关系时，这条直线有以下性质： （1）与两条坐标轴都相交； （2）只与x轴相交； （3）只与y轴相交； （4）是x轴所在的直线； （5）是y轴所在的直线． 例、【人教A版选择性必修一习题2.2第13题】一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程. 考点梳理： 例、【人教A版选择性必修一复习参考题2第1（2）题】设直线 l 的方程为，则直线 l 的倾斜角的范围是（ ） A. [0, ] B. C. D. 例、已知直线,则直线的倾斜角 的取值范围是( ) A. B. C. D. 例、已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　) A． B．(－∞，－2] C．(－∞，－2]∪ D． 例、【人教A版选择性必修一习题2.1第8题】经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由． 例、求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P(1，2)，倾斜角α的正弦值为； (2)经过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等； (3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量为v＝(－3，2)． 例、 【人教A版选择性必修一习题2.2第1题】写出满足下列条件的直线的方程. （1）经过点，斜率是； （2）经过点，且与x轴垂直； （3）斜率是，在y轴上的截距是7； （4）经过，两点； （5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行； （6）在x轴、y轴上的截距分别是4，． 例、设直线的方程为. （1）求证：不论为何值，直线恒过点. （2）若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当的面积取得最小值时，求此时的周长及直线的方程； （3）当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且也为正整数时，求直线的方程. 小结： 1、求直线方程的两种方法 注意：（1）当选用点斜式和斜截式时，注意讨论斜率是否存在； （2）当选用截距式时，注意讨论直线是否过原点，即截距是否为0； （3）当选用一般式确定直线的斜率时，要注意讨论是否为0.求直线方程时，如果没有特别要求，那么求出的直线方程应化为一般式，且. 2、求倾斜角的取值范围的步骤 （1）求出斜率 的取值范围，但需要注意斜率不存在的情况； （2）利用正切函数的单调性，借助函数图象或单位圆，数形结合确定倾斜角 的取值范围. 【注意】倾斜角的取值范围是，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为，此时直线垂直于轴. 跟踪练习： 1. 若,,三点在同一条直线上，则实数的值为( C ). A. B. C. 6 D. 12 2．如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 3．经过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－3＝0 4．已知两点M(a，6)，N(a＋2，3)，下列各点一定在直线MN上的是(　　) A．(a＋4，0) B．(a＋4，2) C．(a＋4，4) D．(a＋4，6) 5．已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．已知△ABC的顶点C的坐标为(1，1)，AC所在直线的方向向量为(1，2)，AC边上的中线所在的直线方程为x＋y－1＝0，则点A的坐标为(　　) A． B． C． D． 7．已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 8、过点A(1，4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　) A．x－y＋3＝0 B．x＋y－5＝0 C．4x－y＝0或x＋y－5＝0 D．4x－y＝0或x－y＋3＝0 9．设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）若点在曲线上，且曲线在点处的切线的倾斜角为，则可以取（    ） A． B． C． D． 11．（多选）已知直线xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　) A．直线的倾斜角是π－α B．无论α如何变化，直线不过原点 C．直线的斜率一定存在 D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 12．（多选）下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 13．（多选）已知点，则下列命题正确的是（    ） A．过点且与线段有公共点的直线的斜率的取值范围为 B．过点且与直线平行的直线的方程为 C．过点且与直线垂直的直线的方程为 D．点关于直线的对称点的坐标为 14．已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 15．若直线l的一个方向向量为a＝，则直线l的倾斜角θ＝________． 16、用适当方法求下列直线的方程. （1） 直线的斜率为2，且经过点； （2） 斜率为，且在轴上的截距为4； （3） 经过，两点； （4） 过点，且在轴和轴上的截距互为相反数; （5） 已知直线的一个方向向量为，且过点. 17．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 18、已知直线. （1） 求证：直线过定点. （2） 若直线不经过第四象限,求实数的取值范围. （3） 若直线交轴的负半轴于点,交轴的正半轴于点,的面积为,求的最小值并求此时直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $