规范练49 直线的倾斜角与斜率、直线的方程--2027届高三数学一轮复习试题

**基本信息** 聚焦直线倾斜角、斜率及方程的系统性训练，通过基础巩固与综合提升结合，以题载法构建从概念到应用的逻辑链条，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|10题|倾斜角与斜率互化、直线方程（点斜式/截距式）应用、斜率范围结合正切函数图象分析|从倾斜角概念到斜率公式，再到直线方程形式，形成“概念-公式-应用”递进链条| |综合提升练|6题|直线夹角计算、平移规律、截距和最值、三点共线斜率关系|拓展至斜率综合应用，结合函数、几何知识，体现知识迁移与逻辑推理|

课时规范练49　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 (分值:84分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.(2025·四川眉山模拟)已知点A(4,2),B(1,),若向量是直线l的方向向量,则直线l的倾斜角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.已知直线l过点(m,3)和(3,2),且在x轴上的截距是1,则实数m等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.对方程=2表示的图形,下列叙述正确的是(　　) A.斜率为2的一条直线 B.斜率为-的一条直线 C.斜率为2的一条直线,且除去点(-3,6) D.斜率为-的一条直线,且除去点(-3,6) 4.已知A(2,-1),B(6,1),则在y轴上的截距是-3,且经过线段AB的中点的直线方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 5.已知直线l的斜率k∈[-1,],则l的倾斜角的取值范围为(　　) A.[] B.[] C.[0,]∪[,π) D.[0,]∪[,π) 6.如果ac<0且bc<0,那么直线ax+by+c=0不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.(多选题)若直线l与x轴交于点A,其倾斜角为α,直线l绕点A顺时针旋转后得到直线l1,则直线l1的倾斜角可能为(　　) A.α+ B.α+ C.α- D.-α 8.(多选题)已知直线3x+y-6=0,则该直线(　　) A.过点(3,-) B.斜率为- C.倾斜角为60° D.在x轴上的截距为-6 9.(多选题)已知△ABC的三个顶点A(3,2),B(-2,3),C(4,5),则下列说法正确的有(　　) A.直线AC的斜率为 B.直线AB的倾斜角为锐角 C.BC边的中点坐标为(1,4) D.BC边上的中线所在的直线方程为x+y-5=0 10.经过点(-2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程是　　　　　　　　　　　.  综合提升练 11.已知直线l1,l2的方程分别是y=x-1,y=kx-1,则当直线l1与l2的夹角θ满足0°<θ<15°时,实数k的取值范围是(　　) A.(0,) B.(,1)∪(1,) C.(1,) D.(1,2) 12.(2025·安徽马鞍山模拟)设点A(2,1),B(-2,3),若直线ax+y+1=0与线段AB没有公共点,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-1) B.(-2,1) C.(-1,2) D.(1,+∞) 13.(多选题)下列说法正确的有(　　) A.直线xsin α+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,]∪[,π) B.若A(-2,12),B(1,3),C(4,m)三点在一条直线上,则m=2 C.过点(1,2),且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程为x-y+1=0 D.直线l的方向向量为(-1,),则该直线的斜率为- 14.将直线l沿y轴的负方向平移a(a>0)个单位长度,再沿x轴正方向平移(a+1)个单位长度得直线l',此时l'与l重合,则直线l的斜率为　　　　　　.  15.已知直线kx-y+4-k=0在两坐标轴上的截距都是正值,当截距之和最小时,直线的方程为　　　　　　　　　.  16.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是函数y=x3的图象上任意三个不同的点,若A,B,C三点共线,则x1+x2+x3=　　　　　.  参考答案 课时规范练49　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1.A　解析 直线的斜率k=,所以直线l的倾斜角为30°.故选A. 2.D　解析 因为直线l在x轴上的截距是1,所以直线l过点(1,0). 又直线l过点(3,2),所以直线l的斜率k==1,所以直线l的方程为y-0=1(x-1),即直线l的方程为x-y-1=0. 又直线l过点(m,3),所以m-3-1=0,解得m=4.故选D. 3.C　解析 方程=2成立的条件为x≠-3,当x≠-3时,方程变形为y-6=2(x+3),由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线,但要除去点(-3,6).故选C. 4.B　解析 由中点坐标公式可得线段AB的中点为(4,0),故可知所求直线在x轴上的截距为4,故直线的方程为=1.故选B. 5.C　解析 设l的倾斜角为θ,则θ∈[0,π),且k=tan θ∈[-1,],如图,由正切函数图象的性质知θ∈[0,]∪[,π). 故选C. 6.C　解析 因为bc<0,所以b≠0,所以直线方程可化为y=-x-.因为ac<0且bc<0,所以a,b同号,b,c异号,从而有-<0,->0,所以直线的斜率为负,且在y轴上的截距为正,所以直线不经过第三象限. 7.BC　解析 因为直线的倾斜角的取值范围为[0,π),所以当≤α<π时,直线l1的倾斜角为α-.当0≤α<时,直线l1的倾斜角为π-(-α)=+α.故选BC. 8.AB　解析 对于A,当x=3时,3×3+y-6=0,∴y=-,∴直线过点(3,-),故A正确;对于B,由题意得,y=-x+2,∴该直线的斜率为-,故B正确;对于C,∵直线的斜率为-,∴直线的倾斜角为120°,故C错误;对于D,当y=0时,x=2,∴该直线在x轴上的截距为2,故D错误.故选AB. 9.CD　解析 对于A,直线AC的斜率为=3,故A错误;对于B,直线AB的斜率为=-<0,所以直线AB的倾斜角为钝角,故B错误;对于C,设BC边的中点为D(x0,y0),则x0==1,y0==4,即点D(1,4),故C正确;对于D,BC边上的中线AD所在的直线方程为,整理得x+y-5=0,故D正确.故选CD. 10.2x+y+2=0或x+2y-2=0　解析 由题意知,直线l在两坐标轴上的截距存在且不为零,故可设所求直线l的方程为=1(ab≠0),由已知可得解得所以直线l的方程为=1或=1,故直线l的方程为2x+y+2=0或x+2y-2=0. 11.B　解析 由题意可知,直线l1,l2都过定点(0,-1),直线l1的斜率为1,倾斜角为45°. 直线l1,l2的夹角θ满足0°<θ<15°,设直线l2的倾斜角α,则α+θ=45°或α-θ=45°,所以θ=45°-α或θ=α-45°,所以直线l2的倾斜角α满足45°-15°<α<45°或45°<α<45°+15°,即30°<α<45°或45°<α<60°,所以k=tan α∈(,1)∪(1,).故选B. 12.C　解析 可知直线ax+y+1=0的斜率为-a,且直线经过定点P(0,-1). 由点A(2,1),B(-2,3)可得直线PA,PB的斜率分别为kPA==1,kPB==-2, 如图,要使直线ax+y+1=0与线段AB没有公共点,需使kPB<-a<kPA,解得-1<a<2.故选C. 13.AD　解析 直线xsin α+y+2=0的斜率k=-sin α∈[-1,1],所以其倾斜角θ的取值范围为[0,]∪[,π),故A正确;若A(-2,12),B(1,3),C(4,m)三点在一条直线上,则直线AB的斜率等于直线BC的斜率,得⇒m=-6,故B错误;过点(1,2),且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l存在一条过原点,显然x-y+1=0不过原点,故C错误;直线l的方向向量为(-1,),则斜率k==-,故D正确.故选AD. 14.-　解析 设直线l上一点A(x,y),其沿y轴负方向平移a(a>0)个单位长度,再沿x轴正方向平移(a+1)个单位长度后的坐标为A'(x+a+1,y-a).因为平移后的点仍然在直线l上,所以直线l的斜率k==-. 15.2x+y-6=0　解析 直线kx-y+4-k=0可变形为k(x-1)-y+4=0,所以直线过定点P(1,4).令x=0,y=4-k,所以直线与y轴的交点为A(0,4-k),令y=0,x=1-,所以直线与x轴的交点为B(1-,0),由得k<0.所以4-k+1-=5+(-k)+(-)≥5+2=5+4=9,当且仅当-k=-且k<0,即k=-2时,等号成立,所以此时直线的方程为2x+y-6=0. 16.0　解析 ∵A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是函数y=x3的图象上任意三个不同的点,∴x1,x2,x3互不相等,且y1=,y2=,y3=. ∵A,B,C三点共线,∴kAB=kAC,即,∴,整理得+x1x2++x1x3+,即(x2-x3)(x1+x2+x3)=0,∵x2≠x3,∴x1+x2+x3=0. 学科网（北京）股份有限公司 $