02两直线的位置关系与距离公式讲义——2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦解析几何中两条直线的位置关系与距离公式核心考点，按判定（平行、垂直）、距离计算（两点间、点到直线、平行线间）、对称应用的逻辑层次构建知识体系，通过知识梳理、教材真题回归、考点方法指导及跟踪练习，系统帮助学生突破重点难点。 资料以回归教材为基础，结合分层练习设计，如在两直线垂直判定教学中，先对比斜截式与一般式归纳充要条件，再用教材习题巩固，培养数学思维与应用意识。通过结论总结与即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——02 两条直线的位置关系与距离公式 知识梳理： 1．两条直线平行与垂直的判定 斜截式 一般式 方程 ， , 相交 垂直 平行 且 或 重合 且 注意：(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况． (2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 2．两条直线的交点的求法 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组 的解． 3．三种距离 三种距离 条件 公式 两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) |AB|＝ 点到直线的距离 P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d d＝ 两平行线间的距离 直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为d d＝ 注意：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 4．常用结论 (1)2个充要条件 ①两直线平行的条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是：A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． ②两直线垂直的条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是：A1A2＋B1B2＝0. (2)6种常见对称 ①点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)； ②点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)； ③点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)； ④点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)； ⑤点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)； 回归教材： 【人教A版选择性必修一第2.1.2节例3】已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【人教A版选择性必修一第2.1.2节例5】已知，，三点，试判断的形状． 【人教A版选择性必修一第2.1.2节练习第2题】试确定m的值，使过，两点的直线与过，两点的直线. （1）平行；（2）垂直． 【人教A版选择性必修一习题2.1第10题】已知四边形ABCD的四个顶点是，，，，求证：四边形ABCD为矩形． 【人教A版选择性必修一第2.2.1节例2】已知直线，，试讨论：（1）的条件是什么？（2）的条件是什么？ 【人教A版选择性必修一第2.3.1节例2】判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： （1），； （2），； （3），． 【人教A版选择性必修一第2.3.1节练习第3题】直线l经过原点，且经过直线与直线的交点，求直线l的方程． 【人教A版选择性必修一第2.3.2节例3】 已知点，，在x轴上求一点P，使，并求的值． 【人教A版选择性必修一第2.3.2节例4】 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 【人教A版选择性必修一第2.3.3节例6】 已知的三个顶点分别是，，，求的面积． 【人教A版选择性必修一第2.3.3节练习第3题】 已知点到直线的距离为1，求C的值． 【人教A版选择性必修一第2.3.4节例8】 求证：两条平行直线与间的距离为． 【人教A版选择性必修一第2.3.4节练习第3题】如图，已知直线与直线，在上任取一点A，在上任取一点B，连接AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过点C作的平行线，求与间的距离． 【人教A版选择性必修一习题2.3第2题】求满足下列条件的直线的方程． （1）经过两条直线和交点，且垂直于直线； （2）经过两条直线和的交点，且平行于直线； 【人教A版选择性必修一习题2.3第8题】的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是与，过的两条对角线的交点作与AB所在直线的平行线l，求l与CD所在直线的距离． 【人教A版选择性必修一习题2.3第9题】三条直线，与相交于一点，求a的值． 【人教A版选择性必修一习题2.3第10题】已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为．求： （1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程． 【人教A版选择性必修一习题2.3第11题】在x轴上求一点P，使以，和P为顶点的三角形的面积为10． 【人教A版选择性必修一习题2.3第12题】已知AO是边BC的中线，用坐标法证明． 【人教A版选择性必修一习题2.3第13题】已知点到直线的距离d分别为下列各值： （1）； （2）．求a的值． 【人教A版选择性必修一习题2.3第14题】已知点到直线的距离相等，求得值． 【人教A版选择性必修一习题2.3第15题】的四条边所在直线的方程分别是，，，，求的面积． 考点梳理： 例．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例、“”是“直线与直线互相垂直”的( ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 例、已知两条平行直线和间的距离为，则( ) A. , B. , C. , D. , 例．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为__________． 例、已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________． 例．已知直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________． 例、若过点作直线，使它被直线和截得的线段被点平分，则直线的方程为 _． 例、【人教A版选择性必修一复习参考题2第11题】过点P(3,0)作一条直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0间的线段AB恰好被点P平分，求此直线的方程． 例、【人教A版选择性必修一复习参考题2第12题】已知直线和，两点，若直线l上存在点P使得最小，求点P的坐标． 例、【人教A版选择性必修一复习参考题2第10题】求点到直线（为任意实数）的距离的最大值． 例、已知直线,点.求: （1） 点关于直线的对称点的坐标; （2） 直线关于直线的对称直线的方程; （3） 直线关于点的对称直线的方程. 例、【人教A版选择性必修一习题2.3第16题】已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？ 例、已知直线(3a－1)x－(a－2)y－1＝0. (1)求证：无论a为何值，直线总过第一象限； (2)若直线不经过第二象限，求a的取值范围． 小结： 1、两直线位置关系的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在 ①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在 若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合． (3)巧用直线的方向向量或法向量判断两直线的位置关系可以避免不必要的讨论． 2、共点直线系中定点的求解方法 (1)分离参数，假设直线方程中含有的参数为k，则将直线方程化为f(x，y)＋kg(x，y)＝0的形式． (2)解方程组若方程组有解，则可得定点坐标；若方程组无解，则说明直线不过定点． 3、求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. 4、利用距离公式解题的注意点 （1）点到直线的距离，到直线的距离； （2）在应用两平行线间的距离公式时要把两直线方程中,的系数分别化为相等的系数. 跟踪练习： 1．已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 2．若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝(　　) A．4 B．2 C． D． 3．四边形ABCD的四个顶点是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD为(　　) A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 4、直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为(　　) A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0 C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0 5．已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 7．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，已知，，分别为直线和轴上的两个动点，则当周长取得最小值时，点，的坐标分别为( C ). A. ， B. ， C. ， D. ， 8．已知直线l：x＋my－2m－1＝0，则点P(2，－1)到直线l距离的最大值为(　　) A． B． C．5 D．10 9．已知直线恒过定点E，直线恒过定点F，且直线与交于点P，则点P到x轴的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．的三个顶点坐标分别为，，，下列说法中正确的是（   ） A．边与直线平行 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点A且平行于的直线方程为 11．（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若 ，则 12．（多选）已知直线，其中，则（    ） A．直线过定点 B．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 C．当时，直线与直线垂直 D．若与平行，则这两条平行直线之间的距离为1 13．（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 14．已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，则两条平行直线之间的距离的最大值为________，此时两条平行直线的方程分别为______________． 15．设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为________． 16．已知直线与直线的交点为M． (1)求过点和点M的直线方程； (2)求过点M，且与垂直的直线方程． 17.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A的对称直线l′的方程． 18．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0. (1)求顶点C的坐标； (2)求△ABC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——02 两条直线的位置关系与距离公式 知识梳理： 1．两条直线平行与垂直的判定 斜截式 一般式 方程 ， , 相交 垂直 平行 且 或 重合 且 注意：(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况． (2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 2．两条直线的交点的求法 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组 的解． 3．三种距离 三种距离 条件 公式 两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) |AB|＝ 点到直线的距离 P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d d＝ 两平行线间的距离 直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为d d＝ 注意：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 4．常用结论 (1)2个充要条件 ①两直线平行的条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是：A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． ②两直线垂直的条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是：A1A2＋B1B2＝0. (2)6种常见对称 ①点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)； ②点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)； ③点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)； ④点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)； ⑤点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)； 回归教材： 【人教A版选择性必修一第2.1.2节例3】已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明． 解：如图，由已知可得边所在直线的斜率，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率，边所在直线的斜率．因为，， 所以，．因此四边形是平行四边形． 【人教A版选择性必修一第2.1.2节例5】已知，，三点，试判断的形状． 分析：如图2.1-10，猜想，是直角三角形． 解：边所在直线的斜率，边在直线的斜率．由，得，即．所以是直角三角形． 【人教A版选择性必修一第2.1.2节练习第2题】试确定m的值，使过，两点的直线与过，两点的直线. （1）平行；（2）垂直． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用直线平行斜率相等即可求解. （2）利用直线垂直斜率乘积等于即可求解. 【详解】过，两点的直线斜率， 当时，直线的斜率不存在，此时直线与直线即不平行也不垂直； 当时，过，两点的直线斜率， （1）当两直线平行时，则，解得. （2）当两直线垂直时，则，解得. 【人教A版选择性必修一习题2.1第10题】已知四边形ABCD的四个顶点是，，，，求证：四边形ABCD为矩形． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】根据点的坐标计算出四边形四条边所在直线的斜率，然后根据斜率的值判断垂直关系，由此证明为矩形. 【详解】因为四个点的横坐标各不相等，所以四边形四条边所在直线的斜率都存在， 所以，，，，所以，， ，所以四边形四条边两两垂直，所以四边形四个内角都为， 所以四边形是矩形. 【人教A版选择性必修一第2.2.1节例2】已知直线，，试讨论：（1）的条件是什么？（2）的条件是什么？ 分析：回顾前面用斜率判断两条直线平行､垂直的结论，可以发现或时，，与，应满足的关系. 解：（1）若，则，此时，与y轴的交点不同，即；反之，若，且，则. （2）若，则；反之，若，则. 【人教A版选择性必修一第2.3.1节例2】判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： （1），； （2），； （3），． 分析：解直线，的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则与相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则与重合． 解：（1）解方程组得所以，与相交，交点是． （2）解方程组 得，矛盾，这个方程组无解，所以与无公共点，． （3）解方程组，得 ①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，与重合． 【人教A版选择性必修一第2.3.1节练习第3题】直线l经过原点，且经过直线与直线的交点，求直线l的方程． 【答案】 【解析】 【分析】经过直线与直线的交点的直线可设为： ，把代入求出，即可得到直线方程. 【详解】经过直线与直线的交点的直线可设为： ，把代入，得：，解得：， 所以，所求的直线方程为：. 【人教A版选择性必修一第2.3.2节例3】 已知点，，在x轴上求一点P，使，并求的值． 解：设所求点，则， ．由，得：．解得． 所以，所求点为，且． 【人教A版选择性必修一第2.3.2节例4】 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 分析：首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系． 证明：如图，四边形是平行四边形．以顶点A为原点，边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 在▱中，点A坐标是，设点B的坐标为，点D的坐标为，由平行四边形的性质，得点C的坐标为．由两点间的距离公式，得，，，．所以，． 所以，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 【人教A版选择性必修一第2.3.3节例6】 已知的三个顶点分别是，，，求的面积． 分析：由三角形面积公式可知．只要利用距离公式求出边的长和边上的高即可． 解：如图2.3-7，设边上的高为h，则．． 边上的高h就是点C到直线的距离．边所在直线l的方程为，即． 点到直线的距离，因此，． 【人教A版选择性必修一第2.3.3节练习第3题】 已知点到直线的距离为1，求C的值． 【答案】15或5 【分析】直接利用点到直线距离公式列方程求解即可. 【详解】点到直线的距离为，即， 故，即或 【人教A版选择性必修一第2.3.4节例8】 求证：两条平行直线与间的距离为． 分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离． 证明：在直线上任取一点，点到直线的距离就是这两条平行直线间的距离，即|．因为点在直线上，所以，即，因此． 【人教A版选择性必修一第2.3.4节练习第3题】如图，已知直线与直线，在上任取一点A，在上任取一点B，连接AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过点C作的平行线，求与间的距离． 【答案】 【解析】 【分析】过A做于D，交于E，根据三角形相似及题干条件，可得，利用两平行线间距离公式，可得与间的距离AD，进而可求与间的距离AE. 【详解】过A做于D，交于E，如图所示： 因为，且由题意得，所以，所以， 又直线与间的距离，所以求与间的距离. 【人教A版选择性必修一习题2.3第2题】求满足下列条件的直线的方程． （1）经过两条直线和交点，且垂直于直线； （2）经过两条直线和的交点，且平行于直线； 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程求得两直线交点，由直线与直线垂直求得斜率，代入直线方程的点斜式得答案； （2）联立两直线方程求得两直线交点，由直线与直线平行求得斜率，代入直线方程的点斜式得答案 【详解】（1）联立，解得， 所以，两条直线和的交点为， 又直线的斜率为，故所求直线方程为，即； （2）联立，解得，所以，两条直线和的交点坐标为， 又直线的斜率为，故所求直线方程为，即. 【点睛】结论点睛：已知直线的一般方程为. （1）与直线平行的直线的方程可设为； （2）与直线垂直的直线的方程可设为. 【人教A版选择性必修一习题2.3第8题】的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是与，过的两条对角线的交点作与AB所在直线的平行线l，求l与CD所在直线的距离． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行求得过点O且与AB所在直线平行的直线l方程，然后利用平行线间距离公式求解即可. 【详解】由题意，设平行四边形ABCD两对角线的交点为点O.由平行四边形性质，点O到这组对边AB和CD所在直线的距离相同,则过点O且与AB所在直线平行的直线l方程为:， 即;所以由两平行线距离公式可得直线l与CD所在直线的距离为:， 综上，直线l与CD所在直线的距离为. 【人教A版选择性必修一习题2.3第9题】三条直线，与相交于一点，求a的值． 【答案】a＝﹣1 【解析】 【分析】联立直线4x+3y＝10与2x﹣y＝10，求出交点坐标，再代入直线ax+2y+8＝0，即可求得a的值． 【详解】解方程组，得，∴交点坐标为：（4，﹣2），代入直线ax+2y+8＝0， 得4a﹣4+8＝0，∴a＝﹣1． 【人教A版选择性必修一习题2.3第10题】已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为．求： （1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据直线AC与直线BH垂直，斜率乘积为-1，得到，从而利用点斜式求出直线AC方程，与CM所在直线联立求出点C坐标；（2）先设出点的坐标为，利用中点坐标公式表达出点坐标，再把B点坐标代入BH所在直线，求出，从而求出点B坐标，结合第一问求解的点C的坐标，求出直线BC的方程 【小问1详解】因为边AC上的高BH所在直线方程为，∴ ，且 ∴，∵的顶点，∴直线AC方程：，即 与联立， ，解得：，所以顶点C的坐标为 【小问2详解】因为CM所在直线方程为故设点的坐标为 因为是中点，所以，因为在BH所在直线上，所以，解得：所以点坐标为， 由第一问知：C的坐标为，故直线BC的方程为，整理得：。 【人教A版选择性必修一习题2.3第11题】在x轴上求一点P，使以，和P为顶点的三角形的面积为10． 【答案】或. 【解析】 【分析】首先设出点的坐标，利用面积公式，直接求解. 【详解】设，，直线方程是，即，点到直线的距离，，， 解得或，所以点或. 【人教A版选择性必修一习题2.3第12题】已知AO是边BC的中线，用坐标法证明． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】结合图形，设A、B、C三点的坐标，再根据题意和点点的距离公式即可证明. 【详解】取BC边所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图 设，(其中)，则 ， 所以，即证. 【人教A版选择性必修一习题2.3第13题】已知点到直线的距离d分别为下列各值： （1）； （2）．求a的值． 【答案】（1）a＝2或a；（2）a或a<2 【解析】 【分析】（1）由点到直线的距离公式可得4，解方程可得； （2）由点到直线的距离公式可得4，解不等式可得． 【详解】（1）直线方程可化为3x﹣4y﹣2＝0， 由点到直线的距离公式可得4，解得a＝2或a； （2）由点到直线的距离公式可得4，解得a或a<2 【人教A版选择性必修一习题2.3第14题】已知点到直线的距离相等，求得值． 【答案】 【分析】利用点到直线距离公式列出关于a的方程求解即可． 【解析】∵点到直线的距离相等， ，。 【人教A版选择性必修一习题2.3第15题】的四条边所在直线的方程分别是，，，，求的面积． 【答案】9 【解析】 【分析】先求得点B,C,D坐标，由点到的距离及的长即可求得的面积． 【详解】由，，联立求得交点，由，，联立得交点，由，联立得交点， 由点到的距离， ，故. 考点梳理： 例．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件. 例、“”是“直线与直线互相垂直”的( ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A [解析] 直线与直线互相垂直, ，或， 而“”是“或”的充分不必要条件， “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选. 例、已知两条平行直线和间的距离为，则( ) A. , B. , C. , D. , 【答案】B [解析]由两直线平行得，解得，再由平行线间的距离公式得.故选. 例．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为__________． 答案：4x－3y＋9＝0 解析：解法一：由方程组解得即交点为，因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直线的斜率为k＝.由点斜式得，所求直线方程为y－＝，即4x－3y＋9＝0. 解法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，由方程组可解得交点为，代入4x－3y＋m＝0，得m＝9，故所求直线方程为4x－3y＋9＝0. 解法三：由题意知直线x－3y＋4＝0不满足条件，设所求直线方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0　①，又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以λ＝2，代入①式得，所求直线方程为4x－3y＋9＝0. 例、已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________． 答案：0或1 解析：解法一：l1的斜率k1＝＝a.当a≠0时，l2的斜率k2＝＝.因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1.当a＝0时，得P(0，－1)，Q(0，0)，这时直线l2为y轴，A(－2，0)，B(1，0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上，实数a的值为0或1. 解法二：＝(3，3a)，＝(a，1－2a)，由⊥可知·＝3a＋3a－6a2＝0，解得a＝0或1. 例．已知直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________． 答案：4x－y－2＝0或x＝1 解析：若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，由题设有＝，即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4，此时直线方程为4x－y－2＝0；若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题设条件．故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1. 例、若过点作直线，使它被直线和截得的线段被点平分，则直线的方程为 ． 【答案】 [解析]设与的交点为，则由题意知，点关于点的对称点在上，将代入的方程得，解得，即点在直线上，因为点也在直线上，所以利用两点式可得直线的方程为. 例、【人教A版选择性必修一复习参考题2第11题】过点P(3,0)作一条直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0间的线段AB恰好被点P平分，求此直线的方程． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设出直线l1上的一点P1，求出P1关于点P的对称点P2；由P2在直线l2上，求出点P1，即得所求的直线方程． 【详解】方法一：　若直线AB无斜率，则其方程为x＝3， 它与两直线的交点分别为(3,4)，(3，－6)，这两点的中点为(3，－1)不是点P，不合题意． 所以直线AB必有斜率，设为k(k≠2且k≠－1)，则直线AB的方程为y＝k(x－3)． 由解得y1＝,由解得y2＝. 据题意＝0，即＋＝0，解得k＝0或8. 当k＝0时，它与两直线的交点分别为(1,0)，(－3,0)，这两点的中点并不是点P，不符合题意，舍去． 当k＝8时，它与两直线的交点分别为(，)，(，－)，这两点的中点是点P，符合题意． ∴直线AB的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 方法二： 在直线上， 把代入方程 ，解得 ， ， 即直线方程为：. 例、【人教A版选择性必修一复习参考题2第12题】已知直线和，两点，若直线l上存在点P使得最小，求点P的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】先判断两点是在直线同侧还是异侧，再求关于直线的对称点得解 【详解】因为，所以在直线同侧，设点关于直线对称的点坐标为，则，即，可知，即三点共线时，最小，连接交直线于点，点即为所求，直线方程，联立求得P点坐标. 例、【人教A版选择性必修一复习参考题2第10题】求点到直线（为任意实数）的距离的最大值． 【答案】 【解析】 【分析】将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，再利用两点间的距离公式计算可得． 【详解】∵直线， ∴可将直线方程变形为， ∴，解得， 由此可得直线系恒过点，则P到直线l的最近距离为A，此时直线过P． P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA．∴． 例、已知直线,点.求: （1） 点关于直线的对称点的坐标; （2） 直线关于直线的对称直线的方程; （3） 直线关于点的对称直线的方程. [解析]（1）设，由已知条件得解得所以. （2）在直线上取一点，则关于直线的对称点必在直线上. 设对称点，则，解得. 设直线与直线的交点为，联立得. 又直线经点，所以由两点式得到直线的方程为. （3）（法一）在直线上取，两点，则，关于的对称点，均在直线上，易得，，再由两点式可得直线的方程为. （法二）因为， 所以设直线的方程为.又因为点到两直线，的距离相等，所以由点到直线的距离公式得，,解得， 所以直线的方程为. 例、【人教A版选择性必修一习题2.3第16题】已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？ 【答案】直线，过定点 【解析】 【分析】此方程为过与的直线系方程. 【详解】因为方程化简得： 为任意实数，方程表示直线.因为， 所以当，直线恒成立，故直线过定点. 例、已知直线(3a－1)x－(a－2)y－1＝0. (1)求证：无论a为何值，直线总过第一象限； (2)若直线不经过第二象限，求a的取值范围． 解：(1)证明：直线方程可化为(－x＋2y－1)＋a(3x－y)＝0. 由得所以直线恒过定点M. 因为点M在第一象限，所以无论a为何值，直线总过第一象限． (2)当a＝2时，直线方程为x＝，显然不经过第二象限； 当a≠2时，直线方程化为y＝x－. 因为直线不经过第二象限，所以解得a>2. 综上，a的取值范围为[2，＋∞)． 小结： 1、两直线位置关系的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在 ①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在 若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合． (3)巧用直线的方向向量或法向量判断两直线的位置关系可以避免不必要的讨论． 2、共点直线系中定点的求解方法 (1)分离参数，假设直线方程中含有的参数为k，则将直线方程化为f(x，y)＋kg(x，y)＝0的形式． (2)解方程组若方程组有解，则可得定点坐标；若方程组无解，则说明直线不过定点． 3、求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. 4、利用距离公式解题的注意点 （1）点到直线的距离，到直线的距离； （2）在应用两平行线间的距离公式时要把两直线方程中,的系数分别化为相等的系数. 跟踪练习： 1．已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合.故选：A 2．若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝(　　) A．4 B．2 C． D． 答案：A 解析：直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点满足解得由于该点在直线y＝kx上，故＝，解得k＝4.故选A. 3．四边形ABCD的四个顶点是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD为(　　) A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 答案：D 解析：由kBC＝＝，kAD＝＝，kAB＝＝－，kCD＝＝－，∵kBC＝kAD，kAB≠kCD，∴BC∥AD，AB与CD不平行，∴四边形ABCD为梯形，又kAD·kAB＝－1，∴AD⊥AB，∴四边形ABCD为直角梯形． 4、直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为(　　) A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0 C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0 答案：B 解析：解法一：设所求直线上任意一点为(x，y)，则其关于点对称的点为，因为点在直线3x－2y＝0上，所以3－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，所以所求直线方程为3x－2y－2＝0. 解法二：在直线3x－2y＝0上任取两点O(0，0)，M(2，3)，设O，M关于点的对称点分别为O′，M′，则O′，M′，所以所求直线方程为＝，即3x－2y－2＝0. 5．已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，设直线的方程为，再结合点到直线的距离公式列不等式求解即可. 【详解】由题意，直线过点，且原点到直线的距离， 则直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，由，则，解得或， 又，则的取值范围是. 6．若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【详解】直线与直线的方程相减， 可得，把点代入，可得， 所以，又是线段AB的中点，所以线段AB的垂直平分线的方程是， 即. 7．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，已知，，分别为直线和轴上的两个动点，则当周长取得最小值时，点，的坐标分别为( C ). A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C [解析]如图，作关于轴的对称点，作关于直线的对称点，连接交轴于，交于， 所以,，此时的周长最小，即， 因为，直线的方程为， 所以解得 所以， 所以直线的方程为， 即，由 解得，所以， 令，得，所以,.故选. 8．已知直线l：x＋my－2m－1＝0，则点P(2，－1)到直线l距离的最大值为(　　) A． B． C．5 D．10 答案：B 解析：直线l：x＋my－2m－1＝0，即x－1＋m(y－2)＝0，由得所以直线l过定点A(1，2)，当直线l垂直于直线AP时，距离最大，此时最大值为|AP|＝ ＝.故选B. 9．已知直线恒过定点E，直线恒过定点F，且直线与交于点P，则点P到x轴的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点E、F坐标，分析可得，可得点P在以为直径的圆上移动，求出圆心和半径，根据直线与圆的位置关系，分析即可得答案. 【详解】直线恒过，直线化为，恒过. 当时，，，此时，当时，，斜率为m， 直线，变形为，斜率为，所以， 所以点P在以为直径的圆上，圆心，半径， 所以点P到x轴距离的最大值为.故选：B 10．的三个顶点坐标分别为，，，下列说法中正确的是（   ） A．边与直线平行 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点A且平行于的直线方程为 【答案】BD 【分析】由直线斜率判断A，求出相应的直线方程判断BCD． 【详解】直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，A错； 边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，B正确； 过且在两坐标轴上的截距相等的直线过原点时方程为，C错； 因为，直线的斜率为，所以过点A且平行于的直线方程为, 即，D正确.故选:BD． 11．（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．可能垂直于轴 B．可能垂直于轴 C．若，则 D．若 ，则 【答案】BC 【分析】根据直线平行的条件、直线垂直的条件逐项判断即可. 【详解】对于A，因为直线，的系数不为0，所以不垂直于轴，A错误； 对于B，当时，，与轴垂直，B正确；对于C，当时，.因为直线的斜率均为且不重合，所以两直线平行，C正确；对于D，因为，所以，解得或.当时，由C选项知两直线是平行的；当时，，斜率均为，且两直线不重合，所以两直线平行.故时或，D错误； 故选：BC. 12．（多选）已知直线，其中，则（    ） A．直线过定点 B．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 C．当时，直线与直线垂直 D．若与平行，则这两条平行直线之间的距离为1 【答案】AC 【分析】根据直线的性质以及直线间的位置关系判断每一个选项即可. 【详解】由直线方程，若，即直线过定点，所以选项A正确； 时，，令则，令则，显然截距不相等，故选项错误； 时，斜率为1，而斜率为，显然斜率乘积为，所以直线与直线垂直，故选项正确；若直线与直线平行，即，则两条平行直线之间的距离，所以选项D错误.故选： 13．（多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由直线方程可得直线恒过定点可判断AB；由两直线垂直的充要条件可判断C；由基本不等式可判断D. 【详解】对于A，直线恒过定点，故A正确， 对于B，因为，所以直线恒过定点，故B错误； 对于C，又因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，在直角三角形中，由勾股定理可得： ，所以，当且仅当时取等，故D正确.故选：ACD. 14．已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，则两条平行直线之间的距离的最大值为________，此时两条平行直线的方程分别为______________． 答案：3　3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0 解析：两条平行直线分别过点A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，当AB与两条平行直线垂直时，两条平行直线之间的距离最大，为|AB|＝＝3，故这两条平行直线之间的距离的最大值为3.因为直线AB的斜率kAB＝＝，故这两条平行直线的斜率为－3，则两条平行直线的方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 15．设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为________． 答案：2x－y－5＝0 解析：∵∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，∴直线AB与直线BC关于直线x＝0对称，直线AC与直线BC关于直线y＝x对称．点A(－3，1)关于直线x＝0的对称点A′(3，1)在直线BC上，点A(－3，1)关于直线y＝x的对称点A″(1，－3)也在直线BC上．由两点式，得所求直线BC的方程为2x－y－5＝0. 16．已知直线与直线的交点为M． (1)求过点和点M的直线方程； (2)求过点M，且与垂直的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立两直线方程，可求出交点M的坐标，进而可得直线AM的斜率，代入点斜式方程，即可得答案. （2）根据两直线的位置关系，可得与垂直的直线的斜率k，代入点斜式方程，即可得答案. 【详解】（1）联立两直线方程，解得，即交点， 又，则，所以直线AM的方程为，即. （2）直线变形为，斜率，则与垂直的直线斜率， 则过点M，且与垂直的直线方程为，即. 17.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A的对称直线l′的方程． 解：(1)设A′(x，y)，由已知条件得解得∴A′. (2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上． 设对称点M′(a，b)，则得M′. 设直线m与直线l的交点为N，由得N(4，3)．又m′经过点N(4，3)， ∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. (3)解法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称 点P′，Q′均在直线l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)， 再由两点式可得直线l′的方程为2x－3y－9＝0. 解法二：∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得＝，解得C＝－9， ∴直线l′的方程为2x－3y－9＝0. 解法三：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)． ∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0. 18．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0. (1)求顶点C的坐标； (2)求△ABC的面积． 解：(1)设C(m，n)，因为直线AC与直线BH垂直，且点C在直线2x－y－5＝0上， 所以解得故C(4，3)． (2)设B(a，b)，由题意知，M，所以解得，即B(－1，－3)． kBC＝＝，直线BC：y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.|BC|＝＝， 点A到直线BC的距离d＝＝，所以S△ABC＝××＝8. 学科网（北京）股份有限公司 $