2.3 直线的交点坐标与距离公式-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦直线交点、距离公式及三角形形状判断，以题载法构建“概念-运算-应用”递进体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线交点坐标问题|10题|联立方程求交点、垂直斜率关系、定点问题参数分离|从基础交点计算到含参数讨论，构建代数运算与几何位置关系的转化逻辑| |平面两点间的距离问题|6题|两点距离公式直接应用、反射距离对称转化|从直接计算到实际情境（光线反射），强化几何度量的数学表达| |三角形形状判断|3题|边长关系判定（勾股定理）、斜率关系证垂直|综合交点与距离知识，实现代数运算到几何性质的推理应用|

2.3 直线的交点坐标与距离公式 知识点一 直线交点坐标问题 1．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 2．若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 4．已知直线与直线的交点为M． (1)求过点和点M的直线方程； (2)求过点M，且与垂直的直线方程． 5．已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 6．已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 7．若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知三条直线与相交于一点，则___________. 9．无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 10．已知是，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 、 知识点二 平面两点间的距离问题 11．已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 12．从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 13．点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 15．已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______． 16．已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为____________． 知识点三 由顶点坐标判断三角形的形状 17．已知的三个顶点，，，则的形状为______． 18．已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为______；的面积为______. 19．已知，以及点，则的面积为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 7 9 10 11 12 13 14 答案 B D D D B B D C C 1．B 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 2．D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 3．(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标； （2）先求出点C的坐标，进而可求解. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 4．(1) (2) 【分析】（1）联立两直线方程，可求出交点M的坐标，进而可得直线AM的斜率，代入点斜式方程，即可得答案. （2）根据两直线的位置关系，可得与垂直的直线的斜率k，代入点斜式方程，即可得答案. 【详解】（1）联立两直线方程，解得，即交点， 又，则， 所以直线AM的方程为，即. （2）直线变形为，斜率， 则与垂直的直线斜率， 则过点M，且与垂直的直线方程为，即. 5．(1)，且，且 (2) 【分析】（1）由求解； （2）过定点，又因为也经过点，代入求解，要注意检验． 【详解】（1）依题意，得， 得， 得，且，且． （2）， 得，得， 得过定点，又因为也经过点， 得，得． 当时，与重合，故舍去， 故． 6．(1) (2) 或或或 【分析】（1）利用两直线垂直的一般式系数关系直接求解； （2）不能围成三角形分三线共点、至少两条直线平行两类情况分类讨论求解 【详解】（1）对于直线和，垂直的充要条件为， 代入、的系数得： ，解得 （2）三条直线不能围成三角形分两类： ① 三线共点：联立和的方程，解得交点为， 代入得： ，化简得，解得或； ② 存在平行直线：若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，即，无实根，不存在符合条件的， 综上，的取值为、、、. 7．D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 8． 【分析】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解. 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 9．D 【分析】把直线都过一个定点转化为求直线和直线的交点，联立方程组即可求解. 【详解】直线方程可化为，则此直线过直线和直线的交点．由解得因此所求定点为． 故选：D． 10．B 【解析】把整理成，根据方程特点可得答案. 【详解】由得， 对于总成立， ，所以， 即总经过点是. 故选：B. 11．B 【分析】由题意求出中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 12．D 【分析】由光的反射原理可知，点关于轴的对称点到点的距离即为光线从到所经过的路程. 【详解】由光的反射原理可知，可作点关于轴的对称点，连接， 则，光线从到所经过的路程为. 故选：D. 13．C 【分析】应用两点的距离公式求距离即可. 【详解】由题意. 故选：C 14．C 【分析】利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 15．或 【分析】根据题意设，再利用两点间的距离公式即可求出的值，从而得到点的坐标． 【详解】点在轴上，设， 点与点的距离等于13， ，解得或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 16．或 【分析】代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 17．等腰直角 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 18． 直角三角形 5 【分析】根据两点距离公式，结合勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式进行求解即可. 【详解】因为， ，， 所以，即是以A为直角顶点的直角三角形． 由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以. 故答案为：直角三角形； 19．3 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】,, , , ， 故答案为：3 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $