2027届高考数学一轮复习----2第二节　直线的交点坐标与距离公式

**基本信息** 聚焦直线交点与距离公式，通过对称转化、恒过定点等方法体系，构建从基础概念到综合应用的知识逻辑，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|14题|对称点法、平行距离公式、直线垂直条件、恒过定点参数分离法|从直线位置关系（平行/垂直）到距离计算，再到对称问题，形成“概念-公式-应用”链条| |素养提升|2题|反射光线对称转化法、数形结合求最值|结合实际情境，拓展距离公式的几何意义，体现数学思维的严谨性与创新性|

微练(六十二)　直线的交点坐标与距离公式 　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.已知点P(1,2)在直线l上,直线l1与l关于点(0,1)对称,则一定在直线l1上的点为(　　) A. B. C. (-1,0) D. (1,0) 2.(2026·石家庄模拟)若直线l1:x-2y+1=0与直线l2:x+ay-1=0平行,则l1与l2间的距离为(　　) A. B. C. D. 3.若曲线y=f(x)=2sin x+2 026在点处的切线与直线y=ax+2 026垂直,则实数a等于(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.若直线kx-y=k-1与直线ky-x=2k相交且交点在第二象限内,则k的取值范围为(　　) A.(1,+∞) B. C. D. 5.已知从点(5,2)发出的一束光线,经x轴反射后,反射光线恰好过点(1,2),则入射光线所在的直线方程为(　　) A.x-y-3=0 B.x+y-7=0 C.x-y+3=0 D.x+y-3=0 6.点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离最大时,其最大值以及此时直线l的方程分别为(　　) A.;x+y-2=0 B.;3x+y-4=0 C.;3x+2y-5=0 D.;2x-3y+1=0 7.(2026·成都模拟)已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,且有一点D满足CD⊥AB,CB∥AD,则D点的坐标为(　　) A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1) 8.已知直线l1:x-my+1=0过定点A,直线l2:mx+y-m+3=0过定点B,l1与l2相交于点P,则|PA|2+|PB|2=(　　) A.10 B.13 C.16 D.20 二、多项选择题 9.已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,则下列说法正确的是(　　) A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直 B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0 C.直线l过定点(0,1) D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等 10.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A.y=x+1 B.y=2 C.y=x D.y=2x+1 11.(2026·眉山模拟)已知直线l:2x-y+3=0,点R(0,2),P(1,1),Q(1-m,m),m∈R,下列说法正确的是(　　) A.点P到直线l的距离为 B.若点P与点Q位于直线l的两侧,则m> C.点P与点Q之间距离的最小值为 D.|QR|+|QP|的最小值为2 三、填空题 12.已知△ABC的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A的坐标为　　　　.  13.已知点P1(2,3),P2(-4,5)和A(-1,2),则过点A且与点P1,P2距离相等的直线方程为　　　　　　　　.   14.已知光线从点A(6,1)射出,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的点C,再被y轴反射,这时反射光线恰好经过点D(4,4),则CD所在直线的方程为　　　　　　　　.    素养提升 15.著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂分家万事休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点,可得函数y=-的最大值为(　　) A.10 B.2 C. D.7+ 16.(2026·资阳模拟)已知点M(3,5),在直线l:x-2y+2=0和y轴上各找一点P和Q,则△MPQ的周长的最小值为　　　　.    微练(六十二)　直线的交点坐标与距离公式 1.C　解析　由题意设P(1,2)关于点(0,1)对称的点为(x,y),则该点必在l1 上,所以 即点(-1,0)一定在直线l1 上. 2.B　解析　直线l1的斜率为,则直线l2的斜率为-=,即a=-2,故直线l2:x-2y-1=0,所以l1和l2间的距离为=. 3.B　解析　函数f(x)=2sin x+2 026,求导得f'(x)=2cos x,因此曲线在点处的切线斜率为k=f'=1,而切线与直线y=ax+2 026垂直,所以a=-=-1. 4.C　解析　若直线kx-y=k-1与直线ky-x=2k平行或重合,则k2-1=0,解得k=±1,若直线kx-y=k-1与直线ky-x=2k相交,可得k≠1且k≠-1.联立方程,由题意可得解得0<k<.综上所述,k的取值范围为.故选C. 5.A　解析　(1,2)关于x轴的对称点为(1,-2),又(1,-2)与(5,2)在同一条直线上,运用两点式得到入射光线所在的直线方程为=,整理得x-y-3=0.则入射光线所在的直线方程为x-y-3=0. 6.C　解析　直线l的方程可整理为λ(3x+y-4)+x+y-2=0,令所以直线l恒过点A(1,1),由题意得当PA垂直直线l时,点P到直线l的距离最大,最大为|PA|==,kPA==,所以直线l:y-1=-(x-1),整理得3x+2y-5=0.故选C. 7.D　解析　设D(x,y),则kCD==,kAD=.由题意得kAB==3,kCB==-2,因为CD⊥AB,CB∥AD,所以即D(0,1). 8.B　解析　因为1×m+(-m)×1=0,所以直线l1与直线l2互相垂直且垂足为点P,又因为直线l1:x-my+1=0过定点A(-1,0),直线l2:mx+y-m+3=0,即m(x-1)+y+3=0过定点B(1,-3),所以在Rt△APB中,|PA|2+|PB|2=|AB|2=[1-(-1)]2+(-3-0)2=13,故选B. 9.AC　解析　对于A,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与x+y=0垂直,正确;对于B,若直线l与直线x-y=0平行,可知(a2+a+1)·(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,不正确;对于C,当x=0时,有y=1,所以直线过定点(0,1),正确;对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,在x轴,y轴上的截距分别是-1,1,不正确. 10.BC　解析　由题意知,当点M到直线的距离不超过4时,符合要求.对于A,点M(5,0)到直线y=x+1的距离为=3>4,故不符合;对于B,点M(5,0)到直线y=2的距离为2-0=2<4,故符合;对于C,点M(5,0)到直线y=x的距离为=4,故符合;对于D,点M(5,0)到直线y=2x+1的距离为=>4,故不符合. 11.ABD　解析　点P到直线l的距离d==,A选项正确;将点P(1,1)代入直线方程得2-1+3=4>0,又点P与点Q位于直线l的两侧,则将点Q(1-m,m)代入直线方程得2-2m-m+3<0,即m>,B选项正确;|PQ|=== ,C选项错误;因为1-m+m=1,所以点Q在直线l1:x+y-1=0上,斜率k=-1,过点P作直线l'⊥l1于点D,如图所示,则l':x-y=0,联立方程组解得x=y=,即D,所以点P关于直线l1的对称点为原点O(0,0),OR与l1的交点为Q,此时|QR|+|QP|最小,则(|QR|+|QP|)min=|OR|=2,D选项正确. 12.(-19,-62)　解析　直线BH的斜率k1==-,又BH⊥AC,则直线AC的方程为y-3=5(x+6),即y=5x+33,直线CH的斜率k2==-,又CH⊥AB,则直线AB的方程为y-1=3(x-2),即y=3x-5,由所以顶点A的坐标是(-19,-62). 13.x+3y-5=0或x=-1　解析　当直线与点P1,P2的连线所在的直线平行时,由直线P1P2的斜率k==-,得所求直线的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.当直线过线段P1P2的中点时,因为线段P1P2的中点坐标为(-1,4),所以直线方程为x=-1.综上,所求直线方程为x+3y-5=0或x=-1. 14.x-2y+4=0　解析　如图,由题意知点B在原点O的右侧,直线BC一定过点A(6,1)关于x轴的对称点A'(6,-1),且一定过点D(4,4)关于y轴的对称点D'(-4,4),所以BC所在直线的方程为y-4=(x+4),即x+2y-4=0,令x=0,则y=2,所以C点坐标为(0,2),所以CD所在直线的方程为y=x+2,即x-2y+4=0. 15.B　解析　因为y=-=-,所以它表示点P(x,0)到点A(2,7)和B(4,3)的距离之差,如图所示,因为|PA|-|PB|≤|AB|==2,当且仅当P,B,A三点共线时,等号成立,所以y=-的最大值为2. 16.4　解析　设点M(3,5)关于直线l:x-2y+2=0的对称点为M1(x,y),则有故M1(5,1),点M(3,5)关于y轴的对称点为M2(-3,5),连接M1M2分别交直线l与y轴于点P,Q,如图所示,此时△MPQ的周长最小,最小值为|M2M1|==4. 学科网（北京）股份有限公司 $