等式性质与不等式性质考点梳理讲义-2027届高三数学一轮复习回归教材版

该高中数学高考复习讲义围绕等式与不等式性质核心考点，涵盖比较大小、证明不等式、性质应用、范围求解及“糖水”不等式五大模块，按“教材例题梳理-方法规律总结-跟踪练习巩固”逻辑架构，通过考点解析、方法指导与真题训练，帮助学生系统构建知识网络，突破解题难点。 资料以回归教材为特色，融入“糖水不等式”等生活实例培养数学眼光，通过作差法变形、待定系数法求范围等策略训练数学思维，设置分层跟踪练习保障复习效果。既提升学生推理能力与应用意识，又为教师提供精准复习节奏把控依据，实现高效备考。

2027届高三一轮复习回归教材版微专题03 ——等式性质与不等式性质考点梳理 考点一、比较大小的基本方法 【人教A版必修一第2.1节例1】比较和的大小. 分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系. 解： 因为. 所以. 【人教A版必修一习题2.1第3题】 比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）与； （3）当时，与； （4）与. 【答案】（1）. （2）. （3）. （4）. 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以当时，. （4）因为， 所以. 【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于基础题. 小结：1、比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 或 或 2、比较两个数（式）大小的三种方法的基本步骤 （1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. （2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. （3）构造函数法：①观察式子；②构造函数；③利用单调性比较大小；④得出结论. 【跟踪练习】 1. 已知,,,，则( D ). A. B. 且 C. D. 且 【答案】D [解析]因为，所以，,,， 因为，所以， 因为，所以， 因为，符号不能确定，所以,的大小不能确定.故且.故选. 2. 已知，且,，则,之间的大小关系是( ). A. B. C. D. ,的关系随而定 【答案】C [解析]由题意易知,，因为，所以.故选. 3. 若，，，则,的大小关系是( ). A. B. C. D. 不能确定 【答案】C [解析]，令，则，当时，，所以在上单调递增，因为，所以，又,，所以，所以.故选. 考点二、证明不等式的基本方法 【人教A版必修一第2.1节例2】已知，，求证 分析：要证明，因为.所以可以先证明.利用已知和性质4，即可证明. 证明：因为.所以，.于是，即，由，得. 【人教A版必修一习题2.1第11题】 已知，求证. 【分析】利用作差法证明不等式即可. 【详解】证明：， . 小结：不等式证明常用基本方法及注意事项 作差法方法：通过计算两个式子的差，判断差与0的大小关系来证明不等式。若，则；若，则；若，则 。作差后常结合因式分解、配方等变形，便于判断符号。注意事项：变形要保证等价性，关注已知条件对差的符号判断的影响，如式子中变量的正负、取值范围等。 作商法方法：对于两个正数A，B，计算，若，则；若，则；若，则 。适用于含幂、积形式且能通过作商简化判断的不等式。注意事项：严格保证A，B为正数，否则不能直接用；作商后要结合指数函数、幂函数等性质判断商与1的大小。 利用不等式性质（综合法 ）方法：从已知条件出发，借助不等式基本性质（如对称性、传递性、可加性、可乘性等 ）、倒数性质、均值不等式等，逐步推导证明结论，是 “由因导果” 的过程。注意事项：熟练掌握不等式性质，注意性质成立的条件（如乘正数不等号方向不变，乘负数变向 ）；合理选择性质，搭建从条件到结论的逻辑桥梁。 分析法方法：从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，直至归结为已知条件或显然成立的事实，是 “执果索因” 的思考过程，书写时通常转化为综合法呈现。注意事项：分析过程要清晰，每一步 “要证… 只需证…” 的逻辑要合理；找到充分条件后，需用综合法正向书写证明，确保严谨。 【跟踪练习】 1、若，求证：. 证明：， ，. 2．已知，． (1)求证：；(2)求证：． 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故，所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 3．已知，且． (1)求证：；(2)求证：． 【详解】（1）解法1  因为且，所以，且，两边取倒数得，又，则，从而得证． 解法2  因为且，所以，且， 所以，即． （2）因为且，所以，，则，， 由，可得，即，所以，即．综上，． 考点三、不等式的性质 【人教A版必修一第2.1节练习第2题】用不等号“>”或“<”填空: (1)如果,,那么______; (2)如果,,那么____; (3)如果,那么____; (4)如果,那么____. 【答案】 ①. > ②. < ③. < ④. < 【分析】根据不等式的性质依次填写即可 【详解】解析:(1),.,. (2),.,,. (3),,,,,,即. (4),所以,.于是,即,即.,. 【点睛】本题考查利用不等式性质判断不等关系,熟练掌握不等式性质是解题关键 【人教A版必修一习题2.1第8题】下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【分析】A，如时，，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解. 【详解】A. 若，则错误，如时，，所以该选项错误； B. 若，则，所以该选项正确； C. 若，则，所以该选项错误； D. 若，则，所以该选项错误.故选：B 小结： 1、判断不等式成立的三种方法 （1）利用不等式的性质逐个验证. （2）在选择题中，可利用特殊值排除错误选项. （3）利用函数的单调性.当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性进行判断. 2．有关倒数的性质 (1)a>b，ab>0⇒<；a>b，ab<0⇒>. (2)a>b>0，0<c<d⇒>. (3)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 【跟踪练习】 1. 对于实数，，，下列说法错误的是( B ). A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】B [解析]当，时，必有，，由得，故正确； 当时，，则，故错误； 当时，，故正确； 当，时，，由，得，故正确.故选. 2. （多选题）下列命题为真命题的是( ). A. , B. “”是“”的充分条件 C. 若,则 D. 若,,则 【答案】CD [解析]对于,当时,,,不满足,故为假命题; 对于,当,时,,不满足题意,故为假命题;对于,因为,在两边同时乘以可得,在两边同时乘以,可得,所以成立,故为真命题;对于,因为,所以，又,所以两式相加可得,则成立,故为真命题.故选. 3. 用不等号“>”或“<”填空： （1）若，且，则ab_____________0； （2）若，则_________； （3）若，则__________. 【答案】 ①. < ②. > ③. > 【分析】（1）直接化简和得解；（2）利用作差法比较和的大小；（3）利用作差法比较和的大小. 【详解】（1）.. （2）. . （3）. ,. 【点睛】本题主要考查实数比较大小和不等式的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 考点四：利用不等式的性质求范围 【人教A版必修一习题2.1第5题】已知，，求的范围. 【答案】 【分析】根据不等式的性质可得出答案. 【详解】，，又，. 小结： 1．用不等式性质求代数式取值范围的两个注意点 (1)注意题设和结论中代数式的关系，设计求解步骤． (2)正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除． 2．利用待定系数法求代数式的取值范围 已知M1<f1(x，y)<N1，M2<f2(x，y)<N2，求g(x，y)的取值范围． (1)设g(x，y)＝pf1(x，y)＋qf2(x，y)． (2)根据恒等变形求得待定系数p，q. (3)根据不等式的同向可加性即可求得g(x，y)的取值范围． 【跟踪练习】 1. （多选题）已知实数，满足，，则( ). A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】实数，满足，，由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，得，，故，正确；由，得，故错误；由，得，故正确.故选. 2、已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以。 3、已知且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以，由得到，则，解得；由得，整理得，解得；由得，综上，． 4、已知“,”，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设，即， 所以解得即， 因为，所以， ① 又因为，所以， ② 由，得，故的取值范围是,. 考点五、“糖水”不等式的性质及应用 【人教A版必修一习题2.1第10题】已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 【答案】，证明见解析 【分析】根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可. 【详解】时，. 证明如下： ，. 小结： 1、糖水不等式的性质：若 ,则一定有 ,或者 通俗的理解就是 克的不饱和糖水里含有 克糖，往糖水里面加入 克糖，则糖水更甜； 2．有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则(1)<；>(a－m>0)．(2)>；<(b－m>0)． 【跟踪练习】 1、在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 【答案】ABC 【详解】由，则，若， 若，则，故； 若，则，故；由题设，结合不等式性质显然有；故选：ABC 2、克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，，A错误；对于B，，，则，B错误.对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误；故选：C 3、糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是 .（只需填满足题意的一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】由，得，即，解得或，则当或时，不等式成立，所以不成立的的值可以是（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习回归教材版微专题03 ——等式性质与不等式性质考点梳理 考点一、比较大小的基本方法 【人教A版必修一第2.1节例1】比较和的大小. 【人教A版必修一习题2.1第3题】 比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）与； （3）当时，与； （4）与. 小结：1、比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 或 或 2、比较两个数（式）大小的三种方法的基本步骤 （1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. （2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. （3）构造函数法：①观察式子；②构造函数；③利用单调性比较大小；④得出结论. 【跟踪练习】 1. 已知,,,，则( D ). A. B. 且 C. D. 且 2. 已知，且,，则,之间的大小关系是( ). A. B. C. D. ,的关系随而定 3. 若，，，则,的大小关系是( ). A. B. C. D. 不能确定 考点二、证明不等式的基本方法 【人教A版必修一第2.1节例2】已知，，求证 【人教A版必修一习题2.1第11题】 已知，求证. 小结：不等式证明常用基本方法及注意事项 作差法方法：通过计算两个式子的差，判断差与0的大小关系来证明不等式。若，则；若，则；若，则 。作差后常结合因式分解、配方等变形，便于判断符号。注意事项：变形要保证等价性，关注已知条件对差的符号判断的影响，如式子中变量的正负、取值范围等。 作商法方法：对于两个正数A，B，计算，若，则；若，则；若，则 。适用于含幂、积形式且能通过作商简化判断的不等式。注意事项：严格保证A，B为正数，否则不能直接用；作商后要结合指数函数、幂函数等性质判断商与1的大小。 利用不等式性质（综合法 ）方法：从已知条件出发，借助不等式基本性质（如对称性、传递性、可加性、可乘性等 ）、倒数性质、均值不等式等，逐步推导证明结论，是 “由因导果” 的过程。注意事项：熟练掌握不等式性质，注意性质成立的条件（如乘正数不等号方向不变，乘负数变向 ）；合理选择性质，搭建从条件到结论的逻辑桥梁。 分析法方法：从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，直至归结为已知条件或显然成立的事实，是 “执果索因” 的思考过程，书写时通常转化为综合法呈现。注意事项：分析过程要清晰，每一步 “要证… 只需证…” 的逻辑要合理；找到充分条件后，需用综合法正向书写证明，确保严谨。 【跟踪练习】 1、若，求证：. 2．已知，． (1)求证：；(2)求证：． 3．已知，且． (1)求证：；(2)求证：． 考点三、不等式的性质 【人教A版必修一第2.1节练习第2题】用不等号“>”或“<”填空: (1)如果,,那么______; (2)如果,,那么____; (3)如果,那么____; (4)如果,那么____. 【人教A版必修一习题2.1第8题】下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 小结： 1、判断不等式成立的三种方法 （1）利用不等式的性质逐个验证. （2）在选择题中，可利用特殊值排除错误选项. （3）利用函数的单调性.当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性进行判断. 2．有关倒数的性质 (1)a>b，ab>0⇒<；a>b，ab<0⇒>. (2)a>b>0，0<c<d⇒>. (3)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 【跟踪练习】 1. 对于实数，，，下列说法错误的是( ) A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 2. （多选题）下列命题为真命题的是( ). A. , B. “”是“”的充分条件 C. 若,则 D. 若,,则 3. 用不等号“>”或“<”填空： （1）若，且，则ab_____________0； （2）若，则_________； （3）若，则__________. 考点四：利用不等式的性质求范围 【人教A版必修一习题2.1第5题】已知，，求的范围. 小结： 1．用不等式性质求代数式取值范围的两个注意点 (1)注意题设和结论中代数式的关系，设计求解步骤． (2)正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除． 2．利用待定系数法求代数式的取值范围 已知M1<f1(x，y)<N1，M2<f2(x，y)<N2，求g(x，y)的取值范围． (1)设g(x，y)＝pf1(x，y)＋qf2(x，y)． (2)根据恒等变形求得待定系数p，q. (3)根据不等式的同向可加性即可求得g(x，y)的取值范围． 【跟踪练习】 1. （多选题）已知实数，满足，，则( ). A. B. C. D. 2、已知，则的取值范围是 ． 3、已知且，则的取值范围是 ． 4、已知“,”，则的取值范围是 ． 考点五、“糖水”不等式的性质及应用 【人教A版必修一习题2.1第10题】已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 小结： 1、糖水不等式的性质：若 ,则一定有 ,或者 通俗的理解就是 克的不饱和糖水里含有 克糖，往糖水里面加入 克糖，则糖水更甜； 2．有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则(1)<；>(a－m>0)．(2)>；<(b－m>0)． 【跟踪练习】 1、在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 2、克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3、糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是 .（只需填满足题意的一个值即可） 学科网（北京）股份有限公司 $