微专题集训5 不等式的解法与性质-【高考领航】2027年高考数学一轮复习微专题速练

**基本信息** 聚焦不等式解法与性质，通过高考真题与模拟题系统覆盖分式、高次、含参不等式及性质应用，强化推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式解法|约8题|含分式/高次/参数不等式求解，结合解集反求参数|从分式不等式转化到高次不等式穿根法，构建“解法-参数讨论-解集应用”逻辑链| |不等式性质|约7题|比较大小、命题真假判断、新定义运算|以性质应用为核心，关联作差法、函数单调性，形成“性质-推理-应用”认知路径|

微专题集训5　不等式的解法与性质 1．(2025·全国二卷T4，易)不等式≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1} 2．(2020·浙江卷T9，易)已知a，b∈R且ab≠0，对于任意x≥0均有(x－a)(x－b)(x－2a－b)≥0，则(　　) A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0 3．(2019·天津卷文T10，易)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________． 1．不等式≤0的解集为(　　) A．{x≤x≤2} B．{x≤x<2} C．{x|x<2} D．{x|x≤或x>2} 2．当a<0时，关于x的不等式 ax2－(a＋2)x＋2>0的解集为(　　) A．R B．{x|x<1} C．{x或x<1} D．{x<x<1} 3．已知a，b∈R，且ab≠0，对任意x>0均有(x－a－b)(x－b)(ln x－a)≥0，则(　　) A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．a>0，b<0 D．a>0，b>0 1．(2026·云南昆明期中)下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b>0，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则> C．若a>b>c>0，则> D．若a>b>c>0，则> 2．(2026·辽宁沈阳期中)已知1<a<3，－3<b<－2，则(　　) A．－1<a＋b<1 B．3<a－b<5 C．－9<ab<－2 D．－1<<－ 3．(2026·湖南部分名校联考)若x，y∈(0，＋∞)，则p＝与q＝x＋y的大小关系是(　　) A．p≥q B．p≤q C．p>q D．p<q 4．(2026·湖南湘潭月考)已知0<b<1＋a，若关于x的不等式(ax－b)2>x2的解集中的整数恰有4个，则(　　) A．<a<1 B．－<a<1 C．0<a<1 D．－<a<0 5．(2026·江苏无锡期中)不等式cx2＋ax＋b>0的解集为{x}，则函数y＝ax2－bx－c的图象大致为(　　) 6．(2026·安徽名校联考)定义运算：x*y＝x(x＋y)(x，y∈R)．若关于x的不等式(x－a)*(1－2x)<1恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|－1<a<1} B．{a<a<} C．{a<a<} D．{a|0<a<2} 7．(2026·陕西西安模拟)已知不等式x2＋ax＋b>0(a>0)的解集是{x|x≠d}，若不等式x2＋ax＋b<c的解集为{x|－3<x<1}，则a＋b＋c＝__________． 8．(2026·安徽安庆模拟)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c), 其中a<b<c.若不等式f(1＋x)f(2－x)≤0对任意x∈R恒成立，则a＋b＋c＝________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题集训5　不等式的 解法与性质 [真题精准练] 1．C　因为≥2，所以－2≥0，故有≥0，即≤0，等价于解得－2≤x<1，故原不等式的解集是{x|－2≤x<1}．故选C. 2．C　设f(x)＝(x－a)(x－b)(x－2a－b)，则f(x)的零点为a、b、2a＋b.当a>0，b>0时，2a＋b>0，如图1，不等式在x≥0时不恒成立， 图1　　　　　　图2 当a>0，b<0时，如图2，要使不等式在x≥0时恒成立，则2a＋b＝a，即a＋b＝0，所以若不等式恒成立，则a>0，b<0，a＋b＝0. 当a<0，b>0时，如图3，要使不等式在x≥0时恒成立，则2a＋b＝b，即a＝0，与a<0矛盾，且不满足ab≠0. 图3　　　　　　　图4 当a<0，b<0时，2a＋b<0.如图4，不等式在x≥0时恒成立．综上，要使不等式恒成立，一定有b<0，但a可正可负．故选C. 3．解析：3x2＋x－2<0⇔(x＋1)(3x－2)<0，所以－1<x<. 答案： [高考变式练] 1．B　由≤0得， 解得≤x<2，即{x≤x<2}．故选B. 2．D　因为a<0，ax2－(a＋2)x＋2>0⇔x2－x＋<0⇔·(x－1)<0，方程(x－1)＝0的解集为{，1}，且<0<1，所以不等式的解集为{x<x<1}，故D正确．故选D. 3．B　因为ln x－a＝ln x－ln ea＝ln ，故ln x－a与ln 的符号相同，当＝ln 1时，x>ea；当ln <0＝ln 1时，x<ea.所以ln x－a与x－ea的符号相同．所以(ln x－a)(x－b)(x－a－b)≥0⇔(x－ea)(x－b)(x－a－b)≥0，令f(x)＝(x－ea)(x－b)(x－a－b)，所以，当x>0时，f(x)≥0恒成立，令f(x)＝0，可得x1＝ea，x2＝b，x3＝a＋b.因为ab≠0，分以下四种情况讨论：对于A，当a<0，b<0时，则a＋b<b<0<ea，当0<x<ea时，f(x)<0，不符合题意，故A错误；对于B，当a<0，b>0时，则a＋b<b，若a＋b>0，则a＋b、b、ea均为正数，①若ea＝b，则f(x)＝(x－a－b)(x－b)2，当0<x<a＋b时，f(x)<0，不符合题意；②若ea＝a＋b，则f(x)＝(x－a－b)2(x－b)，当0<x<a＋b时，f(x)<0，不符合题意．③若a＋b、b、ea都不相等，记t＝min{b，a＋b，ea}，则当0<x<t时，f(x)<0，不符合题意．由上可知，a＋b≤0，当x>0时，若使得f(x)≥0恒成立，则如图所示， 所以，当a<0，b>0时，且a＋b≤0，b＝ea>0时，当x>0时，f(x)≥0恒成立，故B正确；对于C，当a>0，b<0时，则b<a＋b，①若a＋b≤0时，则当0<x<ea时，f(x)<0，不符合题意；②当a＋b>0时，构造函数g(a)＝ea－a－b，其中a>0，g′(a)＝ea－1>0，函数g(a)在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)>g(0)＝1－b>0，所以ea>a＋b.当a＋b<x<ea时，由于x－b>0，则f(x)<0，不符合题意，故C错误；对于D，当a>0，b>0时，则b<a＋b，此时b、a＋b、ea为正数．①当b、a＋b、ea都不相等时，记t＝min{b，a＋b，ea}，当0<x<t时，f(t)<0，不符合题意；②若b＝ea，则f(x)＝(x－b)2(x－a－b)，当0<x<b时，f(x)<0，不符合题意；③当ea＝a＋b时，f(x)＝(x－b)(x－a－b)2，当0<x<b时，f(x)<0, 不符合题意，故D错误．故选B. [最新模拟练] 1．D　对于A，若c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；对于B，因为a>b>0，则ab>0，>0，所以a·>b·>0，则>>0，所以2>2，即<，故B错误；对于C，因为a>b>0，所以ab>0，>0.于是a·>b·，即<，c>0，所以<，故C错误；对于D，，因为a>b>c>0，所以c>0，a－b>0，b>0，b＋c>0，所以>0，则>，故D正确．故选D. 2．C　对于A，因为1<a<3，－3<b<－2，所以－3＋1<a＋b<3－2，即－2<a＋b<1，故A错误；对于B，因为－3<b<－2，所以2<－b<3，又因为1<a<3，所以1＋2<a－b<3＋3，即3<a－b<6，故B错误；对于C，因为1<a<3，－3<b<－2，所以1<<<－，所以<，又因为1<a<3，所以1<<，因为a，b异号，所以<0，所以－<<－，故D错误．故选C. 3．B　由题意有p－q＝－(x＋y)＝，因为x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y>0，－(x－y)2≤0，所以p－q≤0，即p≤q.故选B. 4．A　由(ax－b)2>x2，得(a2－1)x2－2abx＋b2>0，由于该不等式的解集中的整数恰有4个，有a2－1<0，由不等式(a2－1)x2－2abx＋b2>0可得[(a－1)x－b][(a＋1)x－b]>0，又由于a＋1>0，故a－1<0，解得<x<，由于0<<1，且x＝0时，满足不等式(a2－1)x2－2abx＋b2>0，故该不等式的4个整数解为－3，－2，－1，0，因此－4≤<－3，得b>－3(a－1)且b≤－4(a－1)，结合0<b<1＋a，因此1＋a>－3(a－1)且0<－4(a－1)，解得<a<1，故选A. 5．A　因为cx2＋ax＋b>0的解集为 {x}，所以方程cx2＋ax＋b＝0的两根分别为和－1，且c<0，则解得a＝c，故函数y＝ax2－bx－c＝(x＋2)(x－1)的图象开口向下，且与x轴的交点坐标为(1，0)和(－2，0)，故A选项的图象符合．故选A. 6．B　由题意(x－a)*(1－2x)<1可变形为(x－a)(x－a＋1－2x)－1<0，即－x2－ax＋x＋ax＋a2－a－1<0，化简可得x2－x－a2＋a＋1>0恒成立，所以Δ＝1－4×1×(－a2＋a＋1)<0恒成立，化简可得(2a－3)(2a＋1)<0，解得－<a<，所以实数a的取值范围为{a<a<}．故选B. 7．解析：因为不等式x2＋ax＋b>0(a>0)的解集是{x|x≠d}，可知方程x2＋ax＋b＝0有且仅有一个解x＝d，则又因为不等式x2＋ax＋b<c，即x2＋ax＋b－c<0的解集为 {x|－3<x<1}，可知方程x2＋ax＋b－c＝0的解为－3，1，则解得由可得则c＝4，所以a＋b＋c＝2＋1＋4＝7. 答案：7 8．解析：若f(1＋x)f(2－x)≤0，取g(x)＝－f(2－x)，所以f(1＋x)g(x)≥0，则f(1＋x)＝(1＋x－a)(1＋x－b)(1＋x－c)，g(x)＝－(2－x－a)(2－x－b)(2－x－c)，所以f(1＋x)＝0的根为a－1，b－1，c－1且a－1<b－1<c－1，g(x)＝0的根为2－a，2－b，2－c且2－c<2－b<2－a，由于f(1＋x)与g(x)均为首项系数为正的三次多项式，要使其乘积f(1＋x)g(x)≥0恒成立，则它们的零点必须完全相同，所以只有当a－1＝2－c，b－1＝2－b，c－1＝2－a时，f(1＋x)g(x)≥0成立，所以a＋c＝3，b＝，所以a＋b＋c＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $