第67讲　二项分布与超几何分布、正态分布专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦二项分布、超几何分布、正态分布三大核心分布，通过概念辨析、性质应用及实际建模，系统构建概率统计解题方法体系，培养数据观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正态分布|3题（1,4,9）|对称性求参数、密度曲线分析、离散系数应用|从分布定义到性质（μ,σ意义），再到百分位数等实际统计应用| |超几何分布|2题（2,6）|组合数公式计算概率、分布列构建|基于不放回抽样情境，明确参数意义及与二项分布的区分| |二项分布|5题（3,5,7,13,16）|独立重复试验概率公式、期望方差计算、最可能值判断|从伯努利试验到分布模型，结合期望方差公式解决实际问题| |综合应用|6题（8,10-12,14-15）|分布类型辨析、跨模块对比（如10题两种分布期望方差比较）、实际问题建模|整合三种分布，通过生活情境（理财、考试录取等）培养用数学语言表达现实世界的能力|

第67讲　二项分布与超几何分布、正态分布 (时间:45分钟) 1.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(X≥4)=P(X≤-2),则μ= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.1 C.-2 D.2 2.在15个村庄中,有7个村庄交通不太方便,现从中任意选10个村庄,用X表示10个村庄中交通不太方便的村庄个数,下列概率中等于的是 (　 ) A.P(X=2) B.P(X=3) C.P(X=4) D.P(X≤4) 3.某次考试学生甲还有四道单选题不会做,假设每道题选对的概率均为,则四道题中恰好做对两道的概率是 (　 ) A. B. C. D. 4.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),X的正态密度曲线如图所示,若P(X<0)=p,则P(0<X<1)与D(X)分别为 (　 ) A.-p, B.p, C.-p, D.p, 5.(多选题)[2025·安徽亳州期末] 已知随机变量X~B(4,p),0<p<1,E(X)=D(X),则 (　 ) A.p= B.E(X)= C.E(2X+1)= D.D(2X+1)= 6.某党支部有10名党员,7男3女,为迎接建党节,从中选取2人做汇报演出,若X表示选中的女党员人数,则P(X<2)=　　　　.  7.近年来,理财成为了一种趋势,老黄在今年买进某个理财产品,设该产品每个季度的收益率为X,且各个季度的收益之间互不影响,根据该产品的历史记录,可得P(X>0)=2P(X≤0).若老黄准备在持有该理财产品4个季度之后卖出,则至少有3个季度的收益率为正值的概率为　　　　.  8.如图,一动点沿圆周在均匀分布的A,B,C三点之间移动,每次该动点逆时针方向移动的概率是顺时针方向移动概率的两倍,假设现在该点从A点出发,则移动三次之后到达B点的概率是 (　 ) A. B. C. D. 9.[2024·金华一中月考] 比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时,常使用离散系数,其定义为标准差与均值之比.某地区进行调研考试,共10 000名学生参加考试,测试结果X(单位:分)近似服从正态分布,且平均分为57.4,离散系数为0.36,则全体学生成绩的第84百分位数约为 (　 ) 附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(|Z-μ|≤σ)≈0.68. A.82 B.78 C.74 D.70 10.(多选题)一个袋子中有10个大小相同的球,其中有4个红球,6个黑球.试验一:从中随机有放回地摸出3个球,记取到红球的个数为X1,期望和方差分别为E(X1),D(X1);试验二:从中随机不放回地摸出3个球,记取到红球的个数为X2,期望和方差分别为E(X2),D(X2).则 (　 ) A.E(X1)=E(X2) B.E(X1)>E(X2) C.D(X1)>D(X2) D.D(X1)<D(X2) 11.(多选题)山东东阿盛产阿胶,阿胶与人参、鹿茸并称“中药三宝”.阿胶的主要原料是驴皮,配以冰糖、黄酒、豆油等十几种辅料,用东阿特有的含多种矿物质的井水、采取传统的制作工艺熬制而成.已知某阿胶产品每盒的质量M(单位:g)服从正态分布N(250,σ2),且P(M<251)=0.75,P(249<M<253)=0.7,则 (　 ) A.若从该阿胶产品中随机选取1盒,则这盒阿胶产品的质量大于249 g的概率为0.75 B.若从该阿胶产品中随机选取1盒,则这盒阿胶产品的质量在(251,253)内的概率为0.15 C.若从该阿胶产品中随机选取1000盒,则质量大于253 g的盒数的方差为47.5 D.若从该阿胶产品中随机选取1000盒,则质量在(251,253)内的盒数的数学期望为200 12.如图所示,已知一质点在外力的作用下,从原点O出发,每次向左移动的概率为,向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度,设经过5次移动后,该质点位于X的位置,则P(X>0)=　　　　.  13.[2024·重庆巴蜀中学模拟] 已知每门大炮击中目标的概率都是0.6,现有14门大炮同时对某一目标射击一次,则最有可能击中目标　　　　次.  14.[2024·北京西城区三模] 根据2024城市魅力排行榜,一线城市有4个,分别为上海、北京、深圳、广州;新一线城市有15个,分别为成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市有10个,分别为上海、北京、深圳、重庆、广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州. (1)从10个超大城市中随机抽取一个城市,求该城市是一线城市的概率; (2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市,随机变量X表示新一线城市的数量,求随机变量X的分布列和期望; (3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市,随机变量Y表示新一线城市的数量,比较E(X)与E(Y)的大小关系. 15.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征,是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径,正被广泛采用.一般地,对于一次成功的考试来说,所有考生的考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300人,其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000,考试满分为400分.记考生的成绩为X,且X~N(μ,σ2),已知所有考生考试的平均成绩μ=180,且360分及以上的高分考生有30名. (1)求σ的值.(结果四舍五入保留整数) (2)该单位的最低录取分数约是多少?(结果四舍五入保留整数) (3)考生甲的成绩为286分,若甲被录取,能否获得高薪职位?若不能获得高薪职位,请说明理由. 参考资料:①当X~N(μ,σ2)时,令Y=,则Y~N(0,1). ②当Y~N(0,1)时,P(Y<2.17)≈0.985,P(Y<1.28)≈0.900,P(Y<1.09)≈0.862,P(Y<1.04)≈0.85. 16.[2024·广东梅州一模] 某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况,从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查,收集了他们参加公益劳动的时间(单位:小时),并将样本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九组,绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况,从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]内的学生中,采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取了10人,现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X,求X的分布列和期望. (2)以调查结果的频率估计概率,从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生,用“P20(k)”表示这20名学生中恰有k名学生参加公益劳动时间在(10,12]内的概率,其中k=0,1,2,…,20.当P20(k)最大时,求出k的值. 参考答案 第67讲　二项分布与超几何分布、正态分布 1.B　[解析] ∵X~N(μ,σ2),P(X≥4)=P(X≤-2),∴μ==1.故选B. 2.A　[解析] 由题可知,X服从超几何分布,所以P(X=2)=.故选A. 3.C　[解析] 依题意,四道题中恰好做对两道的概率P=×=.故选C. 4.C　[解析] 由题图可知X~N,因为P(X<0)=p,所以P(0<X<1)==-p,D(X)==.故选C. 5.BCD　[解析] 对于A,因为X~B(4,p),E(X)=D(X),所以×4p(1-p)=4p,得p=,故A错误;对于B,由A知随机变量X~B,则E(X)=4×=,故B正确;对于C,E(2X+1)=2E(X)+1=,故C正确;对于D,D(2X+1)=4D(X)=4×4××=,故D正确.故选BCD. 6.　[解析] 由题意知X服从超几何分布,X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)==,P(X=1)==,所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=+=. 7.　[解析] 因为P(X>0)=2P(X≤0),P(X>0)+P(X≤0)=1,所以P(X≤0)=,P(X>0)=,所以至少有3个季度的收益率为正值的概率为××+×=. 8.C　[解析] 由题意可知,逆时针方向移动的概率为,顺时针方向移动的概率为,由A点出发,3次移动后到达点B,则3次移动中有2次逆时针方向移动,1次顺时针方向移动,所以所求概率P=××=.故选C. 9.B　[解析] 根据题意得标准差为57.4×0.36=20.664,所以测试结果X近似服从正态分布N(57.4,20.6642),又因为84%=0.5+,且P(|X-μ|≤σ)≈0.68,所以全体学生成绩的第84百分位数约为57.4+20.664≈78.故选B. 10.AC　[解析] 从中随机有放回地摸出3个球,则每次摸到红球的概率为=,则X1~B,故E(X1)=3×=,D(X1)=3××=.从中随机不放回地摸出3个球,则X2的可能取值是0,1,2,3,则P(X2=0)==,P(X2=1)==,P(X2=2)==,P(X2=3)==,所以随机变量X2的分布列为 X2 0 1 2 3 P E(X2)=0×+1×+2×+3×=,D(X2)=×+×+×+×=.故E(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2).故选AC. 11.ACD　[解析] 对于选项A,因为M~N(250,σ2),所以P(M>249)=P(M<251)=0.75,A正确.对于选项B,因为P(M<251)=0.75,所以P(249<M<250)=P(250<M<251)=0.75-0.5=0.25,所以P(251<M<253)=0.7-0.25×2=0.2,B错误.对于选项C,因为P(249<M<253)=0.7,所以P(M>253)=0.75-0.7=0.05,若从该阿胶产品中随机选取1000盒,则质量大于253 g的盒数X~B(1000,0.05),所以D(X)=1000×0.05×(1-0.05)=47.5,C正确.对于选项D,P(251<M<253)=0.2,若从该阿胶产品中随机选取1000盒,则质量在(251,253)内的盒数Y~B(1000,0.2),所以E(Y)=1000×0.2=200,D正确.故选ACD. 12.　[解析] 依题意,当X>0时,X的所有可能取值为1,3,5,设质点向右移动的次数为Y,则Y~B,所以P(X>0)=P(X=5)+P(X=3)+P(X=1)=P(Y=5)+P(Y=4)+P(Y=3)=+××+××=. 13.8或9　[解析] 设击中目标的次数为X,由题可知,X~B(14,0.6),则P(X=k)=·0.6k·0.414-k,0≤k≤14,k∈Z,令即 化简得解得8≤k≤9,又k∈Z,所以最有可能击中目标8或9次. 14.解:(1)10个超大城市中包含4个一线城市,所以从10个超大城市中随机抽取一个城市,该城市是一线城市的概率为=. (2)10个超大城市中包含6个新一线城市,X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)===. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×=. (3)E(X)=E(Y). 理由如下:从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市, 随机变量Y~B,E(Y)=3×=,所以E(X)=E(Y). 15.解:(1)依题意X~N(180,σ2),令Y=,则Y~N(0,1), 由题意P(X≥360)==, 则P(X<360)=1-=0.985, 所以P=0.985, 又因为P(Y<2.17)≈0.985,所以≈2.17,解得σ≈83. (2)由(1)可得X~N(180,832), 设最低录取分数为x0,则P(X≥x0)=P==, 则P=1-=0.85, 又因为P(Y<1.04)≈0.85,所以≈1.04,所以x0≈266.32,所以该单位的最低录取分数线为266分. (3)考生甲的成绩为286分,大于266分,P(X<286)=P≈P(Y<1.28)≈0.900,则不低于考生甲的成绩的人数约为2000×(1-0.900)=200,即考生甲大约排在第200名,所以甲能获得高薪职位. 16.解:(1)这500名学生中参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]内的学生人数分别为500×0.10=50,500×0.08=40,500×0.02=10,若采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10人, 则从参加公益劳动时间在(14,16]内的学生中抽取×10=4(人), 从这10人中随机抽取3人,则X的所有可能取值为0,1,2,3, P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)===, 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 则E(X)=0×+1×+2×+3×=. (2)由频率分布直方图得,2×(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,解得a=0.10, 则参加公益劳动时间在(10,12]内的概率P=0.1×2=0.2,所以P20(k)=0.2k(1-0.2)20-k=0.2k0.820-k. 依题意得 即 即解得≤k≤,因为k为非负整数,所以k=4, 即当P20(k)最大时,k=4. 1 学科网（北京）股份有限公司 $