第67练　二项分布与超几何分布、正态分布 -2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 该同步练习聚焦二项分布、超几何分布、正态分布，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的进阶，培养数学抽象、运算能力与数据建模素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|正态分布对称性、二项分布期望方差|单选（如第1题正态均值）、填空（如第7题超几何分布概率），夯实概念| |能力提升|两种分布对比、条件概率|多选（如第11题期望方差比较）、中档解答（如第9题分布列与条件概率），提升辨析运算能力| |综合应用|实际问题建模、利润决策|复杂解答（如第15题工艺改进、第16题质量指标与利润最大化），培养数据意识与应用能力|

第67练　二项分布与超几何分布、正态分布 1.已知X~N(μ,σ2),且P(X>3+t)=P(X<3-t),则μ= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 2.在15个村庄中,有7个村庄交通不太方便,现从中任意选10个村庄,用X表示10个村庄中交通不太方便的村庄个数,则下列概率中等于的是 (　 ) A.P(X=2) B.P(X=3) C.P(X=4) D.P(X≤4) 3.[2025·成都一模] 已知甲、乙两批袋装食盐的质量(单位:g)分别服从正态分布N(μ甲,)和N(μ乙,),其正态曲线如图所示,则 (　 ) A.μ甲>μ乙,σ甲>σ乙 B.μ甲>μ乙,σ甲<σ乙 C.μ甲<μ乙,σ甲>σ乙 D.μ甲<μ乙,σ甲<σ乙 4.甲同学每次投篮命中的概率为p,在投篮6次的试验中,命中次数X的均值为2.4,则X的方差为 (　 ) A.1.24 B.1.44 C.1.2 D.0.96 5.一箱猕猴桃共有20个,其中有若干个为烂果(烂果率低于50%),从这一箱猕猴桃中任取2个,恰有1个烂果的概率为,则这箱猕猴桃的烂果个数为 (　 ) A.4 B.5 C.6 D.7 6.(多选题)[2025·安徽亳州期末] 已知随机变量X~B(4,p),0<p<1,E(X)=D(X),则 (　 ) A.p= B.E(X)= C.E(2X+1)= D.D(2X+1)= 7.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数,则P(X≤1)等于　　　　.  8.[2025·西安二模] 排球比赛实行“五局三胜制”(当一队获胜三局时,该队胜利,比赛结束),根据以往的比赛数据可知,在甲、乙两队的比赛中,每局比赛甲队获胜的概率为,乙队获胜的概率为,则甲队胜利的概率为　　　　.  9.一批零件共有12件,其中有3件次品,现不放回地随机抽取4件进行检验. (1)求抽到的次品件数X的分布列; (2)若已知抽到的4件中至少有1件次品,求恰好有2件次品的概率. 10.某店经营的某种包装的面包质量X(单位:g)服从正态分布N(200,σ2),且P(X<205)=0.85,则从该店中任意买一个这种包装的面包,其质量在195~205 g之间的概率为 (　 ) A.0.7 B.0.35 C.0.85 D.0.5 11.[2025·陕西西安高新一中模拟] 盲盒中有大小相同的3个红球,2个黑球,随机有放回地摸两次球,每次摸1个球,记X为摸到黑球的个数,随机无放回地摸两次球,每次摸1个球,记Y为摸到黑球的个数,则 (　 ) A.E(X)<E(Y),D(X)>D(Y) B.E(X)=E(Y),D(X)>D(Y) C.E(X)<E(Y),D(X)<D(Y) D.E(X)=E(Y),D(X)<D(Y) 12.(多选题)[2025·株洲期末] 对于一组数据,定义离散系数=.某地区进行调研考试,共40 000名学生参考,考试成绩(单位:分)近似服从正态分布,且平均成绩为57.4分,离散系数为0.36,则下列说法正确的是(附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(|Z-μ|<σ)≈0.68) (　 ) A.学生考试成绩的标准差为20.664 B.学生的考试成绩近似服从正态分布N(57.4,0.362) C.约有20 000名学生的考试成绩低于58分 D.全体学生考试成绩的第84百分位数约为78 13.[2025·河北石家庄模拟] 已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为,该篮球运动员某次练习中共罚球3次,若3次罚球的结果互不影响,记3次罚球中命中的次数为X,则X的数学期望E(X)=　　　　;若已知该运动员没有全部命中,则他恰好命中2次的概率为　　　　.  14.一个袋中装有黑球、白球和红球共n(n∈N*)个,这些球除颜色外完全相同.已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是.现从袋中任意摸出2个球,当n=　　　　时,摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大,且最大概率为　　　　.  15.[2025·浙江金华三模] 某手机厂对屏幕进行两项独立检测:亮度检测的通过率为,色准检测的通过率为.产品需通过两项检测才算合格.随机抽取3件产品,设合格品的件数为X. (1)求每件产品为合格品的概率. (2)求X的分布列及数学期望. (3)已知合格品的利润为100元/件,若改进工艺能使亮度检测通过率提升至,但每件产品的成本增加1元,是否值得改进? 16.[2025·山东青岛二中月考] 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产,其芯片质量按等级划分为五个层级,分别对应如下五组质量指标值:[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果,得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ,σ2),并把质量指标值不小于80的产品称为A等品,其他产品称为B等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件芯片作为样本,统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据长期检测结果,该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11,用样本平均数作为μ的近似值,用样本标准差s作为σ的估计值.若从生产线中任取1件芯片,试估计该芯片为A等品的概率(保留小数点后面两位有效数字). (2)(i)从样本中质量指标值在[45,55)和[85,95]内的芯片中随机抽取3件,记其中质量指标值在[85,95]内的芯片件数为X,求X的分布列和数学期望. (ii)该企业为节省检测成本,采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A等品芯片的利润是m(1<m<24)元,一件B等品芯片的利润是ln(25-m)元,根据(1)的计算结果,试求m的值,使得每箱产品的利润最大. 附:①在频率分布直方图中,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表;②若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997 3. 第67练　二项分布与超几何分布、正态分布 1.C　[解析] 根据正态曲线的对称性,由P(X>3+t)=P(X<3-t),得μ==3,故选C. 2.A　[解析] 由题可知,X服从超几何分布,所以P(X=2)=.故选A. 3.C　[解析] 由题图可以看出甲的平均数小于乙的平均数,即μ甲<μ乙,且乙“高瘦”,甲“矮胖”,即乙的数据更加集中,方差比甲小,即σ甲>σ乙.故选C. 4.B　[解析] 根据题意可得命中次数X服从二项分布,即X~B(6,p),由题意得E(X)=6p=2.4,解得p=0.4,所以X的方差D(X)=6×0.4×(1-0.4)=1.44,故选B. 5.C　[解析] 设这一箱猕猴桃中有n个烂果,则==,解得n=6或n=14,因为烂果率低于50%,所以n<10,则n=6.故选C. 6.BCD　[解析] 对于A,因为X~B(4,p),E(X)=D(X),所以×4p(1-p)=4p,可得p=,故A错误;对于B,由A知随机变量X~B,则E(X)=4×=,故B正确;对于C,E(2X+1)=2E(X)+1=,故C正确;对于D,D(2X+1)=4D(X)=4×4××=,故D正确.故选BCD. 7.　[解析] 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,∵随机变量X表示所选3人中女生的人数,∴P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=. 8.　[解析] 原问题可以转化为即使某一队获胜三局,也照常进行后续的比赛,直至五局比赛全部结束,最后获胜局数多的队胜利,故甲队胜利的概率即为甲队获胜局数不小于3的概率,即为+××+××===. 9.解:(1)X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==, 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)记事件A=“抽到的4件中至少有1件次品”,事件B=“恰好有2件次品”,则P(B|A)====, 故已知抽到的4件中至少有1件次品,恰好有2件次品的概率为. 10.A　[解析] 某种包装的面包质量X服从正态分布N(200,σ2),且P(X<205)=0.85,则P(X≥205)=1-0.85=0.15,由正态曲线的对称性可得P(X≤195)=0.15,则有P(195<X<205)=1-P(X≥205)-P(X≤195)=1-0.15-0.15=0.7,所以从该店中任意买一个这种包装的面包,其质量在195~205 g之间的概率为0.7.故选A. 11.B　[解析] 由题意可知,X~B,则E(X)=2×=,D(X)=2××=.Y的可能取值为0,1,2,P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==,可得E(Y)=0×+1×+2×=,D(Y)=×+×+×=,所以E(X)=E(Y),D(X)>D(Y).故选B. 12.ACD　[解析] 对于A,根据离散系数=,平均成绩为57.4分,离散系数为0.36,可得标准差为57.4×0.36=20.664,故A正确;对于B,学生的考试成绩近似服从正态分布N(57.4,20.6642),故B错误;对于C,平均成绩为57.4分,所以考试成绩低于58分的概率约为0.5,所以约有40 000×0.5=20 000(名)学生的考试成绩低于58分,故C正确;对于D,因为84%=0.5+,且P(|Z-μ|<σ)≈0.68,所以全体学生考试成绩的第84百分位数约为μ+σ=57.4+20.664≈78,故D正确.故选ACD. 13.　　[解析] 由题知,X~B,所以E(X)=3×=.记事件A=“该运动员没有全部命中”,记事件B=“该运动员恰好命中2次”,则P(A)=1-=,P(B)=××=,所以P(B|A)===. 14.5　　[解析] 依题意得袋中黑球的个数为n(n=5,10,15,20,…).记“从袋中任意摸出2个球,至少有1个黑球”为事件C,则P(C)=1-=+,所以当n=5时,摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大,最大概率为. 15.解:(1)每件产品为合格品的概率p=×==0.7. (2)X的可能取值为0,1,2,3,易知X~B(3,0.7),P(X=0)=×0.70×0.33=1×1×0.027=0.027,P(X=1)=×0.71×0.32=3×0.7×0.09=0.189,P(X=2)=×0.72×0.31=3×0.49×0.3=0.441,P(X=3)=×0.73×0.30=1×0.343×1=0.343,所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 数学期望E(X)=3×0.7=2.1. (3)改进前:每件产品为合格品的概率p=0.7,随机抽取3件产品,合格产品件数的期望为2.1,则总利润的期望为2.1×100=210(元). 改进后:每件产品为合格品的概率p'=×==0.72,随机抽取3件产品,合格产品件数的期望为3×0.72=2.16,则总利润的期望为2.16×100-3=213(元). 因为213>210,所以值得改进. 16.解:(1)由频率分布直方图得,样本平均数=10×(0.01×50+0.025×60+0.04×70+0.015×80+0.01×90)=69, 故μ≈=69,σ≈s≈11,所以X~N(69,112),所以P(X≥80)= = ≈=0.158 65≈0.16, 所以从生产线中任取1件芯片,该芯片为A等品的概率约为0.16. (2)(i)因为(0.01+0.01)×10×100=20,所以样本中质量指标值在[45,55)和[85,95]内的芯片件数为20,其中质量指标值在[85,95]内的芯片件数为10,故X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==, 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=. (ii)设每箱产品中A等品有Y件,则每箱产品中B等品有(100-Y)件, 设每箱产品的利润为Z元,由题意知Z=mY+(100-Y)ln(25-m)=[m-ln(25-m)]Y+100ln(25-m). 由(1)知每箱产品中A等品的概率为0.16,所以Y~B(100,0.16),所以E(Y)=100×0.16=16, 所以E(Z)=[m-ln(25-m)]E(Y)+100ln(25-m)=16[m-ln(25-m)]+100ln(25-m)=16m+84ln(25-m). 令f(x)=16x+84ln(25-x)(1<x<24),由f'(x)=16-=0,得x=,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以当x=时,f(x)取得最大值,所以当m=时,每箱产品的利润最大. 学科网（北京）股份有限公司 $