规范练70 正态分布2027届高三数学一轮复习试题

**基本信息** 聚焦正态分布核心概念与应用，通过基础巩固到综合提升的层级设计，系统覆盖对称性、参数计算、实际应用等高考高频考点，以题载理，强化数学思维与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|9题（含2021新高考真题）|考查正态分布定义、对称性、3σ原则、参数计算|从概念辨析到基本运算，构建“定义→性质→简单应用”逻辑链| |综合提升练|4题（含实际应用情境）|结合离散系数、二项分布、样本均值分布的综合应用|拓展至跨知识整合，形成“单一分布→多知识关联→实际问题解决”进阶路径|

课时规范练70　正态分布 (分值:77分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.(2025·江西九师联盟模拟)已知某地3月~5月份的日平均气温X(单位:℃)服从正态分布N(15,σ2),若P(X≤14)=0.3,则P(14<X<16)=(　　) A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.7 2.(2025·河北邯郸模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),若P(2<ξ<6)=3p,P(ξ≤6)=4p,则p=(　　) A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 3.(2021·新高考Ⅱ,6)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正确的是(　　) A.σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 4.已知随机变量X,Y满足X~N(μ,σ2),Y~N(μ-2,σ2),若P(X≤1)=P(X≥5),P(0≤Y≤2)=0.6,则P(X≥4)=(　　) A.0.15 B.0.2 C.0.25 D.0.3 5.假设某厂有一条包装食盐的生产线,正常情况下食盐质量服从正态分布N(500,σ2)(单位:g),某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐,称得其质量小于488 g,则判断生产线出现了异常,要求停产检修.由此可以得到σ的最大值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 6.(多选题)(2025·海南中学模拟)某工厂为了提升产量,研究引进了新技术,现抽取一条生产线作为样本,在使用新技术后,每天的产量为450,样本方差为4,已知没有使用新技术前,该生产线每天的产量为440,样本方差为9,若未使用新技术的日产量X与使用新技术后的日产量Y都服从正态分布,则(　　) A.X~N(440,92) B.Y~N(450,22) C.P(X≤450)>P(Y≤450) D.P(Y≥430)<P(Y≤460) 7.随机变量X的概率分布密度函数f(x)=(x∈R),其图象如图所示,设P(X≥2)=0.15,则图中阴影部分的面积为　　　　　. 8.已知某种袋装食品每袋质量X~N(500,16),则随机抽取10 000袋这种食品,袋装质量在区间(492,504]的约　　　　　袋(质量单位:g).(附:X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)  9.已知随机变量X~N(4,42).若P(X<3)=0.3,则P(3<X<5)=　　　　,若Y=2X+1,则Y的方差为　　　　.  综合提升练 10.某地开展法制宣传教育活动.为了解宣传效果,特进行问卷调查,并对每份问卷进行评分,发现最终成绩差异较大.比较差异较大数据的离散程度时,常使用离散系数,其计算公式为:离散系数=.已知2 000份问卷的评分近似服从正态分布,且平均分为64,离散系数为0.25,则所有问卷评分的第84百分位数约为(　　)　附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(|Z-μ|<σ)≈0.68. A.80 B.76 C.68 D.64 11.(多选题)在生物制药行业,药品的有效成分含量(单位:毫克/毫升)直接关系到药品的疗效.经过对生产的药品进行检测分析,某款药品的有效成分含量ξ服从正态分布N(120,σ2),已知P(ξ≥132)=0.1.为了控制药品质量,从一批生产的药品中随机抽取3盒,记有效成分含量在区间(108,132)的药品盒数为X,则下列说法中正确的是(　　) A.P(108<ξ<132)=0.8 B.E(2X+1)=5.8 C.D(3X)=0.48 D.P(X≥1)=0.008 12.某次数学练习中,学生成绩X服从正态分布N(115,σ2),若P(105≤X≤125)=,则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生,至少有2名学生的成绩高于125分的概率是　　　　.  13.(15分)一条生产电阻的生产线,生产正常时,生产的电阻阻值X(单位:Ω)服从正态分布N(1 000,52). (1)生产正常时,从这条生产线生产的电阻中抽取2只,求这两只电阻的阻值在区间(995,1 000]和(1 005,1 010]内各一只的概率;(精确到0.001) (2)根据统计学的知识,从服从正态分布N(μ,σ2)的总体中抽取容量为n的样本,则这个样本的平均数服从正态分布N(μ,).某时刻,质检员从生产线上抽取5只电阻,测得阻值分别为1 000,1 007,1 012,1 013,1 013(单位:Ω).你认为这时生产线生产正常吗?说明理由. (参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3) 参考答案 课时规范练70　正态分布 1.B　解析 由题意知,μ=15.由P(X≤14)=0.3,则P(14<X<15)=P(X<15)-P(X≤14)=0.5-0.3=0.2,所以P(14<X<16)=2P(14<X<15)=2×0.2=0.4.故选B. 2.C　解析 由已知得正态曲线关于直线x=4对称,∴P(ξ≥6)=P(ξ≤2)=4p-3p=p,∴p+3p+p=1,解得p=0.2.故选C. 3.D　解析 对于A,σ越小,代表正态曲线越陡,故A正确;对于B,测量结果服从正态分布N(10,σ2),则正态曲线的对称轴为直线x=10,故B正确;对于C,结合正态曲线可知x=10.01与x=9.99关于对称轴(直线x=10)对称,故C正确;对于D,结合正态曲线可知,区间(9.9,10.2)与(10,10.3)不关于对称轴(直线x=10)对称,故D错误.故选D. 4.B　解析 由P(X≤1)=P(X≥5),得μ==3,则μ-2=3-2=1,故Y~N(1,σ2).由P(0≤Y≤2)=0.6,得P(Y≥2)==0.2.因为X~N(3,σ2),Y~N(1,σ2),所以随机变量X,Y对应的正态密度曲线的形状相同,其对称轴分别为直线x=3,x=1,从而P(X≥4)=P(Y≥2)=0.2.故选B. 5.B　解析 由题可知,488≤500-3σ,解得σ≤4,故σ的最大值为4.故选B. 6.BC　解析 对于选项A,未使用新技术时,日产量X的均值为440,方差为9,得X~N(440,32),故A错误;对于选项B,使用新技术时,日产量Y的均值为450,方差为4,Y~N(450,22),故B正确;对于选项C,P(X≤450)>0.5,P(Y≤450)=0.5,所以P(X≤450)>P(Y≤450),故C正确;对于选项D,因为Y服从正态分布,其图象关于直线x=450对称,所以P(Y≥430)=P(Y≤470),所以P(Y≥430)>P(Y≤460),故D错误.故选BC. 7.0.35　解析 由题意可知X~N(1,σ2),则P(X≤0)=P(X≥2)=0.15,故图中阴影部分的面积为=0.35. 8.8 186　解析 由题意得P(500-4≤X≤500+4)≈0.682 7,P(500-8≤X≤500+8)≈0.954 5,则P(492<X≤496)≈=0.135 9,故P(492<X≤504)≈0.135 9+0.682 7=0.818 6,则袋装质量在区间(492,504]的约有10 000×0.818 6=8 186袋. 9.0.4　64　解析 由题意可知,μ=4,σ=4,即D(X)=16,所以D(Y)=4D(X)=64.因为3+5=2μ,且P(X<3)=0.3,所以P(3<X<5)=1-2P(X<3)=0.4. 10.A　解析 根据题意知,标准差为64×0.25=16,所以评分近似服从正态分布N(64,162).又84%=0.5+,且P(|Z-μ|<σ)≈0.68,故所有问卷评分的第84百分位数约为μ+σ=64+16=80.故选A. 11.AB　解析 已知ξ服从正态分布N(120,σ2),则正态曲线的对称轴为直线μ=120.因为132-120=120-108=12,所以P(ξ≤108)=P(ξ≥132)=0.1,那么P(108<ξ<132)=1-P(ξ≤108)-P(ξ≥132)=1-0.1-0.1=0.8,故A正确;从一批药品中随机抽取3盒,每盒药品有效成分含量在区间(108,132)的概率为0.8,且各盒之间相互独立,所以X~B(3,0.8),所以E(X)=3×0.8=2.4,所以E(2X+1)=2E(X)+1=2×2.4+1=5.8,故B正确;D(X)=3×0.8×(1-0.8)=3×0.8×0.2=0.48,则D(3X)=32×D(X)=9×0.48=4.32,故C错误;P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.23=0.992,故D错误.故选AB. 12.　解析 由题意,学生成绩X服从正态分布N(115,σ2),若P(105≤X≤125)=,则P(115≤X≤125)=×P(105≤X≤125)=,所以P(X>125)=-P(115≤X≤125)=.从参加这次考试的学生中任意选取3名学生,设选中的学生的成绩高于125分的人数为Y,可得变量Y~B(3,),所以至少有2名学生的成绩高于125分的概率为×()2×(1-)+()3=. 13.解 (1)电阻阻值X服从正态分布N(1 000,52),所以μ=1 000,σ=5. 所以生产正常时,从这条生产线生产的电阻中抽取1只,则这只电阻阻值在(995,1 000]和在(1 005,1 010]的概率分别为P1=P(995<X≤1 000)=P(μ-σ≤X≤μ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.341 35, P2=P(1 005<X≤1 010)=P(μ+σ≤X≤μ+2σ)=[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈0.135 9. 故这两只电阻的阻值在区间(995,1 000]和(1 005,1 010]内各一只的概率P=2P1P2=2×0.341 35×0.135 9=0.092 778 93≈0.093. (2)生产正常时,这5个样本的平均数服从正态分布N(1 000,),即N(1 000,()2),记σ=.由题可得=1 009,而1 009>1 000+3, 即>μ+3σ. 因为在一次实验中,小概率事件发生了,因此认为这时生产线生产不正常. 学科网（北京）股份有限公司 $