第59讲　成对数据的统计分析专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦成对数据统计分析，以概念理解为基础、数据计算为核心、模型应用为拓展，通过真实情境问题链培养数据分析与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|3题|样本相关系数、残差图判断|从相关关系定义到线性相关程度分析| |数据计算|4题|列联表补全、残差计算|从数据整理到统计量（χ²、残差）求解| |模型应用|5题|回归方程类型选择、非线性拟合|从线性回归到指数/幂函数模型转化| |综合实践|4题|独立性检验、实际问题分析|从统计推断到现实情境决策|

第59讲　成对数据的统计分析 (时间:45分钟) 1.对于样本相关系数r,下列描述正确的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.r>0表明两个变量线性相关程度很强 B.r<0表明两个变量无关 C.|r|越接近1,表明两个变量线性相关程度越强 D.r越小,表明两个变量线性相关程度越弱 2.下面是一个2×2列联表,其中a,b的值分别为 (　 ) X Y 合计 y1 y2 x1 a 21 73 x2 2 25 27 合计 b 46 100 A.52,54 B.54,52 C.94,146 D.146,94 3.下列四幅残差图对应的回归模型拟合效果最好的是 (　 ) 4.通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳,得到如下列联表: 单位:人 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 已知χ2=,n=a+b+c+d. α 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 则以下结论正确的是 (　 ) A.根据小概率值α=0.001的独立性检验,可以认为是否爱好跳绳与性别无关联 B.根据小概率值α=0.001的独立性检验,可以认为是否爱好跳绳与性别有关联 C.根据小概率值α=0.005的独立性检验,可以认为是否爱好跳绳与性别有关联 D.根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为是否爱好跳绳与性别无关联 5.雨滴在下落过程中,受到的阻力随速度增大而增大,当速度增大到一定程度时,阻力与重力达到平衡,雨滴开始匀速下落,此时雨滴的下落速度称为“末速度”.某学习小组通过试验,得到了雨滴的末速度v(单位:m/s)与直径d(单位:mm)的一组数据,并绘制成如图所示的散点图,则在该试验条件下,下面四个回归方程类型中最适宜作为雨滴的末速度v与直径d的经验回归方程类型的是 (　 ) A.v=a+b B.v=a+bd C.v=a+bd2 D.v=a+bed 6.随着工业化以及城市车辆的增加,城市的空气污染越来越严重,空气质量指数(AQI)一直居高不下,对人体的呼吸系统造成了严重的影响.现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康状况,得到2×2列联表如下,则χ2≈　　　　.(结果精确到0.001)  单位:名 呼吸系统健康状况 工作场所 合计 室外工作 室内工作 有呼吸系统疾病 150 无呼吸系统疾病 100 合计 200 7.从某大学中随机选取8名女大学生,其身高x(单位:cm)与体重y(单位:kg)的数据如下表: x 165 165 157 170 175 165 155 170 y 48 57 50 54 64 61 43 59 若已知y关于x的经验回归方程为=0.85x-85.71,那么选取的女大学生身高为175 cm时,相应的残差为　　　　.  8.足球是一项大众喜爱的运动,某机构为了解是否喜爱足球是否与性别有关联,随机抽取了若干人进行调查,已知抽取的女性人数是男性的2倍,男性中喜爱足球的人数占男性人数的,女性中喜爱足球的人数占女性人数的.若本次调查得出“根据小概率值α=0.005的独立性检验,认为是否喜爱足球与性别有关联”的结论,则被调查的男性人数至少为 (　 ) 附:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.10 B.11 C.12 D.13 9.已知关于变量x,y的一组数据如表所示: x 6 8 10 12 y a 10 6 4 根据表中数据计算得到y关于x的经验回归方程为=-1.4x+20.6,变量x和变量y的样本相关系数为r,则 (　 ) A.a=10 B.变量x,y正相关 C.r=- D.r=- 10.(多选题)[2025·吉林长春模拟] 暑假结束后,为了解假期中学生锻炼身体情况,学生处对所有在校学生做问卷调查,并随机抽取了180人的调查问卷,其中男生比女生少20人,并将调查结果绘制成如图所示的等高堆积条形图. 在被调查者中,下列说法正确的是 (　 ) 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多 B.男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多8 C.经常锻炼者中男生的频率小于不经常锻炼者中男生的频率的2倍 D.根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为假期中学生是否经常锻炼与性别有关联 11.(多选题)已知一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,8),得到的经验回归方程为=3x-3,且=3,去除两个离群点(-1,3)和(1,-3)后,得到的新的经验回归方程中=2.5,则下列说法正确的是 (　 ) A.变量x,y具有正相关关系 B.去除两个离群点后,随x值增加相关变量y值的增加速度变小 C.去除两个离群点后,重新求得的经验回归方程对应的直线一定过点(3,6) D.去除两个离群点后,重新求得的经验回归方程为=2.5x-2 12.某校高二年级羽毛球社团为了解是否喜欢羽毛球运动是否与性别有关联,随机在高二年级抽取了若干人进行调查.已知抽取的女生人数是男生人数的3倍,女生中喜欢羽毛球运动的人数占女生人数的,男生中喜欢羽毛球运动的人数占男生人数的.若本次调查得出“在犯错误的概率不大于0.05的前提下,认为是否喜欢羽毛球运动与性别有关联”的结论,则被调查的男生至少有　　　　人.  附:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 13.某池塘中水生植物覆盖水塘的面积x(单位:dm2)与水生植物的株数y(单位:株)之间有相关关系,收集了4组数据,用模型y=cekx(c>0)去拟合x与y的关系,设z=ln y,x与z的数据如表格所示: x 3 4 6 7 z 2 2.5 4.5 7 得到z关于x的经验回归方程为=1.2x+,则c=　　　　.  14.某专业机械生产厂为甲、乙两地(两地仅气候条件差异较大,其他条件相同)的两个不同机器生产厂配套生产同一种零件,在甲、乙两地分别任意选取100个零件进行抗疲劳破坏性试验,统计每个零件的抗疲劳次数(抗疲劳次数是指从开始试验到零件磨损至无法正常使用时的循环加载次数),将甲、乙两地的试验结果,即每个零件的抗疲劳次数(单位:万次)分别按[7,8],(8,9],(9,10],(10,11],(11,12]分组进行统计,甲地的试验结果整理为如图所示的频率分布直方图(其中a,b,c成等差数列,且2c=3b),乙地的统计结果整理为如下的频数分布表. 抗疲劳次数(单位:万次) [7,8] (8,9] (9,10] (10,11] (11,12] 频数 10 15 30 25 20 (1)求a,b,c的值并计算甲地试验结果的平均数; (2)若零件抗疲劳次数超过9万次,则认为零件质量优秀,完成下列2×2列联表: 单位:个 地点 质量 合计 质量不优秀 质量优秀 甲地 乙地 合计 试根据上面完成的2×2列联表,依据小概率值α=0.05的独立性检验,分析零件质量是否与地点有关联. 附:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 15.[2024·山东淄博二模] 我国近几年着重强调可持续发展,加大新能源项目的支持力度,积极推动新能源汽车产业迅速发展.某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查,得到如下的统计表: 年份t 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x(x=t-2018) 1 2 3 4 5 销量y(万辆) 10 12 17 20 26 (1)计算销量y关于年份代码x的样本相关系数r,并判断是否可以认为y与x有较强的线性相关关系(若|r|≥0.75,则认为有较强的线性相关关系)?若是,求出y关于x的经验回归方程;若不是,说明理由. (2)为了解购车车主的性别与购车种类(分为新能源汽车与传统燃油汽车)的情况,该企业又随机调查了该地区100位购车车主的购车情况,假设一位车主只购一辆车.男性车主中购置传统燃油汽车的有40位,购置新能源汽车的有30位;女性车主中有一半购置新能源汽车.将频率视为概率,已知一位车主购得新能源汽车,求这位车主是女性的概率. 附:样本相关系数r= = ;经验回归方程=x+中,==,=-. 16.[2024·湖南邵阳三模] 某市开展“安全随我行”活动,交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼,并记录了某月该路口1日至10日连续10天骑电动自行车未佩戴头盔的人数y与x日的情况,对统计得到的样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,10)作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. xiyi xiYi 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中Yi=ln yi,=Yi. (1)依据散点图推断y=bx+a与y=ebx+a哪一个更适合作为未佩戴头盔人数y与x日的经验回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)依据(1)的结果和上表中的数据求出y关于x的经验回归方程. (3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性,交警对该路口骑电动自行车的市民进行抽查,得到如下列联表: 单位:人 性别 佩戴头盔情况 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据小概率值α=0.1的独立性检验,能否认为市民骑电动自行车是否佩戴头盔与性别有关联? 附:=,=-,χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考答案 第59讲　成对数据的统计分析 1.C　[解析] 若r为正,则两个变量正相关,若r为负,则两个变量负相关.|r|越接近1,表明两个变量线性相关程度越强,|r|越接近0,表明两个变量线性相关程度越弱.故选C. 2.A　[解析] 由题意可得解得所以a,b的值分别为52,54.故选A. 3.D　[解析] 残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好,显然D选项的拟合效果最好.故选D. 4.A　[解析] 由题知χ2= ≈7.822.因为7.822<10.828=x0.001,所以根据小概率值α=0.001的独立性检验,可以认为是否爱好跳绳与性别无关联,故A正确,B错误;因为7.822<7.879=x0.005,所以根据小概率值α=0.005的独立性检验,可以认为是否爱好跳绳与性别无关联,故C错误;因为7.822>6.635=x0.01,所以根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为是否爱好跳绳与性别有关联,故D错误.故选A. 5.A　[解析] 由一次函数、二次函数及指数函数的性质可知,B,C,D不符合散点的变化趋势.由散点图分布可知,散点图分布在一个幂函数的图象附近,因此,最适宜作为雨滴的末速度v与直径d的经验回归方程类型的是v=a+b.故选A. 6.3.968　[解析] 补全列联表: 单位:名 呼吸系统健康状况 工作场所 合计 室外工作 室内工作 有呼吸系统疾病 150 200 350 无呼吸系统疾病 50 100 150 合计 200 300 500 则χ2=≈3.968. 7.0.96　[解析] 令x=175,得=63.04,所以残差为64-63.04=0.96. 8.C　[解析] 设被调查的男性人数为x,则女性人数为2x,根据题意可得列联表如下: 单位:人 态度 性别 合计 男 女 喜爱足球 不喜爱足球 合计 x 2x 3x 则χ2==,因为根据小概率值α=0.005的独立性检验,认为是否喜爱足球与性别有关联,所以χ2≥7.879=x0.005,即≥7.879,解得x≥11.818 5,又因为列联表中的所有数据均为整数,所以x的最小值为12.故选C. 9.C　[解析] 因为经验回归直线必过点(,),=9,所以=-1.4+20.6=8=,解得a=12,所以选项A错误;由经验回归方程可知,变量x,y负相关,所以选项B错误;样本相关系数r=== -,所以选项C正确,选项D错误.故选C. 10.BCD　[解析] 设男生人数为x,则女生人数为x+20,由题得x+x+20=180,解得x=80,即在被调查者中,男生、女生人数分别为80,100,可得到如下2×2列联表. 单位:人 性别 锻炼情况 合计 经常锻炼 不经常锻炼 男 48 32 80 女 40 60 100 合计 88 92 180 对于A,由表可知,A显然错误;对于B,男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多48-40=8,B正确;对于C,在经常锻炼者中男生的频率为≈0.545 5,在不经常锻炼者中男生的频率为≈0.347 8,≈1.6,C正确;对于D,零假设为H0:假期中学生是否经常锻炼与性别无关联,则χ2=≈7.115>6.635=x0.01,根据小概率值α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为假期中学生是否经常锻炼与性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.01,D正确.故选BCD. 11.ABD　[解析] 对于A,因为经验回归直线的斜率大于0,所以变量x,y具有正相关关系,故A正确;对于B,因为2.5<3,所以随x值增加相关变量y值的增加速度变小,故B正确;对于C,将=3代入=3x-3得=6,则去掉两个离群点后,得到的新的相关变量的平均值分别为==4,==8,所以重新求得的经验回归方程对应的直线一定过点(4,8),故C错误;对于D,=8-2.5×4=-2,此时的经验回归方程为=2.5x-2,故D正确.故选ABD. 12.35　[解析] 设男生人数为x,则女生人数为3x,所以女生中喜欢羽毛球运动的人数为x,男生中喜欢羽毛球运动的人数为x,所以得到的列联表如下: 单位:人 是否喜欢羽毛球运动 性别 合计 男 女 喜欢 x x x 不喜欢 x x x 合计 x 3x 4x 由χ2==>3.841=x0.05,解得x>31.688 25,又列联表中所有数据均为整数,所以x的最小值为35,故被调查的男生至少有35人. 13.e-2　[解析] 由已知可得,==5,==4,所以有4=1.2×5+,解得=-2,所以=1.2x-2,由z=ln y,得ln =1.2x-2,所以=e1.2x-2=e-2·e1.2x,则c=e-2. 14.解:(1)由频率分布直方图的性质可得0.05+a+b+c+0.35=1,即a+b+c=0.6,因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,所以b=0.2, 又2c=3b,所以c=0.3,a=0.1, 所以=7.5×0.1+8.5×0.3+9.5×0.35+10.5×0.2+11.5×0.05=9.3. (2)由甲地试验结果的频率分布直方图可得,抗疲劳次数超过9万次的零件个数为100×(0.35+0.2+0.05)=60,不超过9万次的个数为100-60=40,由乙地试验结果的频数分布表可得,抗疲劳次数超过9万次的零件个数为30+25+20=75,不超过9万次的零件个数为10+15=25,所以补全2×2列联表如下: 单位:个 地点 质量 合计 质量不优秀 质量优秀 甲地 40 60 100 乙地 25 75 100 合计 65 135 200 零假设为H0:零件质量与地点无关联,根据列联表中的数据,得χ2==≈5.128>3.841=x0.05,根据小概率值α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为零件质量与地点有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05. 15.解:(1)由题意得=×(1+2+3+4+5)=3, =×(10+12+17+20+26)=17, xiyi=295,=55,(yi-)2=164,所以r= = =>0.75, 因此,y与x有较强的线性相关关系. == =4,=- =17-4×3=5,所以y关于x的经验回归方程为=4x+5. (2)由题意知,100位购车车主中,男性车主有70位,女性车主有30位,购置新能源汽车的男性车主有30位,购置新能源汽车的女性车主有15位. 设A=“一位车主购得新能源汽车”,B=“车主是女性”,则一位车主购得新能源汽车,这位车主是女性的概率为P(B|A)===. 16.解:(1)依据散点图可以判断,y=ebx+a更适合作为未佩戴头盔人数y与x日的经验回归方程类型. (2)由Yi=ln yi,得Y=ln(ebx+a)=bx+a,依题意得===-=-0.3,=-=1.9-(-0.3)×5.5=3.55,所以=-0.3x+3.55,即=e-0.3x+3.55. (3)零假设为H0:市民骑电动自行车是否佩戴头盔与性别无关联.根据列联表中的数据,得χ2==≈3.636>2.706=x0.1, 根据小概率值α=0.1的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为市民骑电动自行车是否佩戴头盔与性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $