第55练 抛物线 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以抛物线定义与几何性质为核心，通过分层题型构建"概念辨析-定义应用-综合运算-创新拓展"的方法体系，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-2题|标准方程转化、焦点准线判断|从标准方程到几何量关系，构建概念认知| |定义应用|3-5题|定义法距离转化、最值模型|定义与平面几何结合，培养直观想象| |综合运算|6-14题|韦达定理、参数方程、面积公式|代数运算与几何性质融合，发展运算能力| |创新拓展|15-16题|光学性质、垂心判定、内切圆|跨知识综合应用，提升推理与创新意识|

第55练　抛物线 1.(多选题)对抛物线y=-4x2,下列描述正确的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.开口向左,焦点为(-1,0) B.开口向左,准线方程为x=1 C.开口向下,准线方程为y= D.开口向下,焦点为 2.[2025·湖南常德模拟] 已知F为抛物线C:y2=8x的焦点,点M在C上,且|MF|=6,则点M到y轴的距离为 (　 ) A.6 B.5 C.4 D.4 3.[2025·江苏连云港模拟] 已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2x的焦点,另外两个顶点在抛物线上,则这个等边三角形的边长为 (　 ) A.2- B.2± C.4-2 D.4±2 4.方程=|x+y-3|表示的曲线为 (　 ) A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.直线 5.已知点P(x,y)是准线为l的抛物线x2=4y上一动点,PM⊥l于点M,点Q(2,0),则|PM|+|PQ|的最小值是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.(多选题)[2023·新课标Ⅱ卷] 设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 (　 ) A.p=2 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P(4,m)在C上,则|PF|=　　　　.  8.已知抛物线C:y2=8x的顶点为O,焦点为F.点P在C上,点Q与点P关于y轴对称.若QF平分∠PFO,则点P的横坐标为　　　　.  9.[2026·江西南昌模拟] 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F作直线l与抛物线C交于A,B两点.当直线l⊥y轴时,|AB|=4. (1)求抛物线C的标准方程; (2)若直线l的斜率为1,O为坐标原点,求△ABO的面积. 10.已知抛物线y2=2px(p>0),直线l:y=2x-1与该抛物线交于A,B两点,点M为线段AB的中点,过点M向该抛物线的准线作垂线,垂足为M1.若|MM1|=,则p= (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 11.[2025·安徽安庆模拟] 已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点F的直线l与C交于A,B两点,则下列说法正确的是 (　 ) A.焦点F到抛物线C的准线的距离为8 B.+= C.若线段AB的中点的纵坐标为4,则|AF||BF|=8 D.若2|BF|=|AF|,O为坐标原点,则S△AOF=4 12.[2025·北京海淀区三模] 抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x+3)2+y2=1相切,则p的值为　　　　.  13.已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,点P在C上,点Q满足=4,则直线OQ的斜率的最大值是　　　　.  14.[2026·江苏南京模拟] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,E(4,0),O为坐标原点,C上存在点P到O和E的距离都等于2. (1)求抛物线C的方程. (2)过点E的直线l交抛物线C于A,B点,直线AF与C相交于另一点M,直线BF与C相交于另一点N. (i)求证:OA⊥OB; (ii)求证:直线MN经过定点. 15.(多选题)[2025·广东东莞模拟] 抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经过抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出,反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,一束平行于x轴的光线l1从点P(m,n)(n2<4m)射入,经过抛物线上的点A(x1,y1)反射后,再经抛物线上另一点B(x2,y2)反射后,沿直线l2射出,经过点N,则下列结论中正确的是 (　 ) A.点A(x1,y1)关于x轴的对称点在直线l2上 B.若n=2,PB平分∠ABN,则m=5 C.若n=2,则抛物线上不存在点Q,使得QA⊥QB D.存在点P使得点F是△POB的垂心 16.[2025·黑龙江大庆模拟] 已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,过点P作直线PM⊥l于点M,且△PMF的内心为H,则△PMF内切圆的面积为　　　　.  第55练　抛物线 1.CD　[解析] 抛物线的标准方程为x2=-y,开口向下,焦点为,准线方程为y=.故选CD. 2.C　[解析] 由F为抛物线C:y2=8x的焦点,点M在C上,且|MF|=6,可得点M到C的准线x=-2的距离为6,所以点M到y轴的距离为6-2=4.故选C. 3.D　[解析] 由题可知,抛物线的焦点为,准线方程为x=-,设等边三角形的边长为a,则acos 30°+1=a或1-acos 30°=a,则a=4±2.故选D. 4.A　[解析] 由题意得=,即动点(x,y)到定点(-1,2)的距离与到直线x+y-3=0的距离相等,且点(-1,2)不在直线x+y-3=0上,故方程表示的曲线为抛物线.故选A. 5.C　[解析] 由题意知抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),连接PF,QF,如图.由抛物线的定义可得|PM|=|PF|,则|PM|+|PQ|=|PF|+|PQ|≥|QF|==3,当且仅当P在线段FQ上时等号成立,故|PM|+|PQ|的最小值是3.故选C. 6.AC　[解析] 直线y=-(x-1)与x轴的交点为(1,0),即抛物线的焦点为(1,0),因此p=2,A正确;抛物线C的方程为y2=4x,由 消去y化简得3x2-10x+3=0,可得x1=,x2=3,则M,N(3,-2)(设M在第一象限,N在第四象限),所以|MN|=,B错误;因为|OM|=,|ON|=,|MN|=,所以△OMN不是等腰三角形,D错误;以MN为直径的圆的圆心的横坐标为=,圆心到准线l的距离为+==,因此以MN为直径的圆与l相切,C正确.故选AC. 7.5　[解析] ∵抛物线C:y2=4x,∴p=2.∵P(4,m)在C上,∴|PF|=4+=4+1=5. 8.2　[解析] 如图,因为PQ∥FO,∠QFO=∠QFP,所以∠PQF=∠QFP,故|PQ|=|PF|,故点Q在抛物线C的准线上,故xQ=-=-2,由P,Q关于y轴对称,得xP=-xQ=2. 9.解:(1)由题可知F.如图①,当直线l⊥y轴时,可设A,B,则|AB|=2p. 又|AB|=4,故2p=4,解得p=2,故抛物线C的标准方程为x2=4y. (2)如图②,由(1)知F(0,1),又直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y=x+1.由得x2-4x-4=0,Δ=16+16=32>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 根据根与系数的关系可得x1+x2=4,x1x2=-4,所以|x1-x2|= =4,所以△ABO的面积S=S△AFO+S△BFO=×|OF|×|x1-x2|=×1×4=2. 10.B　[解析] 设抛物线的焦点为F,如图,连接AF,BF,过点A,B分别向该抛物线的准线作垂线,垂足分别为A1,B1,所以|AA1|+|BB1|=2|MM1|=,所以|AF|+|BF|=.设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p.由可得4x2-(4+2p)x+1=0,Δ=4p2+16p>0,则x1+x2=,由|AF|+|BF|=x1+x2+p=+p=,解得p=3.故选B. 11.D　[解析] 抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,所以焦点F到抛物线C的准线的距离为4,A错误.设A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线AB不垂直于y轴,可设直线AB的方程为x=my+2,由得y2-8my-16=0,Δ=64m2+64>0,则 故x1x2=·=4,所以+=+= = =,B错误.对于C,若线段AB的中点的纵坐标为4,则y1+y2=8m=8,解得m=1,可得x1+x2=y1+2+y2+2=8+4=12,故|AF|+|BF|=x1+x2+4=16,又+==,所以|AF||BF|=32,C错误.对于D,如图,不妨设点A在第一象限,分别过点A,B作AA1,BB1垂直于准线,垂足分别为A1,B1,设直线AB与准线交于点E,|AF|=2|BF|=2n,则|BB1|=n,|AA1|=2n,因为BB1∥AA1,所以==,即=,解得|BE|=3n,则cos∠EBB1==,则tan∠EBB1=2,故直线AB的斜率为2,直线AB的方程为x=y+2,与y2=8x联立得y2-2y-16=0,解得y1=4,y2=-2,所以S△AOF=×2×4=4,D正确.故选D. 12.4或8　[解析] 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,圆(x+3)2+y2=1的圆心为(-3,0),半径为1.又准线x=-与圆(x+3)2+y2=1相切,所以=1,故p=4或p=8. 13.　[解析] 由题意得抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线方程为x=-,因为拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为2,所以-=p=2,所以该抛物线的方程为y2=4x.设Q(x0,y0),又F(1,0),则=4=(4-4x0,-4y0),所以P(5x0-4,5y0),由P在抛物线C上可得25=20x0-16,故x0=,所以直线OQ的斜率k==.当y0=0时,k=0;当y0<0时,k<0;当y0>0时,k==≤=,当且仅当25y0=,即y0=时,等号成立.综上,直线OQ的斜率的最大值为. 14.解:(1)如图①,由题意得E(4,0),则|OE|=4,由|PO|=|PE|=2,可得P在线段OE的中垂线上,故设点P的坐标为(2,y0), 由两点间的距离公式得|OP|2=4+=12,解得=8,又点P在C上,则=4p,即4p=8,解得p=2, 故抛物线C的方程为y2=4x. (2)(i)证明:如图,设直线l的方程为x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2), 由消去x整理得y2-4my-16=0,易知Δ1=16m2+64>0,则y1+y2=4m,y1y2=-16,故x1x2=·==16. 又=(x1,y1),=(x2,y2),故·=x1x2+y1y2=16-16=0,可知⊥,即OA⊥OB. (ii)证明:由(1)得焦点F(1,0),设直线MN的方程为x=ny+t, M(x3,y3),N(x4,y4), 由消去x整理得y2-4ny-4t=0,则Δ2=16n2+16t>0,故y3y4=-4t,由A,F,M三点共线,可得∥,又=(x1-1,y1),=(x3-1,y3), 故(x1-1)y3=(x3-1)y1,将x1=,x3=代入,化简得(-4)y3=(-4)y1,即y3-y1+4y1-4y3=0,所以(y1y3+4)(y1-y3)=0,又y1≠y3,可知y1y3=-4,同理可得y2y4=-4, 则y1y2y3y4=-16×(-4t)=-4×(-4),解得t=,故直线MN的方程为x=ny+,故直线MN过定点. 15.BCD　[解析] 对于A,由题意知,只有当AF⊥x轴时,点A(x1,y1)关于x轴的对称点才在直线l2上,l1,l2不一定关于x轴对称,故A错误.对于B,C,当n=2时,A(1,2),又F(1,0),则AF⊥x轴,故B(1,-2),则l1,l2的方程分别为y=2和y=-2,关于x轴对称,此时l1⊥AB,l2⊥AB,又PB平分∠ABN,所以∠ABP=45°,故△PAB为等腰直角三角形,则|PA|=|AB|=4,即P(5,2),故m=5,故B正确.若抛物线上存在点Q(xQ,yQ),使得QA⊥QB,则kQA·kQB=-1,又kQA===,kQB===,所以·=-1,即=-12,无解,故抛物线上不存在点Q,使得QA⊥QB,故C正确.对于D,设P(x0,y0),则A,kAF==,则直线AF的方程为y=(x-1),与抛物线方程y2=4x联立,得y2-y-=0,则yAyB=-4,所以yB=,则xB=,即B.若存在点P使得点F是△POB的垂心,则⊥,⊥,又=(1,0),=,则·=-x0=0①.又=(x0,y0),=,则·=-x0-4=0②.易得4x0>>0③,由①③可得x0>1,由①②得-x0-4=0,又x0>1,故x0=,故D正确.故选BCD. 16.π　[解析] 方法一:由抛物线的光学性质知直线PH和抛物线相切,不妨设P(t,2),t>0,由y=2,得y'=,则kPH==,又t>,故t=3,所以P(3,2),则M(-1,2),又F(1,0),所以|PF|=|PM|=|MF|=4,故△PMF为等边三角形,则其内切圆的半径r=××4=,故△PMF内切圆的面积为πr2=π. 方法二:如图,设△PMF的内切圆H与PM,MF,FP的切点分别是E,N,Q,连接HE,HN,HQ,由|PE|=|PQ|,|PM|=|PF|,得|ME|=|FQ|,又|ME|=|MN|,|FQ|=|NF|,故|MN|=|NF|,所以N在y轴上,连接PN,所以PN是∠MPF的平分线,所以H在直线PN上.设P,则M(-1,y0),N,且y0≠0,又F(1,0),H,kPH=kPN,所以=,解得y0=2或y0=,若y0=,则与yH=矛盾,舍去,故y0=2,所以P(3,2),M(-1,2),易知|PF|=|PM|=|MF|=4,设内切圆的半径为r,由S△PMF=×4×2=×12×r,解得r=,则△PMF内切圆的面积为πr2=π. 学科网（北京）股份有限公司 $