第八章 课时作业7 抛物线的方程与性质-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦抛物线定义与方程，通过分层题型系统构建“概念-性质-应用”逻辑链，提炼定义转化、方程联立等核心方法，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3|定义法求焦点/准线|从标准方程到焦点坐标的直接推导| |方程与性质应用|6|焦半径公式、弦长公式|性质推导到距离/面积计算的应用| |综合证明|3|向量法、韦达定理|几何关系转化为代数运算的推理| |实际应用|1|数学建模|实际问题抽象为抛物线模型的表达|

课时7 抛物线的方程与性质 一、单选题 1．抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　 　) A．(0,2) B．(0,1) C．(2,0) D．(1,0) 2. 抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南常德市一模）已知直线l过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是12，且AB的中点到x轴的距离是4，则此抛物线的方程是(　 　) A．x2＝12y B．x2＝8y C．x2＝6y D．x2＝4y 4．（2024·江西新余市模拟）已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（     ） A． B．1 C．2 D．4 5．(2026·福建厦门市双十中学模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的交点，若＝4，则FQ＝(　 　) A． B． C． D． 6．（2026·广东实验中学期中）已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7、（2026·八省联考）已知是抛物线的焦点，是上的点，为坐标原点．则有　　 A． B． C．以为圆心且过的圆与的准线相切 D．当时，△的面积为 8．已知O为坐标原点，直线y＝x－1与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，则有(　　) A．AB＝8 B．OA⊥OB C．△AOB的面积为2 D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2 9．（2024·全国新课标Ⅱ卷） 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，切点为Q，过P作l的垂线，垂足为B，则有（ ） A. l与圆相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当PB=2时， D. 满足PA=PB的点有且仅有2个 三、填空题 10、（2026·北京高考）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 11、已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(3，t)与焦点F的距离MF＝p，则点M到坐标原点O的距离为__ __． 12．在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米． 四、解答题 13．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）过点向轴作垂线，垂足为，过点的直线与抛物线交于，，，两点，证明：为直角三角形为坐标原点）． 14．在平面直角坐标系中，已知抛物线，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，且当在轴上时，.其中O为坐标原点.求： (1)抛物线的方程； (2)点到直线距离的最大值. 课时7 抛物线的方程与性质参考答案 1．D【解析】因为2p＝4，p＝2，所以＝1，所以焦点坐标为(1,0)．故选D. 2．C【解析】由题可设抛物线的方程为，则准线方程为， 当时，可得，可得，又，，所以，即，解得，所以的方程为.故选C. 3．B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝y1＋y2＋p＝8＋p＝12，所以p＝4，故抛物线的方程为x2＝8y．故选B. 4．A【解析】因为点在抛物线上，为抛物线的焦点， ，解得，故抛物线的方程为，,，则的面积．故选A． 5．A【解析】易知抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．如图，设点P(－1，t)，Q(x，y)， 因为＝4，即(－2，t)＝4(x－1，y)，可得解得即点Q．由抛物线的焦半径公式可得FQ＝＋1＝．故选A. 6．A【解析】因为抛物线，所以抛物线的准线为，焦点为.所以点P到准线的距离PA等于点P到焦点F的距离PF，即. 所以点P到直线和直线的距离之和.所以当B，P，F三点共线时，最小.因为，所以.所以点P到直线和直线的距离之和的最小值为．故选A． 7、ABC【解析】是抛物线的焦点，所以，，选项正确； 又是上的点，，，当且仅当与原点重合时，等号成立，选项正确； 根据抛物线的定义，可得等于到准线的距离，所以以为圆心且过的圆与的准线相切，选项正确； 当时，，，所以△的面积为，选项错误．故选． 8．AC【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线C：y2＝4x，则p＝2，焦点为(1，0)，则直线y＝x－1过焦点．联立消去y得x2－6x＋1＝0，易得Δ>0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8，故A正确； y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝－4，由·＝x1x2＋y1y2＝1－4＝－3≠0，所以 OA与OB不垂直，故B错误； 原点到直线y＝x－1的距离为d＝＝，所以△AOB的面积为S＝×d×AB＝××8＝2，故C正确； 因为线段AB的中点到直线x＝0的距离为＝＝3，故D错误．故选AC. 9．ABD 【解析】 对于选项A，抛物线的准线为，圆A的圆心到直线的距离显然是1，等于圆的半径，故准线和圆A相切，A选项正确； 对于选项B，三点共线时，即，则的纵坐标，由，得到，故，此时切线长，B选项正确； 对于选项C，当时，，此时，故或，当时， ，，，不满足；当 时，，，，不满足；于是不成立，C选项错误； 对于选项D，方法一（利用抛物线定义转化）：根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，，中点，中垂线的斜率为，于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，，即的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二（设点直接求解）:设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得，，则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，D选项正确.故选ABD. 10、6【解析】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故. 11、3【解析】抛物线y2＝2px的准线为x＝－．由抛物线的定义得3－＝p，解得p＝6，所以抛物线的方程为y2＝12x．由点M(3，t)在抛物线上，得t2＝36，所以MO＝＝3，所以点M到坐标原点O的距离为3． 12．60【解析】如图，以安全抛物线达到的最大高度点为坐标原点，平行于底面的直线为x轴，和地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则抛物线方程为，由题意可知，代入可得，即安全抛物线的焦点到其准线的距离为60米. 13．（1） 【解】因为，所以，即．所以抛物线的方程为. （2）【证明】 由题易知，设直线的方程为，联立消去 得，所以，．因为，所以 ，所以．所以，所以．所以 为直角三角形． 14．【解】（1）当在轴上时，即，由题意不妨设则， 设过点的切线方程为，与联立得.由直线和抛物线相切可得，，所以.由得，所以，.由可得，解得，所以抛物线的方程为. （2），所以，设，，则，又，所以，即，同理可得.又为直线上的动点，设，则，.由两点确定一条直线可得的方程为，即，所以直线恒过定点，所以点到直线距离的最大值为. . 学科网（北京）股份有限公司 $