2.2 基本不等式课后同步练习-2026年暑假预习高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 这份同步练习通过基础到提升的三层设计，覆盖基本不等式从单一应用到综合拓展的巩固路径，适配暑假自主学习，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一条件直接应用|单选1-4题，如“x满足条件求函数最小值”，强化“一正二定三相等”基础运算| |中档|综合条件变形应用|单选5-8题及多选11-12题，如“a+b=1求最值”，涉及条件转化，培养推理能力| |提升|多变量与拓展应用|解答题15-16题，含3小问递进，如“已知xy条件求最值”，发展模型意识与创新思维|

2.2 基本不等式课后同步练习 1．（25-26高二下·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）设，，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】由可得，然后由基本不等式1的妙用可得答案. 【详解】两边同时除以，得到， ， 当且仅当，即，时等号成立. 3．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【详解】由，，，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为9. 4．（25-26高三上·福建宁德·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据题意得，再利用基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：因为正实数，满足， 所以，即， 所以 ，当且仅当，即， 又因为，所以时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 5．（25-26高一上·河南洛阳·期中）设实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得，再通过同号，和异号，利用基本不等式即可求解. 【详解】由，则， 当同号时，由，当且仅当时，取等号， 当异号时，由，当且仅当时，取等号， 综上的范围为， 故选：A 6．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．9 B．10 C．18 D．24 【答案】C 【分析】将已知式变形为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，，且，所以， 又由可得，所以， 所以，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18. 故选：C. 7．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】原式变形可得，由得， 所以 ， 当且仅当即时取等号； 所以. 故选：C 8．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期中）若正数满足，则最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】D 【分析】根据已知条件，利用基本不等式构造关于的不等式，结合换元法解不等式得出的取值范围，最后利用基本不等式的取等条件得出最小值． 【详解】， ，当且仅当时取等号， 令，则，不等式化为：，解得或（，舍去）， ，，当且仅当时等号成立， 的最小值为9． 故选：D． 9．（25-26高三上·湖北孝感·开学考试）已知，，，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据题意将表达式中的“2”进行替换，将分式化为齐次式，再利用基本不等式计算即可. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，则的最大值为． 故选：D． 10．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 11．（25-26高二上·湖南株洲·期末）（多选）已知，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先化简成同底数幂，再利用基本不等式（积定和最小）可判断A；先利用消元法，再利用基本不等式可判断B；利用基本不等式（和定积最大）、柯西不等式、二次函数单调性均可判断C；利用常数代换法、函数单调性均可判断D. 【详解】A.由基本不等式得 =，当且仅当，即时等号成立，A正确； B.由得， =，当且仅当， 即时等号成立，B错误； C.法一：（基本不等式）由得，即， ，所以， 当且仅当，即时等号成立， 法二：（柯西不等式）， 同理时等号成立， 法三：（二次函数单调性）由得， ， 当时，函数有最小值，C正确； D. 法一：（常数代换法）由得， ==1， 当且仅当，即时取等号， 法二：（函数单调性）由得, =，令， 二次函数开口向下，对称轴，当时， 所以，当且仅当时取等号，D正确. 12．（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对于A：利用基本不等式求最值即可；对于B：消元整理可得，进而分析最值；对于C：平方整理可得，进而分析最值；对于D：整理可得，利用“”的妙用结合基本不等式运算求解. 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 13．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）（多选）下列结论正确的有（     ） A．若，则的最大值为6 B．若，，，则的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及对勾函数的单调性，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由，且，可得， 则，即， 解得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由，令， 因为在上单调递增，所以最小值为，所以C错误； 对于D，由，令，则， 因为在单调递增，所以最小值为，所以D正确． 14．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 【答案】 【分析】通过凑出均值不等式的前提条件后求解. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. 15．（25-26高一上·广东惠州·期中）根据题意，求解下列问题： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求最小值； (3)已知，，，，求的最大值. 【答案】(1)18 (2)9 (3) 【分析】（1）利用“1”的妙用，把转化为，然后利用基本不等式求解； （2）将通过变形转化为，然后利用基本不等式求解； （3）首先将原式化简整理为，然后根据均值不等式并将代入得：，最后根据二次函数求解最大值即可. 【详解】（1）由可得：，又，， 所以， 当且仅当，即时成立，结合，可知：取等条件为，. 因此可得：的最小值为. （2）因为，所以，， 当且仅当，即时取等. 因此可得：函数在上的最小值为. （3） ， 的最大值为. 当且仅当，即，时等号成立. 16．（25-26高一上·湖南岳阳·阶段检测）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最大值． 【答案】（1）1；（2）． 【分析】（1）先将变形为，再利用基本不等式求解； （2）先将变形为，再利用基本不等式求解. 【详解】（1），， 原式， 当且仅当，即时，等号成立，故所求最大值为1． （2），， ， 当且仅当，即时取等号，的最大值为． 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式课后同步练习 1．（25-26高二下·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）设，，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．10 D． 3．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 4．（25-26高三上·福建宁德·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．4 5．（25-26高一上·河南洛阳·期中）设实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．9 B．10 C．18 D．24 7．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期中）若正数满足，则最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．9 9．（25-26高三上·湖北孝感·开学考试）已知，，，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 10．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 11．（25-26高二上·湖南株洲·期末）（多选）已知，，且，则（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 13．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）（多选）下列结论正确的有（     ） A．若，则的最大值为6 B．若，，，则的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 14．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 15．（25-26高一上·广东惠州·期中）根据题意，求解下列问题： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求最小值； (3)已知，，，，求的最大值. 16．（25-26高一上·湖南岳阳·阶段检测）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最大值． 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $