2026-2027学年新高一暑假预习成果检测----2.2基本不等式 高中数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦基本不等式的暑假预习检测，通过基础巩固、中档综合到实际应用的三层设计，实现从概念理解到模型构建的能力进阶，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点直接应用|单选题1-2考查基本不等式成立条件与简单最值，夯实概念理解| |中档|条件最值与简单综合|单选题3-5、填空题12-14涉及“1”的代换、配凑法，多选题9-11强化推理辨析| |综合|实际应用与多知识点综合|解答题15-19结合容积、造价等实际情境，如第19题长方体贮水池建模，提升模型意识与运算能力|

2026-2027学年新高一暑假预习成果检测----2.2基本不等式 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则取最大值时x的值是（   ） A． B． C． D． 3．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 5．已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 7．已知，则函数有（    ） A．最大值1 B．最小值9 C．最小值1 D．最大值9 8．已知正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 10．对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知x，y是正数，且，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 三、填空题 12．若正数、满足，则的最大值为_____________. 13．如图所示，某学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为___________. 14．已知，，则的最小值是___ 四、解答题 15．已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 16．（1）已知，求的最小值； （2）已知，，，求的最小值； 17．若，，且． (1)求的取值范围； (2)求的最小值． 18．已知，都是正数 (1)求的最小值，并求此时的值. (2)若，求的最大值，并求此时的、的值. 19．如图所示，某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m.    (1)若水池的长比宽至少多60m，求水池的宽的最大值； (2)若池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A D C B C ACD ACD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据不等式性质和基本不等式进行分析，再结合特殊值法进行判断即可. 【详解】对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于A ，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于D，由题干无法判断，故D错误. 故选：C. 2．A 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当等号成立. 故选：A. 3．D 【分析】将，变式得，代入到目标式中，再利用基本不等式性质，求解即可. 【详解】已知正实数满足，所以（，因为） 将代入目标表达式，得：， 化简：， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即，，（符合为正实数）. 所以，的最小值为： 故选：D 4．A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 5．D 【分析】利用基本不等式得出，结合题干信息得出，利用即可. 【详解】因，则，等号成立时， 因，则，即， 解得，即， 因不等式恒成立，则，故实数的最小值是. 故选：D 6．C 【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 7．B 【分析】利用基本不等式求最小值，则可得函数有最小值9. 【详解】因为，所以，根据基本不等式可知：， 当且仅当，即取等号，故. 即函数有最小值9. 故选：B. 8．C 【分析】根据已知等式，利用基本不等式“1”的巧用求解最值即可. 【详解】∵， ∴， 当且仅当，即，时，取等号， ∴的最小值为. 故选：C. 9．ACD 【分析】利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解． 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 10．ACD 【分析】根据，整理变形，可判断A的正误；根据基本不等式可判断B、C的正误；利用作差法，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 11．ABD 【分析】利用基本不等式求解最值判断AC；，结合A选项即可求解判断B；利用常数代换得，然后利用基本不等式求解最值即可判断D. 【详解】对于A，因为x，y是正数，，所以， 当且仅当且，即，时，的最大值为，A正确； 对于B，， 当且仅当，时，的最小值为，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为1，C错误； 对于D，， 当且仅当，，即，时等号成立， 故的最小值为，D正确. 故选：ABD. 12．/0.25 【详解】由题意，， 则，即，当且仅当时等号成立， 则的最大值为. 13． 【分析】设利用旧墙的长度为米，由面积求得矩形的另一边长，根据题意求得修建此矩形场地的总费用，利用基本不等式即可求解. 【详解】设利用旧墙的长度为米，修建此矩形场地的总费用为元， 由题意知，矩形的另一边长为米， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 所以为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为. 故答案为：. 14．/ 【分析】应用换元法，结合基本不等式求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，原式， 当且仅当，即，时取等号，故目标式的最小值为. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）直接利用基本不等式来建立和与积的关系，从而求出的最大值； （2）构造，则，展开后根据基本不等式计算即可求出最小值. 【详解】（1）因为，，， 所以，即 化简可得： 当且仅当时，等号成立. 因此，的最大值为. （2）因为，所以. 所以 当且仅当（即）时取等号. 结合，解得，. 因此，的最小值为. 16．（1）；（2）16 【分析】（1）利用基本不等式计算可得； （2）利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）因为，，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据基本不等式建立关于的一元二次不等式，由此可求的取值范围； （2）采用消元法，用表示，再通过配凑法可求的最小值. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，所以或(舍)， 所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为； （2）因为，所以，由，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 18．(1)时，最小值为4. (2)时，最大值为. 【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值即可. （2）利用基本不等式得到，进而求解最值即可. 【详解】（1）因为， 所以，由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得. （2）因为，都是正数， 所以，由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 则，解得，即有最大值为. 19．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设水池的长、宽分别为，则，且，由题意可得，解不等式即可求解； （2）设水池总造价为元，结合题意可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）设水池的长、宽分别为，则，且， 由题意得，即， 所以，因为， 所以，即， 即，解得， 又，所以， 所以水池的宽的最大值为20. （2）设水池总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，将水池的地面设计为边长为的正方形时总造价最低，最低总造价为元. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $