第54讲　双曲线专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 双曲线专项训练以定义与几何性质为核心，通过分层题型构建“概念-性质-应用”逻辑链，提炼定义法、方程法等可迁移技巧，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-5题|定义法判断轨迹、标准方程转化|从双曲线定义生成方程，明确焦点、实虚轴关系| |几何性质|6-12题|离心率公式法、渐近线斜率关系|推导离心率与a,b,c关系，关联渐近线垂直等特殊性质| |综合应用|13-17题|焦点三角形余弦定理、实际问题建模|结合椭圆跨曲线综合，应用几何性质解决复杂计算与证明|

第54讲　双曲线 (时间:45分钟) 1.已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C上有一点P,若|PF1|=5,则|PF2|= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.13 B.11 C.1或11 D.11或13 2.[2024·北京西城区二模] 已知双曲线C:mx2+ny2=1的焦点在y轴上,且C的离心率为2,则 (　 ) A.3m-n=0 B.m-3n=0 C.3m+n=0 D.m+3n=0 3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线相互垂直,焦距为12,则该双曲线的虚轴长为 (　 ) A.6 B.6 C.9 D.12 4.已知x,y满足-=4,则动点M(x,y)的轨迹是 (　 ) A.一条射线 B.一条直线 C.椭圆 D.双曲线的一支 5.(多选题)[2024·南京二模] 若实数x,y满足-y2=1,则 (　 ) A.|x|≥ B.x2+y2≥2 C.< D.|x-y|≤ 6.[2024·济南三模] 已知双曲线C1过点A(-,1),且与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,则双曲线C1的标准方程为　　　　　　　　.  7.[2024·南京一模] 设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F,过F作一条渐近线的垂线,垂足为E.若线段EF的中点在C上,则C的离心率为　　　　.  8.双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,如图所示,它的最小半径为4米,上口半径为米,下口半径为米,高为24米,则该双曲线的离心率为 (　 ) A.2 B. C. D.2 9.已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左支交于点A,与双曲线的右支交于点B,若|AF1|=2a,∠F1AF2=,则= (　 ) A.1 B. C. D. 10.[2024·武汉模拟] 已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,其左、右顶点分别为A,B,过F且与x轴垂直的直线交双曲线E于M,N两点,设线段MF的中点为P,若直线BP与直线AN的交点在y轴上,则双曲线E的离心率为 (　 ) A.2 B.3 C. D. 11.(多选题)已知曲线C的方程为-=1,则下列说法正确的是 (　 ) A.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则m>-n>0 B.曲线C可能是圆 C.若mn<0,则曲线C一定是双曲线 D.若曲线C为双曲线,则其渐近线方程为y=±x 12.(多选题)[2024·安徽芜湖模拟] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,其左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,过点F1的直线l交双曲线C于P,Q两点,交两条渐近线于M,N两点(P,M在第一象限),MN的中点为R,则下列说法正确的是 (　 ) A.若直线l的斜率为,则b2>3a2 B.△PQF2的周长为2|PF1| C.以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆相交 D.若点M恰为以F1F2为直径的圆与渐近线的一个交点,且A2R⊥PF1,则e=2 13.过双曲线-y2=1的一个焦点作倾斜角为60°的直线,则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是　　　　.  14.[2024·湖北七市模拟] 已知双曲线C:x2-=1的左、右顶点分别为A,B,点P在双曲线C上且位于第一象限,直线PA,PB的倾斜角分别为α,β,则tan α·tan β=　　　　;当2tan α+tan β取到最小值时,△PAB的面积为　　　　.  15.已知双曲线C的焦点在x轴上,其渐近线方程为y=±x,实轴长为2. (1)求双曲线C的方程; (2)过点P(0,1)的直线与双曲线C的左、右两支各交于一点,求该直线的斜率k的取值范围. 16.[2024·长郡中学二模] 设椭圆C1:+=1(a1>b1>0)与双曲线C2:-=1(a2>0,b2>0)有相同的焦距,它们的离心率分别为e1,e2,椭圆C1的焦点为F1,F2,C1,C2在第一象限的交点为P,若点P在直线y=x上,且∠F1PF2=90°,则+的值为 (　 ) A.2 B.3 C. D. 17.(多选题)[2025·安徽江淮十校一模] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2的直线l交双曲线C的右支于A,B两点,其中点A在第一象限.△AF1F2的内心为I1,△BF1F2的内心为I2,直线AI1与x轴的交点为P,记△AF1F2的内切圆的半径为r1,△BF1F2的内切圆的半径为r2,则下列说法正确的有 (　 ) A.若双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为2或 B.若AF1⊥AF2,且|BF1|-|AF1|=2a,则双曲线的离心率为 C.若a=1,b=,则r1-r2的取值范围是(-,) D.若直线l的斜率为,|AI1|=2|I1P|,则双曲线的离心率为 参考答案 第54讲　双曲线 1.B　[解析] 由双曲线C的方程知a=3,根据双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=|5-|PF2||=2a=6,解得|PF2|=-1(舍去)或|PF2|=11.故选B. 2.C　[解析] 因为双曲线C的焦点在y轴上,所以双曲线C:mx2+ny2=1的标准方程为-=1,所以a2=,b2=-,所以C的离心率e====2,则-=3,所以3m+n=0.故选C. 3.B　[解析] 双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,由题意可知-·=-1,可得b=a,所以c==b=6,则b=3,因此该双曲线的虚轴长为2b=6.故选B. 4.A　[解析] 设F1(-2,0),F2(2,0),由题意知|MF1|-|MF2|=4=|F1F2|,故动点M的轨迹是一条射线,故选A. 5.AB　[解析] 方法一:对于选项A,x2=2+2y2≥2,故|x|≥,故A正确;对于选项B,x2+y2=2+3y2≥2,故B正确;对于选项C,取x=2,y=1,满足-y2=1,此时=,故C错误;对于选项D,取x=,y=-,满足-y2=1,此时|x-y|=2>,故D错误.故选AB. 方法二:易知点(x,y)在双曲线-y2=1上,根据双曲线上点的横坐标的范围可知|x|≥,故A正确;x2+y2表示双曲线上一点到原点的距离的平方,双曲线的实半轴长为,故x2+y2≥2,故B正确;表示双曲线上一点与原点连线的斜率,双曲线的渐近线的斜率为±=±,故-<<,故C错误;对于D,取x=,y=-,满足-y2=1,此时|x-y|=2>,故D错误.故选AB. 6.-=1　[解析] 双曲线C1与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,故可设双曲线C1的方程为x2-3y2=λ,又因为C1过点A(-,1),所以15-3=λ,解得λ=12,所以双曲线C1的标准方程是-=1. 7.　[解析] 不妨取渐近线的方程为y=x,F(c,0),则直线EF的方程为y=-(x-c),由解得∴E,则线段EF的中点M的坐标为.由点M在双曲线上,得-=1,化简得c2=2a2,∴e2=2,∴e=. 8.A　[解析] 作出截面图,以AA1的中点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则|OA|=|OA1|=4.设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则a=4,可设C1,B1(0<m<24),因为B1,C1在双曲线上,所以可得则=,所以该双曲线的离心率为=2.故选A. 9.B　[解析] 由双曲线的定义可知|AF2|-|AF1|=2a,又|AF1|=2a,所以|AF2|=4a.因为 ∠F1AF2=π,所以=|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2=×2a×4a×=2a2.由双曲线的定义可知|BF1|-|BF2|=2a,所以|BF1|=2a+|BF2|,又|BF1|=2a+|BA|,所以|BF2|=|BA|.因为∠F1AF2=,所以∠BAF2=,所以△BAF2为等边三角形,且边长为4a,所以=|AB|2=×(4a)2=4a2,所以==.故选B. 10.B　[解析] 不妨设M在x轴上方,如图.由题可得A(-a,0),B(a,0),F(c,0),M,N,P,所以kBP==,直线BP的方程为y=(x-a),令x=0,解得y=-,所以直线BP与y轴的交点为.因为kAN==-,所以直线AN的方程为y=-(x+a),令x=0,解得y=a-c,所以直线AN与y轴的交点为(0,a-c).因为直线BP与直线AN的交点在y轴上,所以a-c=-,解得c=3a,所以双曲线E的离心率e==3.故选B. 11.BD　[解析] 对于A,若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则-n>m>0,故A错误;对于B,当m=-n>0时,曲线C是圆,故B正确;对于C,当m=-n=1时,满足mn<0,但曲线C的方程为x2+y2=1,曲线C是圆,故C错误;对于D,若曲线C为双曲线,则mn>0,当时,-=1表示焦点在y轴上的双曲线,其渐近线方程为y=±x,当时,-=1表示焦点在x轴上的双曲线,其渐近线方程为y=±x,故D正确.故选BD. 12.ABD　[解析] 对于A,双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线的方程为y=±x,要使过点F1的直线l交双曲线C于P,Q两点,交两条渐近线于M,N两点(P,M在第一象限),则满足>,所以b2>3a2,所以A正确;对于B,由双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=2a,|QF2|-|QF1|=2a,两式相减得|PF1|+|QF1|=|PF2|+|QF2|,所以△PQF2的周长为|PQ|+|QF2|+|PF2|=(|PF1|-|QF1|)+|QF2|+|PF2|=(|PF1|-|QF1|)+|PF1|+|QF1|=2|PF1|,所以B正确;对于C,设PF2的中点为S,坐标原点为O,连接OS,则|OS|=|PF1|=(|PF2|+2a)=|PF2|+a,所以两圆外切,所以C错误;对于D,由且c2=a2+b2,得M(a,b),连接F2M,则F2M⊥MF1,又A2R⊥PF1,所以A2R∥F2M,连接MA2并延长,交NO的延长线于M',则M'(a,-b),A2为MM'的中点,又MN的中点为R,则RA2∥M'N,所以M'N∥RA2∥MF2,所以|OA2|=|A2F2|,即a=c-a,所以e==2,所以D正确.故选ABD. 13.　[解析] 由双曲线的对称性不妨设倾斜角为60°的直线过右焦点F,如图.双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,双曲线的半焦距c=2,故F(2,0),过点F且倾斜角为60°的直线方程为y=(x-2).由可得交点A的坐标为(3,).由可得交点B的坐标为,故该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为×2×=. 14.3　2　[解析] 设P(m,n)(m>0,n>0),则m2-=1,可得n2=3(m2-1).因为A,B分别为双曲线C:x2-=1的左、右顶点,所以A(-1,0),B(1,0),所以tan α·tan β=kPA·kPB=·==3.因为tan α>0,tan β>0,所以2tan α+tan β≥2=2,当且仅当2tan α=tan β时,等号成立,此时=,解得m=3,所以n2=3×(32-1)=24,所以n=2,所以△PAB的面积为×|AB|×yP=×2×2=2. 15.解:(1)由双曲线C的焦点在x轴上,其渐近线方程为y=±x,可设双曲线C的方程为-=1(a>0),又实轴长为2,则2a=2,得a=1,所以双曲线C的方程为x2-y2=1. (2)由过点P(0,1)的直线与双曲线C的左、右两支各交于一点,知该直线的斜率一定存在,且该直线不和双曲线的渐近线平行.设该直线的方程为y=kx+1,k≠±1,由整理得(1-k2)x2-2kx-2=0,需满足Δ=4k2+8(1-k2)>0且<0,解得-1<k<1,则该直线的斜率k的取值范围为(-1,1). 16.A　[解析] 设椭圆与双曲线的焦距均为2c,则-=c2,+=c2.连接OP(O为坐标原点),因为∠F1PF2=90°,所以|OP|=|F1F2|=c,又点P在第一象限,且在直线y=x上,所以P.因为点P在椭圆C1上,所以+=1,即+=2,整理得2-4c2+c4=0,两边同时除以c4,得2·-4·+1=0,解得= =,又0<e1<1,所以=.因为点P在双曲线C2上,所以-=1,即-=2,同理得=(e2>1),所以+=+=2.故选A. 17.ABD　[解析] 对于A,若双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则=或,故e==2或,故A正确.对于B,设|AF1|=x,则|BF2|=x,|AF2|=x-2a,|BF1|=x+2a.在Rt△F1AB中,可得x2+(2x-2a)2=(x+2a)2,所以x=3a.在Rt△F1AF2中,可得x2+(x-2a)2=4c2,即10a2=4c2,故e=,故B正确.对于C,设圆I1与AF1,AF2,F1F2分别相切于点D,Q,T,则|AD|=|AQ|,|F1D|=|F1T|,|F2Q|=|F2T|,故|F1T|-|F2T|=|F1D|-|F2Q|=|AF1|-|AF2|=2a.设点T(x0,0),又F1(-c,0),F2(c,0),所以x0-(-c)-(c-x0)=2a,解得x0=a.连接I1T,I2T,F2I1,F2I2,易知I1T⊥F1F2,则点I1的横坐标为a,同理可得点I2的横坐标为a,故I1,T,I2三点共线,即直线I1I2的方程为x=a.设直线AB的倾斜角为2θ,O为坐标原点,则∠OF2I2=θ,∠I1F2O=-θ.在△I1F2T中,r1=(c-a)tan=(c-a),在△I2F2T中,r2=(c-a)tan θ.由a=1,b=,得c=2,且双曲线C的渐近线的斜率为±,因为A,B均在双曲线C的右支上,所以60°<2θ<120°,即30°<θ<60°,故tan θ∈,所以r1-r2=(c-a)=-tan θ∈,故C错误.对于D,2====,故|AF1|+|AF2|=4c,又|AF1|-|AF2|=2a,kAB=,所以|AF1|=a+2c,|AF2|=2c-a,∠F1F2A=120°.在△AF1F2中,由余弦定理可得(2c+a)2=(2c-a)2+4c2+2c·(2c-a),可得4c=5a,故e=,故D正确.故选ABD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $